EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

10/04/2018

Olá pessoal, tudo bem?

Hoje vamos falar sobre mais um assunto da matemática que é muito interessante, as equações exponenciais, aquelas em que a incógnita aparece no expoente. É imprescindível que saibamos resolver situações como essas, porque elas sempre aparecem nas questões do ENEM e dos vestibulares!

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Certo pessoal!? Sem mais delongas, vamos entender direitinho como são definidas as equações exponenciais. Vem comigo aqui!

 

1. DEFINIÇÃO

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Uma das maneiras de resolver equações como essas, é transformando-as em uma igualdade de potências de mesma base.

Vejam só pessoal, que temos no quadro acima uma igualdade de duas potências, sendo elas . Reparem que ambas possuem a mesma base, que é a, mas possuem expoentes diferentes, as incógnitas x1 e x2 . Qual seria então a razão de deixarmos uma equação exponencial nessa forma de igualdade de potências de mesma base? É que assim, nós podemos trabalhar apenas com os expoentes, ou seja, podemos cancelar as bases e igualar os expoentes, como vocês veem acima também, de tal forma que x1 = x2.

Uma informação bastante importante que precisamos considerar, é que a base das nossas potências não pode ser qualquer número, ela deve ser necessariamente maior que zero e diferente de 1, de acordo com a definição das funções exponenciais.

Tudo certo até aqui? Então só vamos reforçar a ideia antes de prosseguir, para vocês entenderem tudo direitinho: quando nós tivermos equações onde a incógnita encontra-se no expoente, nós estaremos tratando das equações exponenciais. O valor da base de uma equação exponencial é extremamente importante, porque assim como na função exponencial, ela deve ser maior do que zero e diferente de 1. Outra coisa, uma das maneiras em que podemos resolver as equações exponenciais, é igualando as suas bases, porque a partir do momento em que nós tivermos bases iguais, passaremos a trabalhar apenas com os expoentes, igualando-os, e aí encontraremos o resultado da questão, ou seja, o valor da incógnita.

Vamos agora a alguns exemplos para que vocês vejam como isso pode ser abordado em provas, vestibulares e por aí vai.

Então, ao observarmos equações como essa, nosso objetivo sempre será igualar as bases das potências.  Reparem que temos as bases 3 e 81. Não conseguimos reduzir o 3 a base 81, porque claro, o 3 é menor que 81, mas podemos reduzir o 81 a base 3, fazendo a sua fatoração:

Dessa forma, nós podemos voltar a nossa equação exponencial deixando o lado esquerdo como está, e substituindo o 81 por 34. Nesse momento, nós conseguimos igualar as bases dessas duas potências, então podemos cortá-las, e trabalhar apenas com os expoentes, vejam só:

Encontramos a solução para o nosso primeiro exemplo que é 3! Em forma de conjunto solução podemos dizer que:

S = {3}.

A equação que acabamos de resolver é um exemplo bastante simples. Contudo, na maioria das vezes, nós não vamos conseguir resolver equações exponenciais sem o uso das famosas propriedades da potenciação. Por isso, trago abaixo uma tabelinha, com um resumo para vocês lembrarem de todas elas:

Vamos resolver agora um exemplo um pouquinho mais complexo, onde usaremos as propriedades que acabamos de revisar!

Primeiramente, prestem atenção nos números 25 e 125. Esses dois números são potências de 5. Isso significa que podemos reduzi-los a base 5, já que 25 = 5², e 125 = 5³. Substituindo esses valores na expressão, ficamos com:

Chegou o momento em que necessariamente faremos uso das propriedades da potenciação para continuar. No lado esquerdo da equação, nós podemos aplicar a propriedade 3, afinal temos uma potência de potência. Já no lado direito da equação podemos aplicar a propriedade 6, e passar o 5³ para o numerador. Olhem só como fica:

Finalmente encontramos uma igualdade de potências de mesma base! Resta-nos então, igualar os expoentes e trabalhar apenas com eles:

Em forma de conjunto solução, temos que:

Pessoal, nós acabamos de ver dois exemplos em que tínhamos uma simples igualdade de dois termos, e nos restava apenas fazer com que esses termos se tornassem potências de mesma base para resolver o problema. Contudo, existem equações exponenciais que possuem mais termos, em um, ou ambos os lados da igualdade, e esses termos podem estar multiplicando, dividindo, somando, ou subtraindo.

Equações como essas, exigem artifícios de cálculos matemáticos para serem solucionadas. Por isso, vamos fazer alguns exemplos agora, que mostram como podemos chegar ao resultado correto nessas situações.

Observem a equação acima. Seria uma equação semelhante àquelas que acabamos de resolver, não fosse um pequeno detalhe: o número 3 que está multiplicando o termo exponencial a esquerda da igualdade. Mas não se preocupem, pois o artifício matemático que deve ser utilizado aqui é bem simples: se o 3 está multiplicando, ele passa para o outro lado fazendo a divisão, e aí ficamos com:

Vejam que a partir desse momento, nós já sabemos como resolver o caso. Se fatorarmos o número 32, como fizemos lá no primeiro exemplo dessa aula, acabamos descobrindo que 32 = 25.  Também podemos dizer que 4 = 2², não é? Então basta substituirmos esses dois valores na nossa equação:

Novamente, se vocês repararem no lado esquerdo da equação, temos uma situação em que podemos fazer uso da propriedade da potenciação número 3, para continuar o cálculo. Então basta realizarmos a multiplicação do termo 2 por x-1:

Agora que temos uma igualdade de potências de mesma base, podemos trabalhar apenas com os expoentes:

Dessa forma, o conjunto solução da equação é dado por:

A matemática pode ser mesmo fascinante, não é? Vamos então ao nosso último exemplo, em que apresento a vocês outros artifícios matemáticos muito interessantes.

Vocês viram que temos uma soma de termos exponenciais em um dos lados da igualdade? Reparem que esses termos que estamos somando possuem em seus expoentes somas (x+2) e subtrações (x-1). Isso nos remete, se vocês lembrarem lá da nossa tabela, às propriedades 1 e 2, respectivamente. Assim, podemos reescrever essas potências de forma diferente:

Voltando a nossa equação, temos que:

 

E agora pessoal, como poderemos trabalhar com aquele termo exponencial, o 2x, já que ele aparece em dois lugares? Em casos como esse, nós costumamos realizar o que chamamos de mudança de variável. Esse método consiste primeiramente, em substituir o termo que desejarmos por “y”, ou pela letra que acharmos melhor. Aí a ideia é calcular o valor de y, e posteriormente voltar a expressão que foi gerada. Vejam só como fica:

Então:

Podemos, para simplificar o caso, multiplicar toda a equação por 2, e assim não precisaremos trabalhar com frações, olhem só:

Encontramos o valor do y, certo? Mas precisamos, na verdade, encontrar o valor do x. Resta-nos então, voltar a expressão:

Como sabemos que 4 = 2², temos:

S = {2}.

 

Chegamos ao final de mais um texto, e eu espero que vocês tenham aproveitado e aprendido bastante! Hoje deixarei em anexo dois vídeos, para vocês revisarem tudo e acompanharem vários outros exemplos de equações exponenciais mais simples e mais complexas.

Um abração e bons estudos para vocês! Até breve!