MÉDIA HARMÔNICA

03/05/2018

Olá pessoal! Tudo certo?

É essencial que a gente conheça, e saiba onde aplicar, todas as médias pitagóricas abordadas em estatística. Por isso, falaremos hoje sobre a Média Harmônica. A média harmônica é conhecida como o inverso da média aritmética do inverso de seus termos, e justamente por esse motivo, é aplicada a situações onde tratamos de grandezas inversamente proporcionais, conhecidas como taxas de variação. Velocidade, vazão, frequência, são exemplos de grandezas assim. O conceito um pouco mais elaborado da média harmônica, faz com que o assunto seja cobrado com mais constância em provas de vestibulares, principalmente naquelas com um alto nível de exigência.

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Agora, não nos resta outra opção senão iniciar nossos estudos! E para aplicar qualquer fórmula que seja, primeiro é necessário conhece-la. Então vamos lá!

 

1. DEFINIÇÃO

Seja o conjunto B formado por n termos:

média harmônica, normalmente representada por , de todos os termos de B, é a razão entre o número de termos do conjunto, que chamamos de n, e soma dos inversos de todos esses termos. É o que retrata a fórmula a seguir:

Observem o denominador da fórmula que acabamos de aprender, mas não se assustem com ele! O que temos ali é uma soma de frações, onde os termos do conjunto B estão sempre localizados nos denominadores. Mas sabem por que isso é necessário? Por que estamos falando do inverso dos termos, e obter o inverso de um número significa justamente passar esse número para o denominador.

Certo pessoal!? Nós podemos utilizar a fórmula acima para calcular a média harmônica entre quantos termos forem necessários, 2, 4, 7, 10, 50 e por aí vai. Mas justamente essa questão da soma de frações no denominador, pode dificultar um pouco o nosso cálculo. Felizmente, caso a ideia seja calcular a média harmônica entre apenas dois termos, existe uma fórmula alternativa, deduzida a partir da fórmula geral, que pode ser empregada para facilitar o nosso trabalho. Vamos encontra-la na sequência.

 

2. CASO ESPECIAL

A média harmônica entre apenas dois valores, tais como x1 e x2, pode ser obtida de uma forma muito mais rápida e prática que vamos deduzir agora partindo da expressão original. Como estamos trabalhando com dois valores, sabemos que n será igual a 2. Vamos ver no que isso irá resultar.

Realizando o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) no denominador, temos que:

Assim, nós podemos dizer que a média harmônica entre apenas dois valores, é igual a razão entre o dobro do produto dos dois valores e a soma desses dois valores. É claro que vocês podem utilizar a fórmula geral para encontrar o valor da média entre dois termos, não há problema algum. Mas será muito mais fácil utilizar esse caso especial, principalmente quando é necessário ganhar tempo em uma prova de vestibular, por exemplo. Lembrem sempre que as ferramentas mais simples existem para serem utilizadas!

 

3. DESIGUALDADE DAS MÉDIAS

Agora, nós vamos tratar de uma relação de desigualdade que existe entre as três médias pitagóricas e é muito interessante! Para quem não está lembrado, as médias pitagóricas são a média aritmética, que estudamos no texto Medidas de Tendência Central, a média geométrica, que também já estudamos no texto Média Geométrica, e claro, a média harmônica, que acabamos de aprender. Observem a figura para relembrarmos como cada uma dessas médias pode ser representada.

A verdade é que se extrairmos as médias aritmética, geométrica e harmônica dos mesmos n valores, vamos obter os resultados de acordo com a seguinte relação:

Querem ver como dá certo? Vamos fazer um exercício para entender bem a ideia.

Determine as médias aritmética, geométrica, e harmônica entre os termos 2 e 8.

Como vocês puderam ver nos resultados, se calcularmos as três médias pitagóricas entre os mesmos valores, o resultado da média aritmética sempre será o maior, seguido pelo da média geométrica, enquanto que o menor resultado será sempre o da média harmônica.  Ainda, existe a possibilidade de o valor da média aritmética ser igual ao da média geométrica, que por sua vez pode ser também igual ao da média harmônica, e vice-versa.

Entendido? Lá no começo do nosso texto, foi comentado que a média harmônica é aplicada quando buscamos a média entre grandezas inversamente proporcionais, as taxas de variação. Vocês sabem o que isso significa? Não se preocupem, nós vamos aprender tudo isso agora através do próximo exercício.

(Uel) Um automóvel subiu uma ladeira a uma velocidade média de 60 km/h e, em seguida, desceu a mesma ladeira a velocidade média de 100 km/h. A velocidade média desse veículo no percurso inteiro foi de:

     a) 72 km/h
     b) 75 km/h
     c) 78 km/h
     d) 80 km/h
     e) 84 km/h

Já que a velocidade média no percurso inteiro é questionada, nós poderíamos pensar, num primeiro momento, em realizar uma simples média aritmética entre as velocidades de subida e descida. Com um cálculo simples, somaríamos 60 e 100, obteríamos 160, depois dividiríamos 160 por 2, e teríamos uma velocidade média de 80 km/h. E não é que temos uma alternativa com esse valor? Sim, de fato temos, mas vou explicar para vocês agora porque precisamos pensar um pouquinho melhor nessa questão.

A velocidade pode ser definida, de forma simples, como a razão entre uma certa distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. Vamos recorrer brevemente a física, para definir a fórmula da velocidade segundo o movimento retilíneo uniforme. Chamaremos a distância percorrida de d e o tempo gasto para percorrê-la de t:

Bom, nós não conhecemos o comprimento da ladeira em que o automóvel subiu, mas sabemos que essa foi a distância percorrida por ele, e ainda que ela é a mesma na subida e na descida. Chamaremos então esse comprimento de x, para podermos substituir o valor de d na fórmula. Também faremos a substituição do termo V pelas velocidades de subida Vs e de descida Vd, dadas no enunciado do exercício, e então poderemos obter duas relações para a distância x: uma para tempo de subida, ts, e outra para o tempo de descida, td, olhem só:

Como essas duas relações são iguais a x, podemos igualar as expressões, e obter uma relação direta entre o tempo de subida e o tempo de descida para uma mesma distância:

Podemos simplificar a razão entre 100 e 60 por 20, e chegamos a:

A partir da equação 4, nós podemos concluir algo muito importante. Vejam que o tempo gasto para subir é maior que o tempo gasto para descer, em cerca de 66,67%, mas a velocidade de subida foi menor (60 km/h) que a de descida (100 km/h). Quando falamos em velocidade, é exatamente assim que acontece. Se percorrermos uma certa distância em menos tempo, teremos uma velocidade maior, mas se percorremos essa mesma distância em mais tempo teremos uma velocidade menor. Esse é o conceito de grandezas inversamente proporcionais, ou seja, uma precisa ser menor para a outra ser maior, ambas não crescem ou decrescem juntas.

Aí se vocês lembrarem da fórmula da média harmônica, temos a soma do inverso dos termos no denominador. Ainda, se observarmos com mais atenção, verificaremos que enquanto a fórmula média aritmética possui o número de termos, n, no denominador, e a soma dos termos no numerador, a média harmônica coloca a soma dos termos no denominador e o número de termos, n, no numerador. Assim não temos dúvidas de que uma fórmula é exatamente o inverso da outra.

Pessoal, vocês perceberam que uma certa palavra tem se repetido com frequência? Pois é, se a fórmula da média harmônica possui tantos inversos, ela só pode ter sido feita para tratar de grandezas inversamente proporcionais. É por isso que a média aritmética não se aplica aqui. Vamos então calcular a média harmônica entre as duas velocidades, e em seguida comprovar nosso raciocínio com base nas equações que já montamos. Usaremos, é claro, a fórmula do caso especial que acabamos de deduzir para facilitar nosso trabalho:

Agora é hora de voltarmos à física para buscar a velocidade média do percurso completo, tudo com base na equação 1. Aí é só lembrar do seguinte: se o automóvel percorreu uma distância x para subir, e uma mesma distância x para descer, ele percorreu no percurso completo uma distância de 2x. Já em relação ao tempo, sabemos que temos um tempo de subida, ts, e um tempo de descida, td. Assim, se somarmos esses dois tempos na nossa última equação, teremos o tempo gasto no percurso completo. Isso é tudo que precisamos para descobrir a velocidade, vejam só:

Com três incógnitas é impossível ir adiante. Mas se voltarmos um pouquinho no texto, veremos que já temos os valores de x e de ts, em função de td, nas equações 3 e 4, respectivamente. Vamos substituir esses valores na equação e desenvolvê-la até encontrarmos a velocidade média:

Assim finalizamos mais um texto! Espero que vocês tenham gostado de estudar a média harmônica, e que tenham entendido direitinho onde ela deve ser aplicada. Novamente deixo um vídeo em anexo, para que vocês tenham acesso a abordagens diferentes, e possam aprimorar ainda mais o conhecimento!

Um abração! Tenham bons estudos e até o próximo texto!