MÉDIA GEOMÉTRICA

01/05/2018

Olá pessoal! Tudo bem?

Vamos a mais um texto, e hoje abordaremos um conteúdo de estatística muito interessante: a Média Geométrica, que assim como as médias aritmética e harmônica, é uma média pitagórica. O conceito de média geométrica costuma ser aplicado em uma série de áreas, como por exemplo, em questões financeiras, que tratam de taxas de crescimento, ou de aumentos sucessivos, em questões geométricas em si, que envolvem figuras e suas áreas e medidas, e também no próprio contexto da progressão geométrica, a PG. Por isso, esse assunto vendo sendo bastante cobrado, principalmente em vestibulares com um nível de exigência mais elevado.

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Estão todos prontos? Chegou a hora de iniciarmos nosso estudo, partindo, é claro, da definição da fórmula da média geométrica.

 

1. DEFINIÇÃO

Seja o conjunto A formado por n elementos:

A média geométrica, representada por , de todos os elementos de A, será a raiz enésima do produto dos n elementos do conjunto. Assim, podemos escrever a seguinte fórmula:

Parece complicado, não é? Mas vamos melhorar um pouquinho essa definição. Para que possamos calcular a média geométrica entre uma série de valores, primeiramente, devemos multiplicar todos esses valores, e em seguida, extrair uma raiz do resultado. O índice dessa raiz nada mais é do que o número de termos em que estamos querendo descobrir a média geométrica. Por exemplo, se estamos extraindo a média geométrica entre 2 termos, o índice da raiz será 2, e teremos uma raiz quadrada. Já se o cálculo estiver sendo realizado entre 3 termos, teremos uma raiz de índice 3, ou seja, uma raiz cúbica, e assim por diante.

Vamos resolver um exercício para tornar tudo bem claro, olhem só!

     1. Seja o conjunto A = {2, 4, 8}. Calcule a média geométrica entre os termos de A.

Reparem, primeiramente, que temos um conjunto formado por 3 termos. Assim, faremos o produto desses termos e do resultado, extrairemos uma raiz cúbica, ou seja, de índice 3.

Tranquilo pessoal!? Esse é um exercício bastante simples, que utilizamos para entender melhor a definição da fórmula que acabamos de aprender. Mas casos como esse dificilmente vão acontecer em provas de concursos e vestibulares. Por isso, nós vamos estudar agora um assunto de real aplicação da média geométrica, a taxa de crescimento médio. Vou explicar direitinho para vocês porque aplicamos aqui a média geométrica e não qualquer outro tipo de média, e ainda como realizamos todo o cálculo. Vem comigo aqui!

 

2. TAXA DE CRESCIMENTO MÉDIO

Para entendermos bem esse conceito, vamos partir logo para uma situação prática, abordando o crescimento das vendas em uma empresa ao longo de 3 anos de análise. As taxas de crescimento por período são descritas na tabela abaixo:

A partir dos dados da tabela, qual foi o crescimento médio das vendas desta empresa?

Primeiramente, interpretando os dados que foram apresentados, nós percebemos que as vendas da empresa cresceram de forma diferente em cada período, e é por isso que o exercício nos questiona o crescimento médio. Por enquanto, podemos afirmar que no primeiro ano de análise, o valor das vendas aumentou em 30%. No segundo ano, as vendas cresceram um pouco menos, 8% mais precisamente, mas sobre o valor total das vendas do ano anterior, que já tinham sido acrescidas de 30%. Já no terceiro ano, as vendas melhoraram e aumentaram em cerca de 16%, mas novamente essa porcentagem se aplica sobre o saldo do ano anterior, ou seja, do segundo ano analisado, que já tinha sido acrescido de 30% e ainda de mais 8%. Isso significa, em termos de cálculo, que sempre vamos aplicar as taxas apresentadas sobre o valor total das vendas do período anterior, e não sempre sobre o valor inicial.

Vamos supor agora, para que o nosso raciocínio seja conduzido ao objetivo da questão, que o valor inicial das vendas antes da análise mostrada na tabela, era de R$100.000,00 por ano. Aplicando as taxas sobre os valores de cada período, chegaremos a situação apresentada na figura abaixo, onde encontraremos o valor total das vendas ao final do terceiro ano.

Antes de continuar, um aviso muito importante! Se vocês observaram a figura, mas não entenderam bem como as taxas foram aplicadas em cada período, deem uma olhadinha no texto Porcentagem: transformação de taxas e aumentos e descontos. Lá vocês aprenderão direitinho como calcular aumentos e descontos, o que tornará tudo que faremos na sequência bem mais claro.

Seguindo o exercício, vejam que em termos de valores, essa empresa teria vendido, no final do terceiro ano de análise, um valor total de R$ 162.864,00. Mas se ao invés de aplicarmos todas essas taxas diferentes a cada período, nós encontrássemos uma taxa média, que representasse todas elas, será que o cálculo não seria mais fácil? É isso que o exercício nos propõe!  

Bom, aí vocês poderiam pensar no seguinte: já que estamos buscando uma taxa média entre as 3 taxas apresentadas, poderíamos calcular logo a média aritmética entre elas, e o resultado, quando aplicado aos valores do exemplo, nos proporcionaria o mesmo valor em vendas que acabamos de obter, ou seja, causaria o mesmo efeito que as taxas de cada período causaram ao fim do cálculo. Mas será que isso dá certo? De acordo com o que aprendemos no texto Medidas de Tendência Central, podemos calcular a média aritmética da seguinte maneira:

Então:

Assim, segundo a média aritmética, a taxa média entre 30%, 8% e 16%, ou ainda, a taxa que pode representar essas três taxas distintas de forma equivalente é 18%. Para averiguar a veracidade do que estamos supondo, vamos refazer todo o cálculo feito anteriormente com as taxas apresentadas na tabela, vejam só:

Pois é, parece que a média aritmética, apesar de bem simples, não nos ajuda a resolver problemas como esse. Vejam que na nossa análise inicial, o valor das vendas ao final de 3 anos foi de R$ 162.864,00, mas quando aplicamos a taxa média obtida através da média aritmética, o valor encontrado foi R$ 164.303,00. E se tentarmos aplicar a média geométrica, será que funciona? É melhor nem perdermos tempo e calcularmos, lembrando é claro, que se a média está sendo calculada entre 3 termos, a nossa raiz terá índice 3, olhem só:

Vamos averiguar agora, se a taxa média encontrada com base no conceito de média geométrica está de acordo com os resultados obtidos em nossa primeira análise:

Vejam que finalmente obtemos um resultado semelhante ao da nossa análise feita com todas as taxas apresentadas! Assim, podemos concluir que a resposta ao exercício, ou seja, o crescimento médio das vendas da empresa é, sem dúvida alguma de 17,6544%. Mas aí fica a pergunta: por que devemos utilizar a média geométrica quando tratamos desse assunto? É com essa dedução que vamos concluir nosso texto.

Criaremos agora um caso geral para tudo o que desenvolvemos até então. Se chamarmos o nosso valor inicial que era 100.000 de Vi, e nossas taxas aplicadas, de acordo com cada período, de i1, i2 e i3, vamos perceber exatamente quais passos traçamos na busca pelo resultado. Vejam só:

Podemos obter também um caso geral para o uso da taxa média ou taxa equivalente, que chamaremos de ieq. Observem a figura:

Como sabemos que os valores finais devem ser iguais, podemos igualar as duas equações apresentadas nos quadros em lilás:

Vejam como a taxa média, que chamamos de equivalente, é exatamente igual a raiz cúbica do produto das três taxas iniciais! Voltem no texto e confiram se não foi exatamente isso que fizemos quando calculamos a média geométrica entre as taxas! É por isso que em aplicações como estas, nós utilizamos a média geométrica.

E assim chegamos ao final de mais um texto! Espero que tudo que aprendemos aqui hoje tenha sido muito proveitoso, e que ajude vocês a garantirem um acerto quando o assunto for abordado em uma prova. Deixo em anexo um vídeo, para vocês visualizarem e revisarem todos os conceitos estudados!

Um abração! Foco nos estudos!