CONCEITOS INICIAIS SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA E O CÍRCULO

03/10/2018

Olá pessoal! Tudo certo por aí?

Vocês sabiam que os termos “circunferência” e “círculo” não representam a mesma coisa? Exatamente, existe uma diferença crucial entre eles, que é base para o nosso estudo de hoje! Vamos ver nesse texto, os principais elementos da circunferência e do círculo, e abordaremos também a ideia de posição relativa entre ponto e circunferência, reta e circunferência, e é claro, entre duas circunferências também. Esses conceitos da geometria plana são extremamente simples, mas se não forem conhecidos, podem causar dúvida e um possível erro na interpretação das questões do ENEM e dos vestibulares, o que é tudo que não queremos, não é mesmo?

Pois é, as provas do ENEM e dos vestibulares exigem que estejamos preparados para enfrentar qualquer situação. Mas muitas vezes, eu sei, não é fácil estudar sozinho, montar um cronograma e segui-lo assiduamente, ou mesmo encontrar conteúdo de qualidade. Que tal contar então com uma plataforma de estudos 100% online que disponibiliza tudo isso para vocês? Sim, a plataforma do Professor Ferretto trabalha como toda a matemática do ensino médio, e inclusive com conteúdos mais complexos, a nível de concursos mais exigentes. Lá tem mais de 1000 exercícios do ENEM e dos vestibulares resolvidos em vídeo, plano de estudos, simulados, monitoria e até mesmo aulas de física! Assinem a plataforma do Professor Ferretto! Acessem o site, e conheçam todos os benefícios do curso!

Imagino que vocês estejam curiosos para saber qual é a tal diferença entre a circunferência e o círculo. Vamos começar desvendando esse mistério. Vem comigo aqui!

Na imagem acima, nós vemos uma linha fechada, em que qualquer um de seus pontos possui a mesma distância do ponto central. Essa é a circunferência! Vocês podem associá-la, por exemplo, ao formato de um anel, ou de uma aliança.

Agora, e se vocês resolvessem preencher toda essa circunferência, ou seja, se vocês ocupassem todos os pontos do seu interior, será que ela ainda seria uma circunferência? Não! Uma circunferência ou uma linha preenchida é conhecida como círculo.

Vocês também podem associar a ideia de círculo ou disco, como formato de uma moeda. Moedas são circunferências preenchidas.

Então, se estamos falando especificamente do contorno ou da borda do círculo, falamos da circunferência, entendido? Vamos estudar agora os seus principais elementos.

 

1. PRINCIPAIS ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA E DO CÍRCULO

Como sugerimos na introdução acima, existe um ponto central que é equidistante de todos os pontos da circunferência. Esse ponto é conhecido como centro da circunferência.

A distância do centro, até qualquer ponto da circunferência, de quem tanto falamos, é muito conhecida como raio da circunferência. Costuma-se representar o raio da circunferência pela letra R.

Depois de estudarmos esses dois elementos, é muito importante conhecermos algumas retas que podem se relacionar com a circunferência. Uma reta que passa muito perto da circunferência, e que a toca em um único P, é conhecida como reta tangente a circunferência.

Mas se uma reta cortar a circunferência em dois pontos distintos, que chamaremos aqui de A e B, então ela será conhecida como reta secante em relação a circunferência.

Aí olhem só que interessante: a parte da reta secante que é interna a circunferência, ou seja, o segmento de reta que sai do ponto A e vai até o ponto B, também possui outra denominação, e é conhecido como corda da circunferência.

Agora, se ao invés de irmos do ponto A até o ponto B em linha reta, nós saíssemos do ponto A e fossemos até o ponto B sobre a linha que dá origem à circunferência, nós formaríamos um arco ali. Em outras palavras, um arco é a porção compreendida entre quaisquer dois pontos de uma circunferência, e costuma ser representado pela letra l minúscula.

Assim, podemos dizer que a corda é o segmento que une os extremos de um arco, e vice-versa. Mas se vocês estão observando os termos arco, corda, e lembrando do famoso arco e flecha, provavelmente vão ficar maravilhados com a relação que ele tem com a matemática: para disparar perfeitamente uma flecha através de um arco, é necessário posicioná-la bem no meio do arco e da corda, certo? Por isso, a flecha da circunferência, é o segmento de reta que une o ponto médio da corda ao ponto médio do arco.

Bom, é fato que uma circunferência pode ter inúmeras cordas. Mas existe uma única corda cujo comprimento é maior do que o de todas as outras: aquela que passa pelo centro da circunferência! Tecnicamente, do ponto de partida dessa corda, até o centro da circunferência, tem-se a medida do raio, certo? Aí novamente, partindo do centro da circunferência até o ponto de chegada da corda, temos a medida do raio da circunferência mais uma vez. Visto isso, podemos concluir que a corda máxima da circunferência, cujo comprimento equivale ao dobro do comprimento do raio, representa o diâmetro da circunferência.

Neste momento, nós já conhecemos os principais elementos de uma circunferência. Mas é claro que o círculo, aquele que representa o preenchimento da circunferência, também possui alguns elementos bem interessantes, e que costumam pegar de surpresa os alunos nas provas do ENEM e dos vestibulares. Por isso, sem mais delongas, vamos dar uma olhada nesses elementos.

O setor circular é uma região do círculo delimitada por um arco e pelos dois raios que passam pelos seus pontos extremos. Vocês podem associar o setor circular a uma deliciosa fatia de pizza.

Por sua vez, o segmento circular é uma região do círculo delimitada por um arco e pela corda que une os seus extremos. Para memorizar, vocês podem associar o segmento circular a borda da deliciosa pizza ali em cima, o que acham?

E agora que os principais elementos da circunferência e do círculo foram apresentados, resta-nos estudar a ideia de posição relativa de um ponto, de uma reta e de uma circunferência em relação a outra circunferência. Isso significa, basicamente, que vamos entender como esse ponto, essa reta e essa circunferência estão localizados em relação a circunferência, se estão dentro, se estão fora, ou se pertencem a própria circunferência, enfim, tudo de um jeito que isso possa ser determinado sem termos necessariamente o desenho do caso. Querem ver como é fácil? Então continuem comigo aqui!

 

2. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA

 

Quando um ponto é externo em relação a circunferência, significa que ele se encontra fora dessa circunferência. Isso sempre irá acontecer quando a distância do ponto até o centro da circunferência (d) for maior do que o comprimento do raio dessa circunferência.

Quando um ponto pertence a circunferência, significa que ele se localiza sobre linha que corresponde a circunferência. Isso sempre irá acontecer quando  a distância do ponto até o centro da circunferência for igual ao comprimento do raio dessa circunferência.

Quando um ponto é interno em relação a circunferência, significa que ele se encontra dentro dessa circunferência. Isso sempre irá acontecer quando a distância do ponto até o centro da circunferência for menor do que o comprimento do raio dessa circunferência.

Pareceu lógico, não é mesmo? Comparar a distância do ponto até o centro da circunferência, com a medida do raio dessa circunferência, é a chave para determinar a posição relativa do ponto em relação a circunferência sem conhecer o desenho do caso. Vocês vão ver agora, que a mesma ideia é aplicada a posição relativa entre uma reta e a circunferência. Vem comigo aqui!

 

3. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

 

Quando uma reta é exterior a circunferência, significa que ela se encontra fora dessa circunferência. Isso sempre irá acontecer quando a distância da reta até o centro da circunferência for maior do que o comprimento do raio dessa circunferência.

Quando uma reta é tangente a circunferência, significa que ela encosta em um único ponto dessa circunferência, não é mesmo? Então, isso sempre irá acontecer quando a distância da reta até o centro da circunferência for exatamente igual ao comprimento do raio dessa circunferência.

Quando uma reta é secante em relação a circunferência, significa que ela corta a circunferência em dois pontos distintos, e portanto, passa por dentro dessa circunferência, certo? Então, é claro que isso sempre irá acontecer quando a distância da reta até o centro da circunferência for menor do que o comprimento do raio da circunferência.

Tudo entendido pessoal? Agora nós vamos abordar algumas posições relativas entre duas circunferências, o que é um pouquinho diferente do que vimos até então. Acompanhem com atenção.

 

4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS

 

Uma circunferência é tangente interna a outra se possui um único ponto comum e os demais pontos são internos.

Vejam na imagem acima, que nós temos uma configuração onde a circunferência menor é tangente interna em relação a circunferência maior. Isso sempre irá acontecer quando a distância entre os centros das duas circunferências for exatamente igual a diferença entre o raio da circunferência maior, que chamaremos aqui de R1, e o raio da circunferência menor, que será chamado de R2.

Uma circunferência é interna a outra se todos os seus pontos são pontos internos da outra.

Já nesta segunda configuração, todos os pontos da circunferência menor se localizam na parte interna da circunferência maior. Nesse caso, é possível perceber que a circunferência menor se deslocou em relação ao centro da circunferência maior, ou seja, ficou mais próxima dele, quando comparada a circunferência menor do caso anterior. Isso justifica o fato de que agora a distância entre os dois centros das circunferências será menor do que a diferença entre o comprimento do raio da circunferência maior R1, e o raio da circunferência menor R2.

Duas circunferências são tangentes externas se possuem um único ponto em comum e os demais pontos de uma são externos à outra.

Vejam que nesta configuração, há mesmo um único ponto em comum entre as duas circunferências, e todos os outros pontos de qualquer uma delas, são externos em relação outra. Incrivelmente nesse caso, a soma dos raios da circunferência maior R1, e da circunferência menor R2 é exatamente igual a distância entre os centros das duas circunferências.

Duas circunferências são secantes se possuem somente dois pontos em comum.

Quando duas circunferências são secantes, nós não temos nem um caso de tangência externa, e nem um caso de tangência interna entre elas, mas sim uma situação que fica entre esses dois casos. Por isso, a distância entre os centros dessas duas circunferências será igual a um valor que fica entre a soma dos raios das circunferências maior R1, e menor R2, e a diferença desses mesmos raios. Bem louco não é mesmo?

Duas circunferências são externas se os pontos de uma são externos à outra.

Nesta configuração, vejam, não há sequer um ponto em comum entre as duas circunferências. Isso significa que a distância entre os dois centros será maior do que a soma entre os raios da circunferência maior R1, e da circunferência menor R2.

Ufa! Terminamos de ver todas as 5 posições relativas entre duas circunferências! E olha que no fim das contas, apesar de estudarmos uma série de termos novos, nenhum deles foi muito complicado, não é mesmo? A verdade pessoal, é que se usarmos a lógica, não precisamos nem tentar decorar cada um dos cálculos acima. E para provar que não estou mentindo, eu peço: assistam o vídeo que deixo em anexo aqui embaixo! Nele vocês encontram uma abordagem complementar a tudo o que vimos, e também dois exercícios muito interessantes que aplicam boa parte destes conceitos.

Espero que vocês tenham gostado do texto, e desejo ótimos estudos a todos! Um grande abraço!