DIFERENÇA E COMPLEMENTAR

05/09/2018

Olá pessoal! Como vão?

É verdade que no cotidiano nós costumamos utilizar muito a subtração, que é, inclusive, uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Agora, vocês já pensaram algum dia em aplicar essa operação na teoria dos conjuntos? Pois então, saibam que é possível sim calcular a diferença entre dois conjuntos, e nós vamos entender direitinho como fazer isso no texto de hoje! Além disso, através dessa operação, também é possível obter o complementar de um conjunto em relação a outro, um conceito que jamais será esquecido por vocês depois da super dica que eu vou apresentar aqui!

Mas só quem sabe tudo sobre a matemática do ensino médio consegue dar aquelas dicas ninja que tornam qualquer conteúdo mais simples. E é justamente isso que o Professor Ferretto faz em sua plataforma de ensino! Citando apenas alguns exemplos, as videoaulas do Ferretto apresentam dicas sobre a própria teoria dos conjuntos, regra de três composta, análise combinatória, funções, trigonometria, logaritmos e todo e qualquer assunto que possa cair nas provas do ENEM e dos mais variados vestibulares! O curso de matemática do Ferretto, é voltado justamente para os alunos que desejam estar bem preparados para prestar concursos como esses, afim de garantir aquela tão sonhada vaga no ensino superior. Você se identificou com esse objetivo? Então acesse o site e saiba como é simples ser um aluno do Professor Ferretto!

Beleza pessoal? Nós vamos estudar hoje o conceito de diferença e complementar entre dois determinados conjuntos A e B. Mas para que isso fique bem claro, é importante revisarmos como dois conjuntos A e B se relacionam quando possuem, ou não, elementos em comum. Observem com atenção os 3 casos abaixo e a sua representação na forma de diagrama.

Quando A é subconjunto de B…

Quando A e B são conjuntos disjuntos …

Quando os diagramas de A e B estão entrelaçados

Tendo isso em vista, podemos partir para a primeira novidade de hoje: a diferença entre dois conjuntos!

 

1. DIFERENÇA DE CONJUNTOS

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

Em outras palavras, podemos dizer que os elementos que estão no conjunto A, e não fazem parte do conjunto B, formam o conjunto diferença entre A e B (A – B). Já em forma de símbolos, a diferença entre os conjuntos A e B é dada pelo conjunto dos elementos x, tais que esses elementos x pertençam ao conjunto A mas não pertençam ao conjunto B, como mostra o quadro.

Como em todos os assuntos, nada é melhor do que resolvermos algumas questões juntos para concretizar a ideia. Vamos então aos famosos exemplos!

 

1. Em todos os itens, obtenha o conjunto diferença entre A e B (A – B) e também o conjunto diferença entre B e A (B – A).

a. A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5}

E agora, apesar de sabermos que o conjunto diferença entre A e B é formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B, como é possível resolver essa questão? Pessoal, a ideia é comparar tudo com a subtração mesmo, como dissemos lá no início do texto. Para conhecer os elementos do conjunto A – B, basta observamos os elementos que pertencem a ambos os conjuntos, e descontá-los, tirá-los, ou risca-los do conjunto A. Os elementos que restarem formarão o conjunto diferença que tanto buscamos. Vejam só:

Observem que nós literalmente riscamos os elementos que são comuns a ambos os conjuntos, porque deveríamos descontar dos elementos de A todos os elementos que também pertenciam a B, e assim o conjunto resultante A – B foi formado pelos elementos que pertencem exclusivamente a A.

É claro que para obter o conjunto diferença entre B e A, a lógica precisa ser invertida. Vamos observar novamente os elementos que são comuns a ambos os conjuntos, mas agora vamos risca-los de B, porque queremos descontar dos elementos de B todos os elementos que também pertencem a A, e assim, B – A será formado apenas pelos elementos que pertencem exclusivamente a B.

Se vocês ficaram atentos aos primeiros conceitos que revisamos neste texto, provavelmente perceberam que os conjuntos dispostos no item a possuem apenas alguns elementos em comum. Por isso, a representação em forma de diagrama desse caso, dá-se por um diagrama entrelaçado, como podemos ver abaixo:

Pois bem, estamos realizando essa representação porque através do diagrama fica ainda mais fácil compreender a diferença entre os conjuntos A e B, e B e A. No primeiro caso, A – B, pensem só, estamos descontando, ou retirando B. Portanto, basta desconsiderar toda a região dos elementos que pertencem a B. Já no segundo caso, B – A, vejam que quem está sendo subtraído, ou excluído é o A. Assim, é só desconsiderar toda a região dos elementos que pertencem a A, como mostra a figura.

E uma última informação muito importante que podemos tirar deste exemplo, é que enquanto A – B = {1,3}, B – A = {5}, um conjunto unitário. Isso nos mostra que a propriedade comutativa não é válida para a diferença entre dois conjuntos, ou seja:

 

b. A = {a, b, c} e B = {d, e}

Agora que já sabemos exatamente o que fazer, fica ainda mais fácil determinar os conjuntos A – B e B – A, não é mesmo? Mas vejam só que coisa interessante: nesse caso, A e B não possuem elementos em comum, ou seja, eles são conjuntos disjuntos.

Aí é importante refletir no seguinte: o que acontece quando descontamos ou subtraímos o número zero de qualquer número real? Não há mudança alguma, não é mesmo? Bom, se A e B são disjuntos, existem zero elementos comuns entre eles, e assim, todos os elementos pertencentes a A já são elementos exclusivos de A, da mesma forma que os elementos de B também já são exclusivos de B. Por isso, não conseguimos riscar elemento algum nos dois cálculos, e concluímos que a diferença entre A e B é o próprio conjunto A, enquanto que a diferença entre B e A é o próprio conjunto B.

 

c. A = {a, b} e B = {a, b, c}

Quem prestou atenção nos conceitos do início do texto, já percebeu que nesse item, A é subconjunto de B, porque todos os seus elementos também pertencem a B. Então vamos logo calcular os conjuntos diferença entre A e B e B e A, e em seguida veremos em que situação curiosa isso vai dar!

Quanto ao conjunto diferença entre B e A, tudo certo não é mesmo? Agora, reparem que por A ser subconjunto de B, quando a diferença entre A e B é calculada, todos os elementos de A são eliminados, não restando elemento algum no conjunto, o que caracteriza um conjunto vazio.  

Conseguiram entender a ideia? Isso é extremamente importante, afinal, a diferença entre dois conjuntos é parte do conceito de conjunto complementar de B em relação à A, que nós veremos agora.

 

2. COMPLEMENTAR DE B EM A

Dados dois conjuntos A e B, tais que B⊂ A, chama-se complementar de B em relação à A, o conjunto A – B.

Antes de tentarmos entender qualquer outra coisa dessa definição extremamente clara, devemos nos concentrar no seguinte trecho: “dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A”. Em símbolos, isso significa que necessariamente, para que haja o cálculo do conjunto complementar de B em relação a A, B deve estar contido em A, ou seja, B deve ser subconjunto de A. Então pessoal, caso vocês se deparem com conjuntos disjuntos, ou ainda com conjuntos que possuem apenas alguns elementos em comum, não será possível obter o conjunto complementar de um deles em relação ao outro. Esse é um conceito que diz respeito apenas a uma relação de conjunto e subconjunto!

O quadro acima nos mostra a forma de representar o conjunto complementar de B em relação a A, e também o conjunto o complementar de A em relação a B, claro, quando A ⊂ B. Vejam como é importante a ordem em que B e A são representados junto ao símbolo. Se nos referirmos ao complementar de B em relação a A, então o B ficará acima do A no símbolo. Do contrário, ou seja, se o complementar de A em relação a B for representado, então é claro que A ficará acima de B no símbolo, e pronto. Aí, para vocês não se perderem em como representar a diferença entre os conjuntos de cada caso, basta prestar atenção na técnica apresentada pelo nosso amigo, localizado aqui em cima próximo ao título. Vejam que ele pede para mantermos o conjunto que está embaixo no símbolo, e descontarmos dele o conjunto que está em cima.

Bom, de acordo com o que significa a diferença entre dois conjuntos, quando calculamos A – B, o resultado é um conjunto formado pelos elementos que pertencem exclusivamente a A. Já quando calculamos B – A, é fato que o resultado é um conjunto formado pelos elementos que pertencem exclusivamente a B. Assim, para esclarecer melhor a definição que acompanhamos lá em cima, podemos dizer que o conjunto complementar de B em relação a A, é formado pelos elementos que pertencem exclusivamente a A, enquanto o conjunto complementar de A em relação a B, é formado pelos elementos que pertencem exclusivamente a B.

Pessoal, é aí que entra a dica que eu mencionei lá no início do texto! Vocês já pensaram no que significa a palavra “complementar”? Pode-se dizer que complementar algo, significa preencher o que falta a esse algo. Trazendo essa ideia para o nosso contexto de conjuntos, o complementar de B em relação a A, é tudo o que falta para B se tornar A, da mesma maneira que o complementar de A em relação a B, é tudo que falta para A se tornar B, e aí a nomeação do conjunto faz todo o sentido!

A representação em forma de diagrama torna o conceito muito mais claro, não é mesmo? Reparem que no diagrama do complementar de B em relação a A, B é subconjunto de A, e a região destacada é aquela onde se localizam os elementos exclusivos de A, porque claro, se esses elementos também fizessem parte do conjunto B, B seria igual a A. O mesmo pode ser observado no diagrama que representa o complementar de A em relação a B. Agora, A é subconjunto de B, e se todos os elementos exclusivos de B, que se localizam na região destacada, também fizessem parte de A, A seria igual a B.

Como eu já sei que pode demorar para essa informação entrar na nossa cabeça, é melhor exemplificarmos a situação. Abaixo serão dados dois conjuntos A e B. Deem uma olhada neles e verifiquem a possibilidade de calcularmos o complementar de A em relação a B e/ou o complementar de B em relação a A.

A = {0, 2, 4, 6, 8}

B = {0, 4, 8}

Aí fica uma pergunta: vocês entenderam o que eu quis dizer com “verifiquem a possibilidade de calcularmos”? Pessoal, vocês devem lembrar aqui, que para realizar o cálculo do complementar de A em relação a B, A deve ser subconjunto de B, e claro, para realizar o cálculo do complementar de B em relação a A, B deve ser subconjunto de A. Assim, nesse caso, nós só poderemos calcular o complementar de B em relação a A, porque reparem que B é subconjunto de A, mas o contrário não é válido.

Observando a resolução deste último exemplo, vocês conseguem perceber que são justamente os elementos 2 e 6 que faltam ao conjunto B para que ele se torne o conjunto A? Por isso o conjunto {2, 6} é o conjunto complementar de B em relação ao conjunto A!

E depois de tudo o que acabamos de discutir, não há dúvidas de que esse texto está chegando ao fim! Agradeço imensamente a atenção de vocês, e espero que o que vimos aqui, somado ao que vocês verão agora no vídeo que está em anexo, seja muito proveitoso para os seus estudos! Lembrem que a teoria dos conjuntos é base para toda a matemática do ensino médio, portanto, vocês já podem se considerar mais próximos daquela nota ótima desejada no ENEM e nos vestibulares!

Um abraço! Tenham sempre ótimos estudos em matemática!