EQUAÇÃO DO 2º GRAU E A FÓRMULA DE BHASKARA

31/08/2018

Olá pessoal, tudo bem?

Hoje nós vamos tirar um tempinho para abordar um assunto da matemática básica, que por sinal, é de extrema importância para quem é estudante do ensino médio, e/ou deseja realizar as provas do ENEM e dos vestibulares: a equação do segundo grau. Existem vários métodos que nos permitem resolver equações como essa, mas aqui nós vamos focar exclusivamente, naquele que utiliza uma das fórmulas matemáticas mais conhecidas do planeta: a fórmula de Bhaskara. E olhem só que interessante: esse assunto pode ser cobrado em concursos públicos também, de forma que mesmo quem já concluiu o ensino médio, e está almejando uma vaga de trabalho, pode tirar muito proveito deste texto!

Conhecer e aplicar a matemática é essencial para todas as pessoas, e por vários motivos. Primeiro, porque a matemática está presente no nosso cotidiano, já que nós utilizamos diversas operações o tempo todo, e segundo, porque ela desenvolve o nosso raciocínio, nos instiga a pensar pessoal! Por isso eu lhes apresento hoje, uma plataforma de ensino online que pode lhes proporcionar um conhecimento completo sobre matemática: a plataforma do Professor Ferretto! São 25 módulos cheinhos de conteúdo, com aulas didáticas, material de apoio, e muito mais! Eu se fosse vocês, acessava o site, ao menos para conhecer as demais vantagens e as formas de acesso ao curso!

Feito pessoal? Então vamos começar! Veremos agora a definição de uma equação do 2º grau.

 

1. DEFINIÇÃO

A equação do 2º grau é uma equação que possui o formato ax² + bx + c = 0, com a, b, c ℝ e a ≠ 0.

Observando a definição acima, vocês poderiam pensar que já conhecem de algum lugar a expressão “ax² + bx +c”. Isso é verdade, afinal nós já estudamos aqui a função quadrática, ou função do 2º grau, dada na forma f(x)= ax² + bx + c. Mas se vocês reparem com mais atenção, vão ver que o formato da função do segundo grau é um pouquinho diferente da equação do segundo grau.

Pessoal, uma função será sempre uma regra que associa cada elemento x do seu domínio, a um único elemento y do seu contradomínio, essa é a sua definição do ponto de vista de conjuntos. Enquanto isso, uma equação é vista como uma IGUALDADE entre dois termos, que claro, podem ser algébricos ou numéricos. Isso nos permite concluir, que quando uma função é igualada a qualquer valor numérico, ela se torna uma equação! Aí já dá para entender porque a expressão ax² + bx + c = 0, é conhecida como uma equação do 2º grau, porque está sendo igualada ao valor zero.

Agora, vocês já se perguntaram por que a expressão acima é conhecida como equação do “2º grau”? Para quem já acompanhou o texto Introdução à Função Quadrática, eu tenho uma boa notícia: a explicação para uma função ou para uma equação ser dita como do 2º grau é exatamente a mesma, e tem tudo a ver com o grau do polinômio ax2 + bx + c, expresso pelo maior expoente da variável x, o 2.

Os coeficientes de uma equação do segundo grau, a, b, e c, são números que pertencem ao conjunto dos números reais (ℝ). Ao contrário de a e b, c não é acompanhado pela incógnita x, e por isso é chamado de termo independente da equação do segundo grau. Enquanto isso, b é o coeficiente que acompanha x, e a é o coeficiente que acompanha o termo x2, o que explica porque ele deve ser necessariamente diferente de zero (a ≠ 0). Bom, imaginem se a fosse igual a zero: o termo ax2 deixaria de existir, restando apenas a expressão “bx + c = 0”. Uma expressão como essa, jamais representaria uma equação do 2º grau, mas sim uma equação do 1º grau, já que aí, o maior expoente de x seria 1.

Tudo entendido até aqui? Então lanço agora um novo desafio a vocês: nós vimos que quando uma função é igualada a qualquer valor numérico, ela vira uma equação, certo? Aí eu pergunto: por que motivo a equação do segundo grau está sendo igualada justamente a zero, e não a 1, 2, 3 …? É isso que nós veremos agora!

 

2. RESOLVENDO UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Uma função do segundo grau, f(x)= ax² + bx + c, também pode ser dada na forma y = ax² + bx + c, não é mesmo? Então, quando transformamos essa função em uma equação, e igualamos a expressão a zero, de tal forma que ax² + bx + c = 0, não estamos justamente substituindo o valor de y por zero?

Assim, resolver uma equação do 2º grau, significa encontrar os valores de x que tornam essa equação igual a zero, ou seja, que fazem com que o valor de y seja igual a zero. Esses valores de x encontrados, representam a solução da equação, e são conhecidos como suas raízes. Mas por que será que falei em valores de x, ou seja, usei o termo “valor” no plural? É porque uma equação do 2º grau sempre irá possuir duas raízes, ou dois valores de x que fazem com que y seja igual a zero!

Então, somente para concluir a ideia, lembrem sempre do seguinte: resolver uma equação do segundo grau nada mais é do que encontrar as suas duas raízes. Só que as raízes de uma equação são os valores de x que fazem com que a mesma seja igual a zero. É por isso que igualamos a expressão ax2 + bx + c justamente a zero, porque de outro modo, não estaríamos em busca de suas raízes!

 

2.1 Encontrando as raízes de uma equação do 2º grau através da Fórmula de Bhaskara

Uma maneira de descobrirmos as raízes de uma equação do segundo grau (ax² + bx + c = 0) é utilizando a conhecida fórmula de Bhaskara, aquela em que o nosso amigo ali em cima, o Bhaskara Akaria, está pensando. Mas ao contrário do que parece, não foi esse matemático indiano que criou a fórmula mais indicada para a resolução de equações do 2º grau. Existem registros da existência dessa fórmula, claro, não exatamente na forma que a conhecemos hoje, em textos escritos por babilônios cerca de 4000 anos antes da própria existência de Bhaskara.

Naquela época, as equações do segundo grau eram resolvidas através de regras, que nada mais eram do que descrições por extenso em forma de poesia, que listavam as operações necessárias para resolver alguns problemas de 2º grau específicos. Também existem registros de povos, que resolviam problemas envolvendo as equações do 2º grau através de métodos geométricos. O fato é que somente por volta de 400 anos depois que Bhaskara viveu, que  François Viète, um matemático francês, se dedicou a obter uma fórmula algébrica baseada nas descrições que existiam, e desde então, ele nos possibilitou resolver qualquer equação do 2º grau através da fórmula abaixo:

Podemos ler, e assim também já ir memorizando a fórmula acima da seguinte maneira: x é igual a menos b, mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos 4 vezes a vezes c, tudo dividido por 2 vezes a. Mas qual seria a razão de existir o sinal ± na fórmula, vocês sabem? A verdade, é que como podemos ver na imagem acima, a ideia é encontrar sempre duas raízes em uma equação do segundo grau, só que utilizando uma única fórmula.

Assim, esse é o jeito de diferenciar a primeira raiz, que costuma ser chamada de x1 ou de x’, da segunda raiz, que costuma ser chamada de x2 ou de x”. Para encontrar o valor de uma delas, basta utilizar o sinal positivo, e para encontrar o valor da outra, é só utilizar o sinal negativo, sem necessidade de uma ordem específica para o uso do sinal, e pronto!

Então pessoal, pode não parecer, mas encontrar as raízes de uma equação do 2º grau através da fórmula de Bhaskara é extremamente simples: ao se deparar como uma equação como essas, encontrem primeiramente os valores dos seus coeficientes a, b, e c. Em seguida, basta substituir todos esses valores na fórmula de Bhaskara, e em questão de minutos, vocês chegarão as tão sonhadas raízes da equação. Querem ver como fica? Acompanhem esses dois exemplos comigo!

Bem tranquilo não é mesmo? Repararam que no início de ambas as resoluções, a fórmula de Bhaskara foi escrita e só depois os valores de a, b, e c foram substituídos? Isso é uma estratégia interessante para vocês memorizarem a fórmula de Bhaskara! Uma vez que esta fórmula esteja memorizada, então é possível encontrar as raízes de uma equação do 2º grau de uma forma mais rápida, pulando alguns passos utilizados acima, tudo de acordo com a preferência de vocês.

Nesses dois exemplos, uma equação do segundo grau foi apresentada, e nós a resolvemos sem ter qualquer noção do que a fórmula de Bhaskara poderia nos apresentar como solução. Mas e se de alguma forma, nós pudéssemos prever a solução encontrada, ou ainda, ter uma ideia do comportamento das raízes de cada equação do 2º grau? Acreditem, isso é possível, desde que façamos um estudo da natureza das raízes das equações do segundo grau.

 

2.2 Natureza das raízes de uma equação do 2º grau

É verdade que nós acabamos de estudar que uma equação do segundo grau possui sempre 2 raízes. Mas o que nós não sabemos ainda, é que essas duas raízes podem se comportar de 3 maneiras diferentes, que podem ser determinadas através do valor do discriminante da equação do 2º grau, também conhecido como delta (Δ). O valor do delta é exatamente aquele que se encontra dentro da raiz quadrada da fórmula de Bhaskara, olhem só:

Assim, é possível afirmar que:

  • Se Δ > 0, ou seja, um valor positivo, então as duas raízes serão reais e diferentes;
  • Se Δ = 0, então as duas raízes serão reais e iguais;
  • Se Δ < 0, ou seja, um valor negativo, então as duas raízes serão imaginárias, e pertencerão ao conjunto dos números complexos (ℂ).

É por isso que muitos autores se referem a fórmula de Bhaskara da forma que vemos no quadro acima. Aí eles calculam o valor do delta por primeiro, e com isso já tem uma ideia, de antemão, se as duas raízes encontradas serão reais e iguais, reais e distintas, ou mesmo imaginárias, assunto que não nos cabe estudar por enquanto.

O fato é que nos dois exercícios que resolvemos anteriormente, nós sempre encontramos duas raízes reais e distintas, ou diferentes. Isso só pode significar que o valor do delta, nesses casos, foi sempre positivo, ou maior que zero. Bom, vamos ver o que acontecerá nos próximos exemplos, em que não iremos partir direto para a fórmula de Bhaskara, com o intuito de encontrar as duas raízes das equações. A partir de agora, vamos estudar apenas a natureza das raízes das equações do segundo grau. Venham comigo!

Através desses 3 exemplos, foi possível acompanhar as 3 formas que as raízes de uma equação do 2º grau podem apresentar, tudo através do cálculo dos seus discriminantes (Δ). Mas será que isso está certo? Eu se fosse vocês, calculava aí as raízes dessas últimas três equações exemplo, para averiguar se a nossa previsão está correta. É claro que elas também são resolvidas no vídeo que deixo em anexo, juntamente a mais uma série de informações que proporcionam um conhecimento completo sobre a equação do segundo grau. Deem uma olhada nele, e garanto que não irão se arrepender!

Agora, aí vai uma última informação importante: nós estudamos muito pouco do que o discriminante da equação do segundo grau representa matematicamente. Mas é porque tudo não ia caber nesse texto! Por isso, acompanhem também o texto Quantidade de raízes reais da função quadrática, e vocês verão o salto que darão rumo aquela nota alta desejada no ENEM e nos vestibulares!

E eu, fico por aqui. Um abração a todos!