EQUAÇÃO DO 2º GRAU E O MÉTODO DA SOMA E PRODUTO

07/09/2018

Olá pessoal! Tudo certo por aí?

Por meio do texto de hoje, eu trago uma proposta muito interessante para vocês: que tal fugir um pouco da fórmula de Bhaskara, e resolver as equações do segundo grau, através de um método que utiliza duas operações básicas da matemática? Sim, o método da soma e produto pode facilitar muito a obtenção das raízes de uma equação do 2º grau, e de quebra, ele nos ajuda a desenvolver o raciocínio!

Pois é, da fórmula de Bhaskara até que dá para fugir as vezes, agora, se vocês almejam uma vaga no ensino superior, infelizmente não vai dar para escapar do ENEM e dos vestibulares, não é mesmo? Então, já que não tem jeito, o melhor é estar bem preparado, e assim, realizar essas provas com tranquilidade! Bom, se o problema for a matemática ou mesmo a física, saibam que o Professor Ferretto pode lhes ajudar! Só a plataforma do Ferretto tem videoaulas de toda a matemática e física do ensino médio 100% online, além de exercícios do ENEM e de vestibulares resolvidos, simulados semanais e muito mais! Para conferir todos os benefícios do curso, é só acessar o site!

Pessoal, finalmente está chegando a hora de iniciarmos os nossos estudos! Mas antes disso, aqui vai um aviso bem importante: esse texto é quase que um complemento daquele intitulado Equação do 2º grau e a Fórmula de Bhaskara, que nós já estudamos aqui no blog. Portanto, caso vocês nunca tenham ouvido falar, ou mesmo não estão muito lembrados dos assuntos retratados nos itens abaixo, é imprescindível acompanhar esse texto, antes de iniciar a leitura por aqui:

  • Definição de uma equação do 2º grau;
  • Diferença entre função e equação do 2º grau;
  • Por que uma equação é dita como “do 2º grau”?
  • Coeficientes a, b e c da equação do 2º grau;
  • O que significa resolver uma equação do 2º grau?
  • Como utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau?
  • Natureza das raízes de uma equação do 2º grau.

E agora, tudo isso já está na ponta da língua ? Pois bem, então vocês já sabem que o formato clássico da equação do segundo grau, é o tal de ax² + bx + c = 0, certo? Além disso, provavelmente vocês viram que resolver uma equação do segundo grau significa encontrar as suas duas raízes, que nada mais são do que os valores de x que fazem com que a equação seja igual a zero.

Bom, é fato que a fórmula de Bhaskara, será sempre a melhor escolha quando o objetivo é encontrar as duas raízes de uma equação do 2º grau. Isso porque ela nos proporciona ter o conhecimento prévio da natureza das raízes da equação, ou seja, através dela, é possível determinar se as raízes serão reais e iguais, reais e distintas e até mesmo imaginárias. E melhor, tudo isso acontece sem muito esforço ou raciocínio, afinal, é só aplicar a fórmula corretamente, e pronto! Ops, acho que acabei de comprometer o texto de hoje: qual seria a razão de apresentar a vocês um método diferente de resolução de equações do 2º grau, se ele não se mostra tão eficiente quanto a fórmula de Bhaskara?

A verdade pessoal, é que quando vocês estiverem craques no método da soma e produto, as suas resoluções de equações do 2º grau serão muito mais rápidas e práticas, quando comparadas aquelas que utilizam a fórmula de Bhaskara, e não dá para negar que o tempo, é um fator determinante quando se fala em ENEM e nos vestibulares. Agora, é claro que tudo o que envolve raciocínio, precisa de treino e dedicação para funcionar bem. Mas não se preocupem, eu vou dar várias dicas de como, e quando é melhor utilizar o método da soma e produto ao invés da fórmula de Bhaskara. Acompanhem comigo aqui!

 

1. UTILIZANDO A SOMA E O PRODUTO PARA ENCONTRAR AS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

 

Uma maneira de descobrir as duas raízes de uma equação do 2º grau (ax² + bx + c = 0), é utilizando as fórmulas da soma e do produto dessas raízes. Vejam só:

Nas fórmulas acima, 5 elementos distintos nos chamam a atenção: x1 e x2, que são as duas raízes da equação do 2º grau, e também a, b, e c, que são os coeficientes dessa mesma equação. a sempre será o coeficiente que acompanha o termo x2, enquanto b será sempre o coeficiente que acompanha o termo x, e c, por sua vez, será sempre o termo independente da equação do 2º grau, já que ele é o único que não acompanha incógnita alguma.

Visto isso, podemos concluir que a soma das duas raízes, x1 e x2, de qualquer equação do 2º grau, resulta sempre no valor oposto ou contrário ao quociente entre os coeficientes b e a da equação, enquanto o produto das mesmas raízes x1 e x2, resulta simplesmente no valor do quociente entre os coeficientes c e a da equação.

O fato é que é muito mais comum conhecermos os valores numéricos dos coeficientes a, b, e c, de uma certa equação do 2º grau, do que as suas raízes x1 e x2. Na verdade, as raízes de uma equação do segundo grau, costumam ser as incógnitas do problema, ou seja, aquilo que estamos procurando. Por isso, para quem ainda não percebeu, é aí que entre a ideia do raciocínio do método: de acordo com as fórmulas que foram apresentadas, nós vamos conhecer primeiramente o resultado da soma e do produto entre as raízes, mas não as raízes em si!

Isso significa que ao invés de efetuarmos uma simples soma e um produto entre dois números, em busca de dois resultados, nós já teremos esses dois resultados, e estaremos em busca dos valores que levaram a eles. Um tanto confuso não é mesmo? Mas não se preocupem, é para esclarecer loucuras como essas que servem os exemplos. Vem comigo aqui!

 

1. No conjunto ℝ, resolva as seguintes equações:

a. x2 – 10x + 21 = 0

Já que o resultado da soma e do produto entre as raízes da equação acima, tem relação com os seus coeficientes a, b, e c, o primeiro passo é determinar, bem certinho, os valores numéricos destes coeficientes:

Em seguida, já podemos montar as fórmulas da soma e do produto do caso, de acordo com o que acabamos de ver no texto:

Ora, ora, ora. Parece que quando somamos as duas raízes da equação x2 – 10x + 21 = 0, o resultado deve ser o valor 10. Já quando multiplicamos essas mesmas duas raízes, o resultado, por sua vez, deve ser o valor 21. E aí, alguma pista de que raízes seriam essas? Então deem uma olhada na dica abaixo.

Sendo assim, nós vamos começar imaginando algumas combinações de valores inteiros que quando multiplicados resultam em 21, e em seguida, vamos testar se esses valores somados resultam mesmo no valor 10. Outra dica importante, é reparar no fato de que ambos os resultados desse caso, 10 e 21, são valores positivos. De acordo com as regras dos sinais para a adição e a para a multiplicação, isso só pode significar que ambas as raízes serão positivas também, o que pode nos ajudar a imaginar as combinações, olhem só:

Essa foi fácil não é mesmo? Na segunda combinação que imaginamos, já encontramos os valores 3 e 7, que quando somados resultam em 10, e que quando multiplicados resultam em 21. Isso significa que 3 e 7, são as soluções para a equação x2 – 10x + 21 = 0, ou seja, são as raízes dessa equação:

 

b. x2 + 3x – 10 = 0

É claro que neste item nós vamos seguir o mesmo procedimento do caso anterior. Primeiro, determinaremos os coeficientes a, b, e c, da equação x2 + 3x – 10 = 0, e em seguida, montaremos as fórmulas da soma e do produto desta equação, para enfim, começarmos a pensar nas combinações de valores necessárias.

Observem que o produto das raízes da equação x2 + 3x – 10 = 0 deve ser igual a –10, enquanto que a soma dessas mesmas raízes deve resultar em –3. É claro que nós começaremos pensando em uma combinação de valores que quando multiplicados resultem em –10, e só depois testaremos os valores obtidos, na esperança de que somados, eles resultem em –3. Só que como no exemplo anterior, é importante levar em consideração as regras dos sinais para a adição e para a multiplicação. Pensem só, se os dois resultados obtidos são negativos, então uma raiz deve ser negativa, mas certamente será a de maior módulo, ou então, não teríamos uma resposta negativa para a adição, vocês não acham? Bom, vamos aos valores numéricos de uma vez:

Novamente, vejam que na nossa segunda tentativa, o resultado já foi satisfatório! Quando somados, os números 2 e –5, resultam em –3, ao mesmo tempo que quando multiplicados, os mesmos números resultam em –10. Perfeito! As soluções ou raízes da equação x2 + 3x – 10 = 0, são mesmo 2 e –5.

 

Agora, vocês já ouviram falar naquela frase que diz que nem tudo na vida são flores? Pois é, nem sempre as equações do 2º grau irão sorrir para nós e nos entregar, logo de cara, as suas duas raízes quando montamos as fórmulas da soma e do produto. Isso pode acontecer por dois motivos principais.

1º) Pelo menos uma das raízes é uma fração, ou um número decimal.

Exemplo:

2x2 + 3x – 5 = 0

Para quem tem muita prática com o método da soma e produto, e/ou tem bastante facilidade com a soma e a multiplicação de frações, pode ser que seja fácil descobrir que as raízes da equação acima são os números 1 e -5/2. Mas para muitas pessoas, garanto que seria bem mais fácil e rápido resolver a questão através da fórmula de Bhaskara mesmo. Se esse for o caso de vocês, não hesitem em abandonar o método da soma e produto!

2º) As raízes da equação do segundo grau são imaginárias, e portanto não pertencem ao conjunto dos números reais, mas sim ao conjunto dos números complexos (ℂ).

Exemplo:

x2 + 2x – 2 = 0

E aí, será que existem dois números reais, que quando somados e multiplicados resultam no valor 2? Não parece lógico não é mesmo? Bom, caso vocês avistem um caso que não parece ter solução como esse, experimentem calcular o discriminante da equação, ou mesmo partir logo para a fórmula de Bhaskara como um todo, e aí terão plena certeza do que está acontecendo. Como temos aqui uma equação do 2º grau cujas raízes são complexas, é lógico que não temos uma solução real para o caso. Em forma de conjunto solução, podemos representar a situação através de um conjunto vazio.

É claro que muitas vezes vocês podem olhar para as fórmulas da soma e produto, e não identificar as raízes rapidamente, mesmo sendo elas reais e iguais, ou reais e distintas, e compostas por números inteiros. Mas não há problema algum quanto a isso: não deu para utilizar o método, então vão logo para a fórmula e pronto. De qualquer maneira, eu garanto: mesmo com a infinidade de equações do 2º grau que não nos mostram suas raízes facilmente, ainda dá para usar o método da soma e produto pra caramba!

 

E como foi dito nos exemplos deste texto, conhecer as regras dos sinais pode nos ajudar muito a captar as raízes das equações do segundo grau através do método da soma e produto. Por isso, disponibilizei aqui em cima duas tabelinhas bem completas para vocês deixarem para trás todas as dúvidas sobre o assunto!

E mais uma vez, é chegada a hora de encerrarmos o texto! Espero que vocês tenham aprendido bastante sobre o tema de hoje, e que tenham se divertido também, afinal, a matemática pode sim ser interessante quando é apresentada com qualidade! Em anexo, deixo um vídeo bem extenso, já aviso, mas que contém tudo aquilo que vocês precisam saber sobre as equações do segundo grau. Nos tempos de hoje, é claro que não dá para perder um conteúdo completo e gratuito não é mesmo? Assistam lá então!

Aqui fica o meu abraço e o meu desejo de que vocês tenham muito sucesso nos estudos! Até mais!