CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

26/04/2018

Olá pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje é o dia de aprendermos como definir se um número inteiro qualquer, seja ele grande ou pequeno, é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ou 11! Para isso, nós iremos estudar os critérios de divisibilidade, que são as regras que definem em que casos um número pode ser dividido por esses fatores sem deixar resto. Esse conteúdo é bastante simples, mas extremamente importante para quem vai prestar alguns vestibulares, e principalmente para quem fará a prova do ENEM!

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Então, vamos começar? Veremos agora cada um dos critérios separadamente, e com a ajuda de alguns exemplos. Vem comigo aqui!

 

1. DIVISIBILIDADE POR 2

Todos os números pares, ou seja, aqueles terminados em 0, 2, 4, 6, e 8, são divisíveis por 2.

São alguns exemplos:

368 

Sim, 368 é divisível por 2 porque termina com o número 8, o que o caracteriza como sendo um número par.

4560 

Sim, 4560 termina com 0, portanto também é um número par e divisível por 2.

37 

Não, o número 37 não é divisível por 2, pois termina com 7, portanto não é um número par.

 

2. DIVISIBILIDADE POR 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3.

Assim, sempre que precisarmos avaliar se um número é divisível por 3, o primeiro passo é somar todos os algarismos desse número. Vamos a alguns exemplos:

3471 

Soma: 3 + 4 + 7 + 1 = 15

Sim, 3471 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos resulta em 15, que é divisível por 3 (15:3 = 5).

12937 

Soma: 1 + 2 + 9 + 3 + 7 = 22

Não, 12937 não é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos resulta em 22, que não é divisível por 3.

 

3. DIVISIBILIDADE POR 4

Um número é divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4.

Isso significa, basicamente, que o que importa mesmo são os dois últimos algarismos de cada número, independente se ele for grande ou não. Vejam só:

578428 

Últimos dois algarismos: 28.

Sim, 578428 é divisível por 4 porque os seus 2 últimos algarismos formam o número 28, que é divisível por 4 (28:4 = 7).

3748900 

Últimos dois algarismos: 00

Sim, 3748900 é divisível por 4, porque seus 2 últimos algarismos são 00, e 00 pode ser dividido por qualquer número que não seja zero sem deixar resto (0:4 = 0).

3750742 

Últimos dois algarismos: 42

Não, 3750742 não é divisível por 4, porque seus 2 últimos algarismos formam o número 42, que não é divisível por 4 (42:4 = 10,5). Claro, a divisão de 42 por 4 é possível, só que o resultado dela é um número decimal, e para fins de divisibilidade, precisamos de resultados que sejam inteiros.

 

4. DIVISIBILIDADE POR 5

Um número é divisível por 5 quando o seu último algarismo for zero ou 5.

Nesse caso, é necessário prestarmos atenção essencialmente no último algarismo de cada número, mesmo que o número como um todo seja enorme. Vamos ver como isso se aplica:

854189035 

Sim, 854189035 é divisível por 5, pois apesar de ser um número grande, o seu último algarismo é 5.

45914703 

Não, 45914703 não é divisível por 5, porque seu último algarismo não é 0 e nem 5.

 

5. DIVISIBILIDADE POR 6

Um número é divisível por 6 somente se for divisível por 2 e por 3.

Vejam pessoal, que a divisibilidade por 6 nos leva a divisibilidade por 2 e a divisibilidade por 3. É muito importante repararmos aqui no significado do “e”. O número que avaliarmos deve ser divisível por 2 e por 3, porque se for divisível somente por 2 ou somente por 3, não será divisível por 6.

Bom, a divisibilidade por 2 nos leva a números pares. Isso significa que se o número analisado for par, ele terá chances de ser divisível por 6. Aí, resta-nos somar todos os seus algarismos, para verificar se esse número também é divisível por 3. Vamos aos nossos exemplos:

53427 

É um número par? Não, então nem precisamos seguir com nossa análise.

Não, 53427 não é divisível por 6, porque não é divisível por 2.

106424 

É um número par? Sim, o último algarismo desse número é 4.

Soma: 1 + 0 + 6 + 4 + 2 + 4 = 17

Não, 106424 não é divisível por 6, porque não é divisível por 3, já que 17 não é divisível por 3.

812472 

É um número par? Sim, o último algarismo desse número é 2.

Soma: 8 + 1 + 2 + 4 + 7 + 2 = 24

Sim, 812472 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3, já que 24 é divisível por 3 (24:3 = 8).

 

6. DIVISIBILIDADE POR 7

Pessoal, o critério de divisibilidade por 7 é um pouquinho mais complicado que os anteriores. Por isso, vou explicar a vocês como desenvolvê-lo através do nosso exemplo. Olhem só:

A ideia é que primeiramente, nós façamos a divisão desse número em grupos de 3 em 3 algarismos, sempre da direita para a esquerda:

Reparem que bem a esquerda restaram apenas 2 algarismos. Não há problema algum nisso, se os últimos algarismos da esquerda que restarem forem 3, 2, 1 ou nenhum o procedimento seguinte será o mesmo. Bem, o que faremos agora é dividir todos esses números formados por 7. O resto de cada divisão é que será importante para nós.

Agora, vamos posicionar todos esses valores dos restos das divisões por 7, abaixo de cada um dos termos que criamos:

Em seguida, nós vamos colocar sinais alternados em cada um dos restos, ou seja, sinais positivos e negativos, começando com o sinal positivo no valor do resto mais a esquerda, que no nosso exemplo, é o 1. Feito isso, vamos efetuar as somas e subtrações desses valores:

Finalmente chegamos ao nosso último passo: vamos verificar se o resultado de nossas somas e subtrações, nesse caso, o –7, é divisível por 7. Se for, temos um número como um todo divisível por 7, e do contrário, poderemos afirmar que o número que avaliamos não é divisível por 7.

Felizmente, nesse caso, –7 é divisível por 7, afinal –7:7 = –1. Assim, podemos concluir que 22389651536 é divisível por 7!

22389651536 

Um pouquinho demorado, não é? Vamos ao nosso próximo critério!

 

7. DIVISIBILIDADE POR 8

Um número é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formarem um número divisível por 8.

Percebam que esse critério é muito parecido com o da divisibilidade por 4. Devemos prestar bastante atenção agora, nos três últimos algarismos dos números que avaliarmos. Vejam só:

3958743328

Últimos três algarismos: 328 

Sim, o número 3958743328 é divisível por 8, pois o número formado por seus 3 últimos algarismos é divisível por 8 (328:8 = 41).

 

8. DIVISIBILIDADE POR 9

Um número é divisível por 9, se a soma dos seus algarismos for divisível por 9.

Observem a semelhança que esse critério tem com o critério de divisibilidade por 3. Só que agora, precisamos verificar se a soma dos algarismos do número que avaliarmos é divisível por 9. Vamos lá!

4901067 

Soma: 4 + 9 + 0 + 1 + 0 + 6 + 7 = 27

Sim, 4901067 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos resulta em 27, que é divisível por 9 (27:9 = 3).

307410541 

Soma: 3 + 0 + 7 + 4 + 1 + 0 + 5 + 4 + 1  =  25

Não, 307410541 não é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos resulta em 25, que não é divisível por 9.

 

9. DIVISIBILIDADE POR 10

Um número é divisível por 10 quando o seu último algarismo for zero.

Esse é bem simples não é pessoal? Se um número terminar com zero, sabemos que ele será divisível por 10, como os casos abaixo:

930 

540 

680 

 

10. DIVISIBILIDADE POR 11

Um número é divisível por 11, se a soma alternada de seus algarismos resultar em um valor divisível por 11.

Esse critério é muito semelhante ao critério de divisibilidade por 7, só que aqui nós teremos muito menos trabalho. A ideia é inserirmos sinais alternados entre os próprios algarismos do número que analisamos, iniciando sempre pela esquerda e com o sinal positivo. Uma vez que isso é feito, resta-nos efetuar as somas e subtrações formadas, e o resultado dessas operações deve ser um número divisível por 11. Vamos aos nossos exemplos novamente:

10832041 

Soma alternada:  + 1 – 0 + 8 – 3 + 2 – 0 + 4 – 1 = 11

Sim, 10832041 é divisível por 11, pois a soma alternada de seus algarismos resulta em 11, que é um número divisível por 11 (11:11 = 1).

2357014982 

Soma alternada: + 2 – 3 + 5 – 7 + 0 – 1 + 4 – 9 + 8 – 2 = – 3

Não, 2357014982 não é divisível por 11, pois a soma alternada de seus termos resulta em – 3, que não é um número divisível por 11.

Pessoal, nós ainda poderíamos ver uma série de critérios de divisibilidade, tais como divisibilidade por 12, 15 e por aí vai. Contudo, para que vocês não precisem memorizar uma série de regras, tentem pensar na seguinte lógica: para ser divisível por 12, por exemplo, um número deve ser divisível por 3 e por 4, já que o produto entre 3 e 4 resulta em 12. O mesmo é válido para a divisibilidade por 15, ou seja, se um número é divisível por 5 e por 3, então será divisível por 15, afinal 5 ∙ 3 = 15. Tentem aplicar essa ideia em vários outros números, para vocês verem que isso funciona!

Assim, encerramos mais um texto! Espero que todos os critérios que abordamos aqui tenham ficado claros, e que vocês possam fazer uso deles sempre que precisarem! Deixo em anexo um vídeo, para vocês revisarem os critérios e memorizarem tudo facilmente.

Um grande abraço e muito sucesso! Até breve pessoal!