INTRODUÇÃO À INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

15/08/2018

Quando Gilberto Gil diz que “tudo é tão desigual”, ele realmente não está mentindo. Na matemática, também existem relações de desigualdade, as chamadas inequações, e esse é o assunto do texto de hoje! Vamos desvendar aqui, os conceitos mais básicos das inequações do primeiro grau, e vamos falar bastante também sobre o sinal de desigualdade, para que vocês saibam utilizá-lo direitinho! Então, pra quem é estudante do ensino médio, ou está prestes a realizar os mais diversos vestibulares do país, esse texto é bem importante!

Mas o mais importante mesmo é realizar as provas dos vestibulares, do ENEM, e de outros concursos com tranquilidade! Apesar de não parecer, conseguir isso não é difícil, desde que o aluno conheça todo o conteúdo necessário e esteja seguro quanto a ele. E se o assunto for matemática, fica ainda mais fácil, porque existe a plataforma do Professor Ferretto! Lá vocês encontram um plano de estudos focado na matemática do ENEM, outro que é focado exclusivamente na matemática dos vestibulares, e ainda um plano que atinge os dois objetivos. Assim, vocês não perdem tempo estudando aquilo que não precisam, e conseguem se organizar melhor com as demais matérias do ensino médio! Mas como são muitas as vantagens do curso, eu não vou conseguir descrever todas aqui. Por isso, acessem o site, tirem suas dúvidas, e conheçam melhor a plataforma de ensino do Professor Ferretto!

Bom, para entendermos o que é uma desigualdade, vamos compará-la, primeiramente, a uma igualdade, ou seja, à famosa equação do 1º grau, pois estamos mais acostumados com ela. E aí eu pergunto a vocês: o que nós buscamos ao resolver uma equação do primeiro grau?

Para responder essa pergunta com qualidade, nós vamos utilizar um exemplo:

3x + 5 = 8

A equação do 1º grau acima, nos afirma que a expressão “3x + 5” deve ser exatamente igual a “8”, porque existe um sinal de igualdade entre os termos, o “=”. Portanto, quando resolvemos uma expressão como essa, nós buscamos o único valor de x que torna a equação verdadeira, ou ainda o único valor de x que satisfaz a igualdade. Acompanhem a resolução dessa equação abaixo:

Agora, vamos entender porque em uma equação, se espera que um único valor de x torne a sentença verdadeira, vejam só:

Observem na imagem acima, que qualquer valor de x que não seja aquele que nós encontramos como solução da equação “x = 1”, não satisfaz a igualdade proposta por ela. Mas e se eu apresentar a vocês uma nova expressão, será que acontece a mesma coisa?

3x + 5 > 8

Agora não temos mais um sinal de igualdade entre os termos da expressão, e por isso não podemos mais chamá-la de equação, mas sim de inequação do 1º grau. O fato é que ela nos afirma, que a expressão  “3x + 5” deve resultar em um valor maior do que “8”, porque existe um sinal de desigualdade entre os termos, o “>”. Nós vamos estudar daqui a pouco tudo sobre esse e os demais sinais de desigualdade existentes, fiquem tranquilos. Mas agora, é importante que vocês prestem atenção em outro detalhe: no que buscamos ao resolver uma inequação como essa. Reparem que a resolução para o caso é exatamente a mesma:

Pois é, tirando o fato que o sinal da expressão foi alterado, nada mudou mesmo em sua resolução. Mas é claro, que como no caso anterior, nós vamos avaliar a resposta que obtemos. Fiquem atentos ao que irá acontecer.

Vejam que qualquer valor de x que seja maior do que 1, satisfaz a desigualdade, ou seja, torna o lado esquerdo da inequação um valor maior que aquele que está no lado direito da mesma. E é aí que mora a diferença: quando resolvemos uma inequação, estamos buscando uma série de valores x que possam satisfazê-la, ou ainda uma série de valores x que tornam a inequação verdadeira.

Por isso, como podemos ver acima, o conjunto solução dessa e das mais diversas inequações, costuma ser dado na forma de um intervalo, e não somente por um único valor, como acontece em uma equação. Assim, podemos dizer que todo valor de x que pertença ao conjunto dos números reais e que seja maior do que 1, é a solução para essa inequação.

Tranquilo, não é pessoal? Essa é a essência das inequações! Mas antes de resolvermos mais alguns exercícios sobre elas, vamos aprender tudo sobre os sinais que as caracterizam: os sinais de desigualdade.

 

1. SINAIS DE DESIGUALDADE

É claro que se duas coisas são desiguais, elas são diferentes entre si. Por isso, existe um sinal matemático que informa quando duas expressões são simplesmente diferentes, o “≠”. Mas se desejarmos expressar de que maneira essas expressões são diferentes, então precisaremos ser mais específicos, informando, por exemplo, qual dos termos ou valores numéricos é maior que o outro (>), menor que o outro (<), maior ou igual a outro (≥), ou ainda menor ou igual ao outro (≤).

Caso os sinais “≥” e “≤” tenham causado uma certa confusão, eu aviso, não há razão para se preocupar com eles. Quando esses sinais aparecem nas inequações, significa que existem duas formas de satisfazê-la. Nós resolvemos uma inequação logo acima, que nos trouxe um conjunto solução onde todos os valores de x que satisfaziam a inequação deveriam ser apenas números reais maiores do que 1. Então, olhem o que acontece em um caso como esse:

Vejam que nesse caso, além de valores de x reais e maiores do que 1 satisfazerem a inequação, quando x é exatamente igual a 1, a inequação também é verdadeira! Portanto, é só ficar bem atento ao significado da conjunção alternativa ou: duas soluções sempre serão válidas: ou uma, ou a outra!

Mas é claro que sim! Deem uma olhada na imagem abaixo, e vamos ver se vocês conseguem captar a lógica que se esconde nesse sinal:

Vejam pessoal, que o lado onde se encontram os termos ou valores numéricos de menor valor é a pontinha do sinal, ou onde o sinal se fecha. Já o lado em que o sinal possui uma abertura, é onde se localizam os termos ou valores numéricos de maior valor. É por esse motivo que muitos autores costumam associar esses sinais com uma boca. Isso mesmo, uma boca! Aí é só pensar no seguinte: a boca fica aberta para o lado maior, e fechada para o lado menor, como mostra a figura:

E para que vocês assimilem bem toda essa informação, nada melhor do que alguns exemplos numéricos:

Agora, vou mostrar a vocês duas situações muito curiosas quanto ao sinal de desigualdade. Reparem com atenção no exemplo numérico que coloco aqui abaixo:

Para trocar dois números ou dois termos algébricos de lado, em uma equação, costuma-se trocar o sinal desses termos, de forma que o que é negativo se torna positivo, e vice-versa. Nas inequações acontece exatamente a mesma coisa:

Em uma inequação, pode-se trocar o lado de quaisquer dois números ou termos algébricos, desde que o sinal desses números ou termos seja invertido também. Em um caso como esse, não é necessária qualquer alteração no sinal de desigualdade.

Reparem que –9 é mesmo menor do que 2,  portanto, o sinal de desigualdade continuou sendo aplicado de maneira correta, muito embora os números tenham mudado de lado. Mas se ao invés de nós invertermos os números de lado, nós optássemos por multiplicar ambos os lados da inequação por “–1”? Quando isso é feito em uma equação, ambos os lados da igualdade tem o seu sinal invertido, sem qualquer problema. Bom, vamos ver o que acontece no caso de uma inequação:

E agora, será que 2 é mesmo menor que –9? É claro que não! Por isso:

Ao multiplicar uma inequação por “1”, deve-se necessariamente inverter o sinal de desigualdade e trocar o sinal de todos termos algébricos ou valores numéricos.

Neste momento, nós já podemos resolver uma série de inequações. Vocês verão na sequência, que o segredo é deixar todos os termos algébricos de um lado, e todos os valores numéricos de outro. Preparados? Então, venham comigo aqui!

 

1. Resolver as seguintes inequações:

a. 3x – 5 > 4

Vejam que este exemplo não teve mistério algum, não é? Bastou trazermos todos os valores numéricos para o lado direito da inequação e pronto!

 

b. 5 – 2xx – 10

Já neste segundo exemplo, nós precisamos, primeiramente, trazer os termos algébricos para o lado esquerdo da inequação e levar os valores numéricos para o lado direito da mesma. Um passo a frente, percebemos que o termo que carregava a incógnita x estava negativo, e isso nos motivou a multiplicar toda a inequação por “-1”, o que fez com que ambos os termos tivessem o seu sinal invertido, e é claro, com que o sinal de desigualdade também fosse invertido. Depois de realizar esse importante passo, a solução foi alcançada com sucesso.

Não é comum, mas vocês também poderiam ter resolvido a questão acima, trocando de lado os termos algébricos e os valores numéricos da inequação, e assim, como vimos no texto, não seria necessário inverter o sinal de desigualdade. Observem como iremos chegar a mesma resposta:

 

 c. 5(x + 3) – 2(x + 1) ≤ 2x + 3

Esse caso deu um pouquinho mais de trabalho, não é mesmo? Primeiro, foi necessário aplicar a propriedade distributiva do lado esquerdo da inequação, e em seguida, organizar melhor os termos desse mesmo lado, antes de deixar todos os termos algébricos de um lado, e todos os valores numéricos do outro. Mas vejam que nesse caso, apesar do valor numérico ter ficado negativo, o termo algébrico, aquele que carrega a incógnita x, ficou positivo. Isso justifica porque não multiplicamos toda a inequação por “–1”. Só faríamos isso caso a incógnita x estivesse acompanhada por um valor negativo.

Bom, depois de todo esse conhecimento, é claro que precisamos concluir este texto! Mas não se preocupem, ainda veremos muita coisa sobre as inequações e sobre toda matemática do ensino médio por aqui! Enquanto isso, espero que o assunto de hoje tenha contribuído para o aprendizado de vocês, e que os motive a seguirem firmes por essa árdua caminhada de estudos! Em anexo, estou deixando novamente um vídeo que complementa tudo o que vimos. Nele, vocês também acompanham a resolução de uma inequação bem interessante, composta por frações!

Abração pessoal! Até o próximo texto!