DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

19/04/2018

Olá pessoal, tudo bem por aí?

No texto de hoje, falaremos sobre uma sequência numérica muito conhecida, a progressão geométrica, ou simplesmente PG. Uma PG se caracteriza por crescer ou decrescer através do produto de seus termos por um valor constante, que chamamos de razão. Por possuírem inúmeras aplicações, os conceitos relacionados a progressão geométrica que vamos ver aqui costumam ser bastante cobrados nas provas de vestibulares e principalmente do ENEM.

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Vamos começar? Então observem a sequência numérica abaixo:

(3, 6, 12, 24, 48, ….)

É importante percebermos que cada termo da sequência apresentada possui uma posição definida. O número 3 é o primeiro termo da sequência, o número 6 o segundo, o 12 o terceiro e assim por diante. Por isso, nós chamaremos esses termos de a1, a2, a3, a4, a5 e assim sucessivamente, como mostra a figura abaixo:

Agora vamos lembrar um pouco da progressão aritmética, a PA, que estudamos no texto Termo geral, classificação e propriedades de uma progressão aritmética. Nós vimos lá, que a diferença entre dois termos consecutivos, quaisquer quer sejam eles dentro de uma sequência, é sempre um número constante. Mas se vocês tentarem aplicar isso na sequência acima, olha só o que acontece:

6 – 3 = 3

12 – 6 = 6

24 – 12 = 12

48 – 24 = 24

Pois é, parece que aqui a diferença entre quaisquer termos consecutivos da sequência não resulta em um termo constante, afinal o resultado foi sempre diferente. Isso quer dizer que de forma alguma essa sequência representa uma PA. Mas e se vocês tentarem dividir um termo pelo seu antecessor? Vamos ver o que acontece?

Vejam que agora, finalmente, obtemos como resultado um termo constante, de valor 2. Então, sempre que em uma sequência, a divisão ou o quociente entre dois termos consecutivos, sempre o termo da direita dividido pelo termo da esquerda, ou ainda o termo consequente dividido pelo termo antecedente, resultar em um termo constante, significa que estamos tratando de uma PG! Esse valor constante que encontramos, nada mais é do que a razão da progressão geométrica, que é representada pela letra q. Assim, podemos dizer que a razão da PG acima é 2.

Bom, se cada termo dividido por seu antecessor resulta na razão q da PG, também podemos dizer que o primeiro termo, a1, multiplicado pela razão q, resulta no segundo termo, o a2 (3∙2 = 6). Da mesma forma, quando multiplicamos o segundo termo, a2, pela razão q, obtemos o termo a3 (6∙2 = 12), e assim sucessivamente. É dessa maneira que chegamos a definição de uma progressão geométrica, que veremos na sequência.

 

1. DEFINIÇÃO DE UMA PG

Uma PG é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante q dada.

Vou demonstrar tudo isso através de um exemplo, para ser ainda mais claro. Digamos que temos uma PG onde termo a1 é 2, e a razão q é igual a 3. Como podemos fazer então, para encontrar os demais termos dessa progressão? É simples, basta multiplicar cada termo, a partir do primeiro, pela razão q, e assim cada um dos termos seguintes será descoberto, vejam só:

Tudo certo até aqui pessoal? Bem, se vocês repararem melhor na sequência que acabamos de apresentar, verão que os termos são números cada vez maiores, tendendo ao infinito. Mas a verdade é que existem sequências onde os termos são cada vez menores, ou seja, se aproximam cada vez mais de zero ou de menos infinito, da mesma forma que o termos podem nunca variar, ou ainda mudar de sinal. A partir dessa ideia é que classificamos uma PG. Que tal aprender como isso funciona?

 

2. CLASSIFICAÇÃO DE UMA PG

As progressões geométricas podem ser classificadas em quatro categorias: crescente, decrescente, constante e alternada. Tudo depende do valor do termo a1, ou seja, do primeiro termo de cada sequência, e também de sua razão, q. Vamos ver a seguir, cada uma das classificações detalhadamente, com a ajuda de alguns exemplos.

     1. PG crescente

Como vocês veem no quadro acima, nós temos duas formas de obter uma progressão geométrica crescente. Na primeira delas, quando o primeiro termo da PG, a1, for positivo, então a sua razão q deve ser maior do que 1. Já se a1 for negativo ou menor que zero, como na segunda ideia, então a razão q da PG deve ser um valor entre 0 e 1. Mas será que a gente vai precisar decorar tudo isso para identificar uma PG crescente? Na verdade não, não é necessário, basta observarmos se o termo sucessor é maior que o termo antecessor, e pronto, como nas sequências abaixo:

Reparem que nesse caso, nosso primeiro termo é positivo, a1 = 1, e a nossa razão é maior que 1, q = 2. Esse é um exemplo da primeira forma em que podemos encontrar uma PG crescente. Mas vocês também poderiam ter a identificado, observando que o segundo termo, 2, é maior que o primeiro, 1, da mesma forma que o terceiro termo, 4 é maior que o segundo, 2, e assim por diante.

Já nesse segundo exemplo, temos como primeiro termo um número negativo, a1 = -54, mas aí a nossa razão q é um valor entre 0 e 1, q = 1/3, bem como é apresentado no quadro lá em cima. Assim podemos concluir que essa também é uma PG crescente, e se vocês repararem melhor, novamente o segundo termo, -18, é maior que o primeiro, -54, e assim sucessivamente.

      2. PG decrescente

Novamente, temos duas formas de obter uma PG decrescente. Quando encontrarmos o primeiro termo de uma sequência, a1, de valor maior que zero ou positivo, então nossa razão q deve ser um valor entre 0 e 1. Do contrário, ou seja, se o valor de a1 for negativo, então nossa razão q deve ser necessariamente um valor maior que 1. Vamos aos exemplos:

Vejam que nessa sequência, o primeiro termo é positivo, a1 = 1, e a razão q um valor entre 0 e 1, q = 1/3. Essa é uma das maneiras de obtermos uma PG decrescente. Mas como na PG crescente, não é necessário decorar as condições que vimos no quadro. Reparem que os termos nessa sequência são cada vez menores, e se aproximam cada vez mais de zero. Sempre que isso acontecer, estamos falando de uma PG decrescente.

E agora, que o nosso primeiro termo é um valor negativo, a1 = -1? Não há problema algum, pois vejam que a razão q dessa progressão é maior que 1, q = 2. Essa é a segunda maneira de obtermos uma PG decrescente, e novamente, reparem que os termos são cada vez menores, os valores vão ficando cada vez mais negativos, tendendo ao menos infinito. Se isso acontecer, também estamos falando de uma progressão geométrica decrescente.

     3.  PG constante

O que acontece quando multiplicamos um número por 1? O resultado é o próprio número que multiplicamos, não é? É nessa ideia que uma PG constante é baseada. Como a razão q dessa progressão é 1, então todos os seus termos são iguais. Olhem só esse exemplo:

     4.  PG alternada

Essa progressão também é conhecida como PG oscilante, e tudo isso se deve ao fato de que quando temos uma razão q negativa ou menor do que zero, os termos da sequência acabam oscilando entre valores positivos e negativos, como nesse exemplo:

Gostaram desse texto? Nós chegamos ao final dele, e eu espero que todo esse conteúdo de PG esteja mais claro para vocês, afinal ele é muito importante para os seus estudos! Deixo em anexo um vídeo, onde vocês podem estar acompanhando todos os exemplos e conceitos novamente.

Um abração! Nos vemos no próximo texto!