LOSANGO

03/08/2018

Olá pessoal! Tudo bem com vocês?

Por um acaso vocês já repararam nas figuras geométricas da bandeira do Brasil? Pois então, aquela de cor amarela é o quadrilátero notável que vamos estudar hoje: o losango! Neste texto, falaremos sobre todas as propriedades do losango, e sobre como é possível calcular a sua área, afinal esses conceitos são extremamente simples, mas de uma importância enorme para quem é estudante do ensino médio e está buscando uma vaga na ensino superior. Vocês sabem que para atingir esse objetivo, é necessário um bom desempenho nas provas dos vestibulares e/ou do ENEM!

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Preparados?! Então, para quem não conhece, esse é o losango!

Nem todo paralelogramo é um losango, mas todo losango é considerado um paralelogramo. Por isso, algumas de suas propriedades também são comuns aos paralelogramos em geral, enquanto outras pertencem exclusivamente a ele. É com esse assunto que iniciaremos o estudo de hoje. Vem comigo aqui!

 

1. PROPRIEDADES DO LOSANGO

P1) Em todo paralelogramo, os dois lados opostos são sempre paralelos e congruentes.

Essa propriedade nos mostra que os dois lados opostos de um losango são sempre paralelos e de mesma medida. Aliás, aí vai uma dica: todo quadrilátero que possui os dois lados opostos paralelos é um paralelogramo! É daí que vem o nome!

 

P2) Todo losango possui os seus quatro lados congruentes.

Os quatro lados de um losango possuem o mesmo comprimento l. E aí vocês poderiam se perguntar: mas isso não acontece com o quadrado também? Exatamente! Por isso é possível dizer que todo quadrado é um losango, e que todas as propriedades do losango também são válidas para o quadrado!

 

P3) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos seus pontos médios.

As diagonais dos losangos, e de qualquer outro paralelogramo, se cortam exatamente em seus respectivos pontos médios. Isso significa que de cada vértice do losango, até o ponto M, tem-se a metade da medida da diagonal total correspondente.

Incrível, não é mesmo? Mas as diagonais do losango, exclusivamente, possuem outras características interessantes. A primeira delas, é que sempre haverá uma diagonal de comprimento um pouco maior do que a outra, e é justamente a medida das diagonais que deu origem a sua representação: a diagonal maior é representada pela letra D maiúscula, enquanto a diagonal de comprimento menor é representada pela letra d minúscula.

Pessoal, isso é uma questão de visualização mesmo! Tudo vai depender de como o losango está posicionado, mas não vale a pena se preocupar com isso. A forma como vocês nomearem as diagonais, não vai interferir em nenhuma das fórmulas que serão apresentadas aqui!

 

P4) As diagonais do losango são perpendiculares entre si.

Isso significa que as duas diagonais do losango formam um ângulo de 90º entre si, dividindo esta figura em quatro triângulos retângulos iguais. Deve ser do conhecimento de vocês, que todo triângulo retângulo está estritamente relacionado com o Teorema de Pitágoras. Por isso, esse teorema poderá ser utilizado para relacionar a medida l do lado do losango, com a metade da medida de cada uma de suas diagonais.

 

P5) Em todo paralelogramo, os dois ângulos opostos são sempre congruentes.

Como diz a propriedade, os dois ângulos opostos de qualquer paralelogramo são sempre iguais, ou tem a mesma medida. Mas quando se trata exclusivamente do losango, existe uma segunda característica interessante que envolve os seus ângulos e suas diagonais. Acompanhem a próxima propriedade para conhecê-la.

 

P6) As diagonais do losango são bissetrizes dos seus vértices.

Uma bissetriz é uma reta que divide um ângulo em duas partes iguais. Assim, sendo as diagonais bissetrizes dos vértices do losango, na medida em que elas partem de um de seus vértices rumo ao seu vértice oposto, elas acabam dividindo os dois ângulos α e β pela metade, gerando, cada uma, quatro ângulos iguais de medida α/2 e β/2.

 

P7) Em todo paralelogramo, dois ângulos consecutivos são sempre suplementares.

Dois ângulos são suplementares, se a soma de seus valores resultar em 180º. Assim, podemos dizer que no losango, e em qualquer paralelogramo:

 

2. ÁREA DE UM LOSANGO

A forma como a área do losango é definida, tem tudo a ver com outro quadrilátero muito conhecido: o retângulo, este cara que está contornando o losango na figura acima. Pode ser que vocês ainda não tenham reparado na relação que as duas figuras geométricas têm, por isso, vamos ver se a figura abaixo consegue deixar isso mais claro.

Ao desenharmos as diagonais do losango, duas coisas ficam evidentes: a primeira delas, é que a medida da diagonal maior do losango, D, é exatamente igual a medida da base b do retângulo, ao mesmo tempo em que a medida da diagonal menor do losango, d, é exatamente igual a medida da altura h do retângulo.

Além disso, é fato que as diagonais do losango o dividem em 4 triângulos retângulos iguais, como já vimos neste texto. Mas o mais impressionante aqui, é que se nós prestarmos atenção na área do retângulo que não pertence ao losango, veremos que ela é composta por outros 4 triângulos retângulos, iguaizinhos àqueles que compõem o losango, olhem só:

Portanto, é possível dizer que com um único retângulo é possível formar dois losangos! Isso nos permite concluir que o losango possui exatamente a metade da área do retângulo, e como a área do retângulo é dada pelo produto da medida de sua base pela medida de sua altura, acompanhem como é possível chegar a fórmula da área do losango:

Desta forma, a área do losango é dada pela metade do produto de suas diagonais.

Certo pessoal?! Chegou o momento de aplicarmos todos os conhecimentos adquiridos hoje, para que vocês fiquem bem craques no assunto losango. Vem comigo aqui!

 

1. Num losango, a soma dos ângulos obtusos é o dobro da soma dos agudos. Se a diagonal menor do losango mede 12 cm, determine o seu perímetro e a sua área.

Pessoal, a primeira coisa a se fazer quando estamos resolvendo qualquer exercício de geometria plana, ou mesmo espacial, é desenhar as informações que o enunciado traz. Então é isso que vamos fazer agora.

Através da propriedade 5, nós sabemos que os dois ângulos opostos de um losango são sempre congruentes. Enquanto isso, o enunciado nos diz que a soma dos ângulos obtusos é o dobro da soma dos agudos. Mas quais serão os ângulos agudos e quais serão os ângulos obtusos aqui? Se vocês observarem bem a figura, verão que o ângulo α possui uma abertura um pouco menor que 90º, enquanto β possui uma abertura um pouco maior que 90º. Portanto, é fato que α é um ângulo agudo, e β um ângulo obtuso. Sendo assim, podemos transformar a informação dada no enunciado na seguinte equação:

Até aí tudo certo, não é mesmo? Bom, se estamos falando de ângulos, precisamos lembrar das propriedades do losango que envolvem ângulos para ver se alguma delas é útil para nós. E não é que a propriedade 7 nos mostra que dois ângulos consecutivos são sempre suplementares? Pois bem, então é fato que:

α + β  = 180 °

Substituindo o valor de β da primeira equação que montamos, na fórmula da propriedade 7, temos que:

α + 2∙α  = 180°

3∙α  = 180°

α  = 60°

E assim:

β  = 2∙α

   β  = 120°

Aí fica a pergunta: como é que vamos descobrir a área e o perímetro do losango apenas com o valor de seus ângulos? Bom, o enunciado também nos informa que a medida da diagonal menor do losango é 12 cm, e é aí que mora o detalhe, no que acontece com os ângulos do losango quando traçamos as suas diagonais: eles se dividem pela metade, tal como afirma a propriedade 6 !!!

Curiosa essa figura acima, não é mesmo? Vejam que desenhando a diagonal menor deste losango, acabamos dividindo o mesmo em dois triângulos cujos ângulos internos são todos iguais. Acontece, que só existe um tipo de triângulo onde isso é possível: no triângulo equilátero! E o triângulo equilátero, como o próprio nome sugere, não possui apenas todos os ângulos internos de mesma medida, como também possui todos os seus lados de mesmo comprimento. Isso nos permite concluir que o lado l do losango mede 12 cm também.

Sabendo que o perímetro de qualquer figura geométrica é dado pela soma do comprimento de todos os seus lados, já é possível calcular o perímetro deste losango:

P = l + l + l + l

P = 4∙l

P = 4∙12

P = 48 cm

Bom, só nos resta calcular agora a área deste losango. E a boa notícia é que podemos fazer isso de duas maneiras. A primeira delas, consiste em utilizar o mesmo conceito que nos levou a descobrir a medida do lado l do losango: o triângulo equilátero. É fato que o losango desse exercício é composto por 2 triângulos equiláteros. Então, se nós descobrirmos a área desse triângulo e a multiplicarmos por 2, teremos certamente o valor da área do losango. Acompanhe comigo:

A segunda maneira de calcular a área desse losango é utilizando a propriedade 4, que diz que as diagonais do losango são perpendiculares entre si. Isso nos permite formar 4 triângulos retângulos dentro do losango, e utilizando o Teorema de Pitágoras em qualquer um deles, é possível encontrar a medida da diagonal maior do losango, D. Lembram da fórmula que vimos lá em cima? Pois chegou a hora de utilizarmos ela!

Agora é possível encontrarmos a área do losango utilizando a fórmula que aprendemos no texto de hoje, olhem só:

E aí, o que acharam do texto de hoje? Espero que ele tenha sido extremamente proveitoso para os seus estudos, e que ajude vocês a desvendar a geometria plana com mais facilidade! É claro que em anexo fica o vídeo que trata do assunto. Deem uma olhada nele, pois lá são resolvidos mais alguns exercícios, que unem os conceitos de losango à trigonometria e à semelhança entre triângulos.

Um forte abraço pessoal! Até breve!