EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS

14/09/2018

Olá pessoal, como vão?

Uma equação do segundo grau é considerada incompleta, quando pelo menos um de seus coeficientes, que não aquele que acompanha o termo x², é de valor zero. Mas acreditem, ser uma equação do 2º grau incompleta não é nem de longe um problema! Isso porque é possível resolver equações como essa facilmente, e sem o uso da fórmula de Bhaskara, ou do método da soma e produto. Querem um motivo melhor do que esse para dedicarmos o texto de hoje inteiramente à elas?

Então, vocês já pensaram o quanto alguns métodos de resolução alternativos, podem ajudar a poupar tempo nas provas de matemática do ENEM e dos vestibulares? Pois é, mas só quem prioriza o real aprendizado do aluno, pode mostrar os melhores métodos de resolução em todos os assuntos da matemática do ensino médio. Nesse sentido, uma coisa é certa: o Professor Ferretto dedica cada minuto do seu dia para disponibilizar o melhor conteúdo para os seus alunos! Na sua plataforma, estão disponíveis não só videoaulas, como mais de 1000 questões do ENEM e de vestibulares resolvidas em vídeo, tudo com foco na interpretação dos exercícios, porque isso tem sido muito cobrado ultimamente. Querem conhecer o curso de matemática do Ferretto? Então acessem o site, e saibam tudo sobre ele!

Bom, é fato que uma equação do 2º grau incompleta continua sendo uma equação do segundo grau. Por isso, o conhecimento que vocês vão adquirir hoje, é um complemento do que já estudamos nos textos Equação do 2º grau e a Fórmula de Bhaskara, e Equação do 2º grau e o método da soma e produto. Aí fica um alerta bem importante: caso vocês nunca tenham ouvido falar, ou mesmo não estão muito lembrados dos assuntos retratados nos itens abaixo, é imprescindível acompanhar esses dois textos, antes de iniciar a leitura por aqui:

  • Definição de uma equação do 2º grau;
  • Diferença entre função e equação do 2º grau;
  • Por que uma equação é dita como “do 2º grau”?
  • Coeficientes a, b e c da equação do 2º grau;
  • O que significa resolver uma equação do 2º grau?
  • Como utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau?
  • Natureza das raízes de uma equação do 2º grau.
  • Como e quando utilizar o método da soma e produto para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau?

Depois de ter todas essas informações fresquinhas na mente, vocês devem saber que o formato clássico da equação do segundo grau é o ax² + bx + c = 0, não é mesmo? Pois bem, mas se uma equação do 2º grau for incompleta, pelo menos um de seus coeficientes, que não aquele que acompanha o termo x², será de valor zero. Isso nos proporcionará uma série de formatos diferentes, como os que vemos na figura abaixo:

Apesar de não serem esteticamente tão “bonitas” quanto uma equação no seu formato completo, vejam que as equações acima permanecem sendo equações do 2º grau, porque o termo está presente em todas elas. Esse termo é quem caracteriza a equação como sendo “do 2º grau”, e por isso temos enfatizado tanto que o coeficiente a, que acompanha o termo , jamais pode ser zero. Se, b, c, ou ambos os coeficientes forem iguais a zero, teremos apenas uma equação do 2º grau incompleta, mas se o coeficiente a for igual a zero, então o termo ax2 deixará de existir, restando apenas uma expressão tal como “bx + c = 0”, que representa, na verdade, uma equação do 1º grau.

Pessoal, se vocês seguiram as dicas do início desse texto, e fizeram as leituras necessárias, é provável que saibam que resolver uma equação do segundo grau, significa encontrar as suas duas raízes, que nada mais são do que os valores de x que fazem com que a equação seja igual a zero. É por isso que todos os formatos de equação que vimos até agora são sempre igualados a zero, porque só assim é possível obter as raízes dessas equações. Então, para que vocês entendam o motivo pelo qual é possível fugir da fórmula de Bhaskara, e do método da soma e produto, para resolver equações do 2º grau incompletas, nós vamos lembrar um pouquinho como é que resolvíamos uma equação mais simples, a equação do 1º grau.

3x – 6 = 0

3x = 6

x = 6/3

x = 2

Vejam que no exemplo acima, a equação do primeiro grau foi igualada a zero, como deve ser, e para descobrirmos a raiz dessa equação, nós utilizamos apenas algumas operações básicas da matemática para isolar a incógnita x, e só! Agora, experimentem isolar a incógnita x das equações abaixo, tendo por objetivo encontrar as suas raízes, mas mantendo a igualdade das expressões ao valor zero:

2x2 + 3x – 5 = 0

x2 x – 6 = 0

x2 – 8x + 16 = 0

x2 + 2x – 2 = 0

Não tem como não é mesmo? Por isso, quando as equações do 2º grau se encontram no seu formato completo, é necessário utilizar a fórmula de Bhaskara, ou o método da soma e produto para resolvê-las! Agora, se elas fossem incompletas, eu garanto a vocês que nós conseguiríamos isolar a incógnita x utilizando apenas operações básicas da matemática, da mesma forma que as equações do 1º grau são resolvidas. É justamente isso que nós vamos aprender na sequência, a encontrar as duas raízes das equações do 2º grau incompletas apenas isolando a incógnita x de cada caso. Vocês verão logo mais, que dependendo do coeficiente que valer zero, nós faremos operações diferentes e teremos conclusões diferentes sobre as raízes das equações. Vamos lá!

 

1. QUANDO OS COEFICIENTES b E c SÃO IGUAIS A ZERO

Quando os coeficientes b e c de uma equação do 2º grau são iguais a zero, temos o caso mais simples de resolução deste tipo de equação. Deem uma olhada nesse exemplo:

Pois é, o resultado foi igual a zero, mas o fato é que não haveria como ser diferente. Em um caso como esse, independentemente do valor que o coeficiente a assumir, sempre serão obtidas duas raízes reais e iguais a zero, que são representadas, em forma de conjunto solução, por um conjunto unitário.

 

2. QUANDO O COEFICIENTE b É IGUAL A ZERO

Quando apenas o coeficiente b de uma equação do 2º grau é igual a zero, ainda temos um caso bastante simples de resolução deste tipo de equação. Acompanhem o exemplo abaixo:

Vejam que para resolver essa equação, nós utilizamos apenas operações básicas da matemática, incluindo a racionalização de denominadores. Mas o melhor de tudo, é que o resultado obtido se mostrou muito mais interessante que o anterior, não é mesmo? Pois então, toda equação do 2º grau, em que o coeficiente b é de valor zero, possuirá sempre duas raízes reais e iguais em módulo, mas de sinais opostos ou simétricos.

E para provar que eu não estou mentindo quanto a simetria entre as raízes, nós vamos resolver mais um exemplo:

Viram só? Novamente encontramos duas raízes reais iguais em módulo, mas de sinais opostos ou simétricos:

 

3. QUANDO O COEFICIENTE c É IGUAL A ZERO

Quando apenas o coeficiente c de uma equação do 2º grau é igual a zero, temos definitivamente, o caso mais complexo de resolução deste tipo de equação. Mesmo assim, eu garanto que de difícil as resoluções a seguir não têm nada. Tudo será baseado na seguinte ideia:

Acima vocês veem um produto entre 3 fatores, no caso, x, y, e z, mas é claro que esse produto poderia se estender a 2, 4, 5, 6 ou a quantos fatores vocês desejassem. A grande questão aqui é: o que pode fazer esse produto ser igual a zero?

Apesar de existirem diversas combinações que podem levar o resultado de um produto a zero, como vemos nos cálculos acima, se pelo menos um dos fatores for igual a zero, então o resultado será zero, independente dos valores dos demais fatores.

Assim, através de um exemplo, nós vamos descobrir exatamente onde aplicaremos tudo o que acabamos de aprender:

E agora, como isolar a incógnita x, se nesse caso ela se encontra nos dois termos da equação? Isso é simples pessoal, desde que vocês já tenham ouvido falar na técnica que consiste em “colocar os fatores comuns em evidência”. Observem que a incógnita x, é o único fator comum entre os dois termos, e quando a colocamos em evidência, damos origem a um produto entre dois termos.

E não é que era justamente de um produto que nós falávamos anteriormente? Então, novamente nós temos a presença de um produto cujo resultado deve ser zero. Para que isso aconteça, nós sabemos que ou o primeiro termo, x, ou o segundo termo, x + 5, ou os dois, devem ser iguais a zero. Partindo desse pressuposto, nós devemos igualar esses dois termos separadamente a zero, e de cada um dos cálculos irá surgir o valor de uma raiz da equação x² + 5x = 0.

Isso nos permite concluir, que toda equação do 2º grau, em que apenas o coeficiente c for igual a zero, possuirá sempre duas raízes reais e distintas, sendo que uma delas sempre será de valor zero. Essa raiz de valor zero, geralmente é obtida quando o termo que foi colocado em evidência na equação é igualado a zero. 

Querem mais um exemplo? Então vem comigo aqui!

Entendido pessoal? É como sempre, uma hora o texto chega ao fim! Mas espero que o assunto de hoje tenha sido proveitoso, e que a partir de agora, vocês saibam escolher o método mais adequado para resolver cada tipo de equação do segundo grau! Caso vocês desejem praticar tudo aquilo que aprenderam até agora, nada melhor do que dar uma olhada no vídeo que está em anexo aqui embaixo! Lá vocês encontram o conteúdo completo sobre equações do 2º grau, e alguns exercícios resolvidos do assunto, aqueles que quebramos a cabeça para solucionar!

Abração! Desejo muito sucesso para quem está estudando bastante a matemática e também as outras disciplinas!