DÍZIMAS PERIÓDICAS

06/07/2018

Olá pessoal! Tudo bem com vocês?

Uma dízima periódica é um número decimal bastante curioso: suas casas decimais são compostas por grupos de um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. É justamente a forma como isso acontece, que define se uma dízima periódica é simples ou composta, fato que nós abordaremos aqui!

Além disso, pode não parecer, mas toda dízima periódica ou decimal periódico é um número racional, e por isso pode ser representado na forma de fração. Pois bem, é daí mesmo que surgiu o termo “fração geratriz”, a fração que dá origem a um decimal periódico. Vocês estão curiosos para saber como obtê-la? Então acompanhem o texto, porque vamos estudar um macete que torna essa busca muito simples.

Felizmente ou infelizmente, as dízimas periódicas podem surgir nas questões das provas de matemática do ENEM, dos vestibulares e até mesmo dos concursos públicos. Mas vocês não podem deixar assuntos tão simples da matemática básica causarem dúvidas em provas como essas. Que tal conhecer a plataforma do Professor Ferretto então? Lá vocês encontram um curso de matemática completo, com videoaulas, exercícios resolvidos, plano de estudos, simulados semanais e mais uma série de benefícios. Não custa nada dar uma olhadinha no site não é mesmo? Acessem lá e conheçam todos os planos!

Vamos começar observando algumas dízimas periódicas muito famosas:

Reparem que algumas dízimas periódicas acima possuem parte inteira, enquanto outras não possuem. Mas isso não é o mais importante. Nós temos que prestar bastante atenção nas casas decimais das dízimas periódicas, ou seja, nos números que se encontram após a vírgula, ou a direita da vírgula. Vocês saberiam dizer por que isso é tão imprescindível?

Pessoal, é nos algarismos após a vírgula que se encontra o período da dízima periódica. Ele sempre será formado pelo grupo de um ou mais números que se repetem infinitamenteAnalisando os exemplos do quadro acima, nós podemos encontrar o período de cada uma das dízimas periódicas que foram apresentadas:

Ao conhecermos o período de uma dízima periódica, surge uma nova forma de representa-la, em que não é necessário escrever infinitas casas decimais e utilizar as reticências. Para isto, basta escrever o decimal periódico apenas até o término de seu período, e em seguida, adicionar uma barra acima do número que representa o período. Observem como isso se aplica aos exemplos que temos utilizado:

Com a escrita, tudo certo! Agora precisamos entender como é possível ler esses números com clareza. É simples, não se preocupem. Faremos a leitura normalmente, e no final, adicionaremos a palavra periódico, como no exemplo:

Tranquilo, não é mesmo? Mas vejam que nem sempre as casas decimais de uma dízima periódica são compostas apenas por seu período. Às vezes, aparecem alguns números intrusos entre a vírgula e o período de um decimal periódico. Intrusos!? Exatamente. O grupo de um ou mais números que não se repete, e que pode aparecer em uma dízima periódica antes da formação de seu período, costuma ser chamado de intruso. Vamos procurar os intrusos que se encontram no quadro abaixo:

É justamente a presença ou não de algarismos intrusos em uma dízima periódica, que dá origem a sua classificação. Por isso, vamos continuar o texto abordando esse assunto. Vem comigo aqui!

 

1. CLASSIFICAÇÃO DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA

  • Simples: uma dízima periódica é simples, quando logo após a vírgula encontra-se o seu período, que segue infinitamente, sem que haja qualquer algarismo intruso.

Exemplos:

  • Composta: uma dízima periódica é composta, quando existe um grupo de um ou mais algarismos após a vírgula que não faz parte do período, ou seja, quando há a presença de um número intruso.

Exemplos:

Com ou sem parte inteira, e com ou sem intruso, toda e qualquer dízima periódica pode ser representada na forma de fração, ou seja, na forma de inteiro sobre inteiro, onde o denominador jamais pode ser zero. Nós estudaremos como encontrar a fração que representa as mais variadas dízimas periódicas na sequência.

 

2. FRAÇÃO GERATRIZ

A fração que gera, ou que dá origem a uma dízima periódica, é chamada de fração geratriz. Para entendermos a essência de como é possível encontrar essa fração a partir de uma dízima periódica dada, vamos utilizar uma sequência de passos juntamente a alguns exemplos. Acompanhem com atenção.

Qual é a fração que dá origem ao número 0,222222…?

1º passo: igualar a dízima periódica a variável x.

x  = 0,22222…

2º passo: deslocar a vírgula do número decimal até o final de seu período.

Deslocar a vírgula de um número decimal para a direita, nada mais é do que multiplicar esse número por 10 a cada novo deslocamento.

Pois bem, o número 0,22222… possui como período o algarismo 2, não é mesmo? Por isso, para ir até o final de seu período, basta deslocarmos a vírgula apenas uma casa para a direita. Se nós multiplicarmos a dízima periódica por 10, de um lado da equação, é necessário fazer isso do outro lado também, para que não haja alteração da equação original, e por esse motivo, multiplicaremos também a variável x por 10.

10∙x = 2,22222….

3º passo: separar a parte inteira da dízima periódica de sua parte decimal.

Separar a parte inteira da parte decimal de um número, nada mais é do que realizar uma soma entre essas partes.

Vejam se ambos os lados da igualdade não representam exatamente o mesmo valor:

2,22222… = 2 + 0,222222…

Entendido? Vamos substituir então o número 2,22222 … pela soma que acabamos de formar:

10∙x = 2 + 0,22222….

Agora chegamos a um estágio muito interessante. Voltem lá no nosso 1º passo. Naquele momento, nós afirmamos que a variável x era exatamente igual a dízima periódica de quem estamos buscando a fração geratriz. Mas não é que separando a parte inteira, da parte decimal de 2,22222…, não surgiu exatamente a dízima periódica 0,22222… novamente!? Já que segundo o que afirmamos, ela vale x, nós a substituiremos pela variável x, e assim nos restará apenas concluir o cálculo:

10∙x = 2 + x

10∙xx = 2

9∙x = 2

x = 2/9

Portanto, é fato que 2/9 = 0,22222… Fica como tarefa conferir esse resultado na calculadora de vocês.

Vamos resolver agora um segundo exemplo, levemente diferente do anterior. Em um caso como o seguinte, os 3 passos que acabamos de utilizar serão repetidos, olhem só:

Qual é a fração que dá origem ao número 0,484848…?

1º passo: igualar a dízima periódica a variável x.

x  = 0,484848…

2º passo: deslocar a vírgula do número decimal até o final de seu período.

Como nesse caso, o período é formado por dois algarismos, é necessário deslocar a vírgula duas casas para a direita. Mas dois deslocamentos da vírgula resultam em duas multiplicações por 10, portanto, estamos multiplicando a nossa equação por 100 nesse exemplo.

100∙x = 48,484848….

3º passo: separar a parte inteira da dízima periódica de sua parte decimal.

100∙x = 48 + 0,484848….

100∙x = 48 + x

100∙xx = 48

99∙x = 48

x = 48/99

Fácil, não é mesmo? Mas nós ainda não resolvemos nenhum caso onde houvessem algarismos intrusos na dízima periódica. Não se preocupem, também não é difícil encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica composta. Só precisaremos utilizar alguns passos a mais. Vem comigo aqui!

Qual é a fração que dá origem ao número 0,178787878…?

1º passo: igualar a dízima periódica a variável x.

x  = 0,178787878…

2º passo: deslocar a vírgula do número decimal até o fim dos algarismos intrusos.

Vejam que o 2º passo é um pouquinho diferente para a dízima periódica composta. Iremos deslocar a vírgula aqui até o ponto onde terminam os algarismos intrusos. No número 0,178787878…, temos apenas um algarismo intruso, o 1. Por isso, deslocaremos a vírgula apenas uma casa para a direita, e multiplicaremos, portanto, a equação por 10.

 10∙x = 1,787878….

3º passo: separar a parte inteira da dízima periódica de sua parte decimal.

10∙x = 1 + 0,787878….

Agora, vejam que algo diferente aconteceu. Nos casos anteriores, ao realizarmos o 3º passo, a dízima periódica que surgia era exatamente aquela que havia começado todo o cálculo. Mas quando existem intrusos isso não acontece, e aí não podemos substituir o número por x. Para resolver essa situação, o jeito é encontrar a fração geratriz dessa nova dízima periódica simples que surgiu, e na sequência seguir o cálculo normalmente:

Acabamos de ver como é possível encontrar a fração geratriz, dada uma dízima periódica. Mas aí fica a pergunta: será que não tem um jeito um pouquinho mais fácil? Sempre tem um jeito mais fácil pessoal! Vou ensinar a vocês agora, um super macete que vai nos poupar o desenvolvimento de todas essas equações. Observem esse esquema:

Entenderam a ideia? Vamos resolver mais um exemplo para tornar tudo bem claro:

Qual é a fração que dá origem ao número 0,66666666 … ?

Neste número, temos um período de apenas um algarismo, o número 6. Assim, temos que:

Agora, reparem no que deve ser feito quando se busca a fração geratriz de uma dízima periódica composta:

Neste caso, vejam que precisamos tomar um pouquinho mais de cuidado com o numerador e com o denominador da fração geratriz. Por isso vamos resolver mais um exemplo:

Qual é a fração que dá origem ao número 0,4828282 … ?

Nesta dízima periódica, temos apenas um único algarismo intruso, o número 4. Também podemos constatar, que temos um período de dois algarismos, o 82. Então, logicamente, o número formado pelos algarismos que se encontram até o término do período, é 482. Portanto, temos que:

Pessoal, se a dízima periódica tiver parte inteira, nós iremos separar a parte inteira da parte decimal, e utilizaremos os macetes para encontrar a fração geratriz apenas da parte decimal. Em seguida, basta somar a parte inteira a fração geratriz encontrada. Olhem só esse exemplo:

Qual é a fração que dá origem ao número 2,4444 … ?

2,4444 … = 2 + 0,4444…

O número 0,4444.. é uma dízima periódica simples. Seu período é o número 4, então:

Agora resta-nos somar o resultado a parte inteira dada pelo número 2:

Gostaram deste macete!? Ele facilita bastante o cálculo de uma fração geratriz. Mas depois de tantos exemplos, é fato que precisamos encerrar o texto! Espero que esse conteúdo seja muito proveitoso para os seus estudos e que vocês possam aplica-lo sempre que necessário. Em anexo, fica um vídeo que complementa o assunto. Nele vocês também encontram outros exemplos, e uma breve revisão que aborda todos os números decimais .

Um abraço a todos e ótimos estudos!