INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

05/10/2018

Olá pessoal, tudo bem por aí?

As inequações do segundo grau podem ser definidas como relações de desigualdade que envolvem expressões matemáticas de grau 2. Embora pareçam assustadoras, a verdade é que essas inequações podem ser resolvidas facilmente, desde que se saiba realizar o estudo do sinal da função quadrática envolvida, e isso nós já aprendemos a fazer aqui no blog! Inclusive, posso provar para vocês, que resolver uma inequação do 2º grau é ainda mais simples do que realizar todo o estudo do sinal de uma função em si! Portanto, não há razão para se assustar! Depois de ler esse texto, eu garanto, vocês vão arrasar nas provas do ENEM e dos vestibulares!

Falando em ENEM e vestibulares, vocês sabiam que a plataforma do Professor Ferretto disponibiliza alguns planos de estudo voltados para a prova que vocês pretendem realizar? Sim, é isso mesmo! O objetivo do Ferretto é garantir o real aprendizado do aluno, seja através das videoaulas, dos exercícios resolvidos em vídeo, dos simulados, ou das demais funcionalidades da plataforma! E o melhor, vocês acompanham tudo quando e onde desejarem, afinal o curso é 100% online! Querem aprender a matemática do ensino médio de verdade? Então acessem o site para saber como isso é possível!

Bom, é verdade que nós já estudamos no texto Introdução à Inequação do 1º Grau, qual é a principal diferença entre uma equação e uma inequação, não é mesmo? Trazendo a ideia para cá, podemos dizer que as equações do 2º grau são relações de igualdade, e ao resolvê-las, buscamos os únicos dois valores de x que tornam a sentença verdadeira, ou seja, as raízes da equação.

Agora, o que dizer dessas belezuras que se encontram na imagem abaixo?

Comparando essas expressões com aquela da imagem anterior, não há dúvida de que apenas uma coisa mudou: não, não é grau da expressão, afinal o termo x2 ainda está aí, mas sim o seu sinal! As inequações do 2º grau são relações de desigualdade, e por isso podem conter os sinais maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤). Ao resolvê-las, buscamos uma série de valores de x que tornam a sentença verdadeira, e que costumam ser representados em forma de conjunto solução.

Até aqui está tudo maravilhoso, não é mesmo? Mas aí fica a pergunta: como obter essa série de valores x que tornam a sentença verdadeira, ou seja, como é possível resolver uma inequação do segundo grau? A resposta, é claro, tem relação com o estudo do sinal da função quadrática!

Pessoal, vocês já experimentaram isolar a incógnita x de uma expressão do segundo grau completa (ax2 + bx + c)? Não tem como, certo? Mesmo quando as expressões do 2º grau são incompletas, e até seria possível isolar x, se o assunto for inequações, NÃO se deixem cair nessa tentação: isolar x altera a expressão inicial e portanto é uma péssima ideia, porque não dá certo. NÃO façam isso de jeito nenhum!

Depois desse aviso ameaçador, é melhor partirmos logo para a maneira correta de resolver as inequações do 2º grau. Já que não dá para isolar a incógnita x, o jeito é transformar a expressão do segundo grau em uma função. Feito isso, basta estudar o sinal dessa função, mas agora, com foco naquilo que o sinal de desigualdade sugere, olhem só:

Vocês perceberam que é o sinal de desigualdade que vai mandar em tudo que faremos para resolver as inequações? Por isso, é nele que devemos prestar bastante atenção! Querem ver como é verdade? Vamos resolver alguns exercícios e tudo ficará mais claro!

 

Resolva as seguintes inequações:

a. x2 – 2x – 8 < 0

Observem que para resolver a inequação acima, nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão x2 – 2x – 8, menor do que zero. Por isso, vamos transformar essa expressão em uma função f(x), e estudar seu sinal afim de determinar para quais valores de x a função é negativa!

f(x) = x2 – 2x – 8

a  = 1

b = –2

c = –8

Reparem no valor numérico do coeficiente a: ele é positivo. Isso nos mostra que a concavidade da parábola formada será voltada para cima! Agora vamos ao cálculo do discriminante da função:

Δ = b2 – 4ac

Δ = (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ (– 8)   

Δ = 4 + 32

Δ = 36 → Δ > 0

Quando o discriminante de uma função do 2º grau resulta em um valor maior que zero, significa que esta função possui duas raízes reais e distintas (x1 x2), e que a sua parábola cortará o eixo x em dois pontos diferentes! Vamos calcular os valores numéricos dessas raízes através da fórmula de Bhaskara, e em seguida, poderemos esboçar o gráfico da função f(x).

Observando o esboço do gráfico de f(x), vocês tem ideia de que valores x vão entrar na solução da inequação? Lembrem, nós estamos estudando o sinal de f(x) para determinar para quais valores de x a função é negativa, tudo por causa do sinal menor (<) que está presente na inequação. Assim, é fato que os únicos valores de x que nos interessam são aqueles que se situam entre –2 e 4, sem incluir o –2 e o 4 (bolinha aberta), porque vejam, essa é a única região em que a função é negativa, já que seu gráfico se encontra abaixo do eixo x!

Assim, para quaisquer valores reais de x que estiverem entre –2 e 4, a função f(x) será negativa, ou menor que zero. Em forma de conjunto solução, temos:

S = {x ∈ ℝ | –2 < x < 4 }

 

Antes de partirmos para os próximos exemplos, aqui vai um recado muito valioso: caso vocês tenham ficado perdidos na resolução desse primeiro exemplo, não hesitem em dar uma olhada nos textos Estudo do sinal da função quadrática e Aplicando o estudo do sinal de uma função do 2º grau. Eles explicam tudo sobre a teoria e a prática deste assunto tão importante para as inequações, por isso estamos sendo mais breves aqui!

Vamos continuar….

 

b. –x2 + 9 ≥ 0

Para resolver a inequação acima, vejam que nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão –x2 + 9, maior ou igual zero. Por isso, também vamos transforma-la em uma função f(x), e estudaremos seu sinal afim de determinar para quais valores de x a função é positiva ou igual a zero!

f(x) = –x2 + 9

a  = –1

b = 0

c = 9

Nesse caso, o valor numérico do coeficiente a é negativo, e portanto, a concavidade da parábola formada será voltada para baixo! Mas podemos descrever aqui mais um fato curioso: o coeficiente b desta função f(x) é de valor zero! Bom, nós já estudamos no texto Equações do 2º grau incompletas, que expressões do segundo grau cujo coeficiente b vale zero, costumam ter duas raízes distintas, de mesmo módulo mas de sinais opostos. Também estudamos por lá, que calcular os valores numéricos dessas raízes é muito simples, basta igualarmos a expressão a zero e isolarmos a incógnita x.

Conhecer as características de uma função do 2º grau incompleta nos permite esboçar seu gráfico pulando o cálculo do discriminante da função, que certamente resultaria em um valor maior que zero, e também o cálculo da fórmula de Bhaskara, já que foi possível encontrar as raízes de outra maneira, mas não nos permitirá pular o estudo do sinal da função! No cálculo nós até igualamos a expressão a zero, mas lembrem, não é possível isolar a incógnita x de uma expressão do 2º grau que possuir um sinal de desigualdade!

A partir desses dados, já podemos esboçar o gráfico da função f(x):

E agora, quais serão os valores x que vão entrar na solução da inequação? Lembrem, nós estamos estudando o sinal de f(x) para determinar para quais valores de x a função é positiva ou igual a zero, porque havia o sinal maior ou igual (≥) na inequação. Portanto, nesse caso, os valores de x que nos interessam são aqueles que se situam entre –3 e 3, já que nessa região o gráfico da função se encontra acima do eixo x, o que tona f(x) é positiva. Mas é claro que também não podemos esquecer de incluir os próprios valores –3 e 3 na solução (bolinha fechada), porque nesses pontos o gráfico corta o eixo x, o que faz com que f(x) seja igual a zero! Quando os sinais maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤) estão presentes na inequação, podemos afirmar que as raízes farão parte da sua solução!

S = {x ∈ ℝ | –3 ≤ x ≤ 3 }

 

c. 2x2 – 2x + 5 > 0

Para resolver a inequação deste item, nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão 2x2 – 2x + 5, maior do que zero. Por isso, é claro, vamos transformar essa expressão em uma função f(x), e estudar seu sinal afim de determinar para quais valores de x a função é positiva!

f(x) = 2x2 – 2x + 5

a  = 2

b = –2

c = 5

O coeficiente a desta função é positivo, portanto teremos mais um caso em que a concavidade da parábola formada será voltada para cima! Agora, olhem só o que irá acontecer no cálculo do discriminante da função:

Δ = b2 – 4ac

Δ = (–2)2 – 4 ∙ 2 ∙ 5   

Δ = 4 – 40

Δ = –36 → Δ < 0

Mas que beleza! O discriminante da função resultou em um valor negativo! Isso significa que esta função possui duas raízes complexas (x1 e x2 ∉ ℝ ), e que a sua parábola não irá nem mesmo tocar o eixo x! Se não temos raízes reais, não existem motivos para calcularmos seus valores, não é mesmo? Assim, partiremos logo para o esboço do gráfico da função f(x).

Observem que para qualquer valor real de x a função é positiva, já que a sua parábola se localiza completamente acima do eixo x. Mas nós demos sorte! Estamos procurando justamente os valores de x que tornam a função positiva ou maior que zero. Isso nos permite concluir que qualquer número real faz parte da solução desta inequação.

S = ℝ

 

d. –x2 + 6x – 9 > 0

Neste último item, nós também deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão –x2 + 6x – 9, maior do que zero. Novamente, vamos transformar essa expressão em uma função f(x), e estudar seu sinal afim de determinar para quais valores de x a função é positiva!

f(x) = –x2 + 6x – 9

a  = –1

b = 6

c = –9

Sendo o coeficiente a da função um valor negativo, é fato que a concavidade da parábola formada será voltada para baixo! Hora de partirmos para o próximo passo, que é o cálculo do discriminante da função:

Δ = b2 – 4ac

Δ = 62 – 4 ∙ (–1) ∙ (– 9)   

Δ = 36 – 36

Δ = 0

Quando o discriminante de uma função do 2º resulta em um valor igual a zero, significa que esta função possui duas raízes reais e iguais (x1 = x2). Graficamente, pode-se dizer que parábola tocará o eixo x em único ponto! Vamos calcular esse valor através da fórmula de Bhaskara, e em seguida, poderemos esboçar o gráfico da função f(x).

Vejam só que interessante: através do esboço do gráfico da função f(x), nós podemos perceber que existem valores x que tornam a função negativa, e também um único valor de x que torna a função igual a zero, que é a sua raiz, claro. Agora, onde estão os valores de x que estamos procurando, ou seja, aqueles que tornam a função positiva, já que o sinal presente nesta inequação era o sinal maior (>)? Pois é, não demos sorte dessa vez! Não há nem mesmo um único valor de x que torne a sentença verdadeira. Essa situação só pode ser representada pelo conjunto vazio.

S = {  } = ∅

Não se assustem pessoal, isso pode acontecer mesmo! E fatos inesperados como esse, tornam as inequações do 2º grau ainda mais fascinantes! Por mim, é verdade, poderíamos ficar aqui por horas a fio resolvendo mais uma série de exemplos, mas o fato é que o texto precisa terminar. Espero que vocês tenham gostado da abordagem, e que tenham entendido todos os conceitos direitinho, afim de aplica-los com facilidade futuramente! Em anexo, temos aquele vídeo que complementa o conteúdo do texto! Deem uma olhada nele, porque lá eu resolvo mais alguns exercícios bem interessantes!

Bons estudos em matemática e até mais!