EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

03/04/2018

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

Hoje vamos falar de um assunto muito importante da matemática básica, as equações do 1º grau. Esse tipo de equação é sempre muito cobrado em provas de vestibulares, na prova do Enem, e também em muitos concursos públicos. Por isso, nós vamos ver como encontrar as raízes da equação do primeiro grau, o seu formato padrão e faremos alguns exercícios para entender bem esse assunto. Boa aula!

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Vamos começar?  Veremos agora o que são as equações do primeiro grau.

 

1. DEFINIÇÃO

No quadro acima, temos a definição de uma equação, pois vejam que a expressão está sendo igualada a um número, nesse caso, o zero. Essa equação representada acima, é uma equação do primeiro grau, isto porque a incógnita, representada pela letra x, não possui um expoente visível, ou seja, o expoente dela vale 1. Perceberam o detalhe? O expoente da incógnita é quem define o grau da equação!

Já os termos a e b, como abordado na definição, são dois números que pertencem ao conjunto dos números reais, sendo a diferente de zero. Isto porque, caso o a fosse zero, iríamos ter 0 vezes o x, ou seja, ficaríamos com zero, e o termo ax acabaria sumindo. Desta forma, nós não teríamos mais uma equação do 1º grau, teríamos apenas um valor constante, o b.

Assim, lembrem sempre, para que seja uma equação do 1º grau, é necessário que ela seja dada na forma ax + b = 0, com o a diferente de 0.

Vamos ver um exemplo de equação do 1º grau? Vem comigo aqui!

3x – 5 = 0

Esta é uma equação do primeiro grau em que x é a incógnita. Observem que o número 3 está multiplicando a incógnita, então, o 3 é o valor do coeficiente a desta equação. Já o coeficiente b, termo independe da equação do 1º grau, está sendo representado pelo -5. Dessa forma:

a = 3 e b = -5

Acabamos de encontrar os coeficientes a e b, certo? Mas o mais importante desse assunto é que saibamos encontrar o valor da incógnita x em uma equação do 1º grau. O valor da incógnita nada mais é do que a raiz da equação.

 

2. RESOLVENDO UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Resolver uma equação do primeiro grau significa encontrar a raiz dessa equação. Vamos entender como isso é possível através dos exercícios abaixo.

No conjunto  resolva as seguintes equações:

Para resolver esta equação, começamos colocando os termos iguais do mesmo lado da igualdade. Mas o que significa um termo ser igual ao outro? Nas equações, isso quer dizer que deixamos todos os termos com x de um lado, e todos os termos independentes ou que não possuem o x do outro. Assim, o 3x passa para o lado esquerdo com sinal contrário, ou seja, negativo, enquanto que o 15 passa para o lado direito com sinal positivo.

Assim nós podemos dizer que a raiz dessa equação é 3. Muitas vezes, a solução de uma equação do 1º grau é dada em forma de conjunto solução, conforme vemos abaixo:

S = {3}

Perceberam que a equação  não estava exatamente no formato ax + b = 0?  Então, uma equação do primeiro grau nem sempre estará exatamente nesse formato, o que importa mesmo é que possamos encontrar a sua raiz como fizemos acima! Vamos ao próximo item para reforçar a ideia:

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

Portanto:  S = {3}

Novamente a raiz da equação é 3, não é? Vamos tratar agora de uma equação um pouquinho diferente dos exemplos acima.

Vocês já ouviram falar em equação fracionária? Então, essa também é uma equação do primeiro grau, exatamente como as que vimos acima, só que formada por frações, onde a incógnita encontra-se no denominador. Vamos ver como podemos encontrar a raiz de uma equação como essa:

O primeiro passo para resolver uma equação fracionária, onde os denominadores são diferentes, é encontrar o denominador comum, e isso pode ser feito de duas maneiras. A que vamos utilizar agora é aquela onde calculamos o MMC ou o Mínimo Múltiplo Comum, o que você pode aprender a fazer direitinho lendo o texto Mínimo Múltiplo Comum e suas Propriedades. Vamos então calcular o MMC entre 4, x e 12:

Conhecendo o MMC, vamos então continuar a operação:

Repararam que neste momento os denominadores são todos iguais? Podemos então, sem problema algum continuar trabalhando apenas com os numeradores:

Portanto S = {6}.

Tranquilo pessoal? Até aqui sempre resolvemos equações que nos eram dadas diretamente. Mas sabemos que na maioria das provas, sejam elas do ENEM ou de vestibulares, nós precisamos interpretar certas situações, e aí acabamos caindo em uma equação do 1º grau, onde nós deveremos resolver essa equação, ou seja, encontrar a raiz dela para encontrar a solução do problema. Vamos ver dois exemplos de situações como essa na sequência.

1. No final do mês de outubro, os estudantes Carlos e Artur haviam gastado respectivamente dois terços e três quintos de suas mesadas. Embora a mesada de Carlos seja menor, ele gastou R$ 8,00 a mais do que Artur. Se a soma dos valores das duas mesadas é R$ 810,00 qual é o valor monetário da diferença entre os valores das duas mesadas?

Analisando as informações dadas no texto, conseguimos perceber que a mesada de Carlos (C) mais a mesada de Artur (A) resulta em R$ 810,00. Podemos então montar a nossa primeira equação:

Sabemos também que Carlos gastou R$ 8,00 a mais do que Artur. Então podemos dizer que o gasto de Carlos menos o gasto de Artur resulta em R$ 8,00. Como Carlos gastou 2/3 de sua mesada, enquanto que o Artur gastou 3/5 da mesada, podemos representar essa diferença entre os gastos, na forma de equação, da seguinte maneira:

Aqui é importante que vocês reparem no seguinte: quando é dito que foi gasto uma fração de um valor, significa matematicamente que devemos multiplicar essa fração pelo valor total. Carlos gastou 2/3 de sua mesada, cujo valor total nós determinamos que é C. Por isso temos na parcela acima 2/3 multiplicando C. O mesmo ocorre para Artur que gastou 3/5 do total de sua mesada que determinamos ser A. Isso explica a multiplicação de 3/5 por A. Entenderam a ideia?  

Vamos resolver então a equação 2. Reparem que temos os denominadores 3 e 5. Podemos facilmente calcular o denominador comum efetuando a multiplicação entre os termos, que resulta em 15:

Novamente, agora com denominadores iguais, podemos dar seguimento ao caso trabalhando apenas com os numeradores:

Da equação 1, sabemos que:

Então podemos substituir o valor de A na equação 2 e encontrar o valor C, que representa o valor total da mesada de Carlos:

Agora que descobrimos a mesada de Carlos, podemos descobrir a de Artur. Que será:

Mas a questão quer saber o valor monetário da diferença entre os valores das duas mesadas, logo:

Assim a diferença entre os valores das mesadas de cada um deles é de R$ 30,00. Vamos ao nosso último exemplo:

2. Colocando-se 24 litros de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do marcador, que indicava ¼ do tanque, passou a indicar 5/8. Determine a capacidade do tanque de combustível da caminhonete.

Como podemos equacionar este problema? Vou mostrar a vocês uma pequena ilustração do caso para tornar tudo mais claro:

 

Assim, em forma de equação, podemos dizer que:

Assim finalizamos o texto de hoje! Espero que as equações do primeiro grau não sejam mais um mistério para vocês. Continuem fazendo os exercícios e assistam o vídeo deixado em anexo. Ele possui muitas informações e mais alguns exercícios propostos.

Um abração, sucesso e até o próximo texto!