MODA, MÉDIA E MEDIANA: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

13/11/2017

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

Hoje vamos aprender um pouco mais sobre uma parte da Estatística Descritiva, as Medidas de Tendência Central ou, também conhecidas como, Medidas de Localização ou Medidas de Posição.

Vale lembrar que este é um assunto muito cobrado no Enem e nos vestibulares, então tenha foco e muita dedicação aí! E se você quiser se aprofundar mais, na plataforma Professor Ferretto você encontrará o conteúdo completo sobre as estatísticas descritivas, com videoaulas, exercícios e questões, material didático e muito mais! 

Vou começar falando um pouquinho sobre o porquê essas medidas são importantes na análise de um conjunto de valores. Vou exemplificar da seguinte forma para vocês entenderem melhor: imaginem a turma de alunos da sua escola ou cursinho. Poderemos ter um valor que represente a idade de todos os alunos dessa turma. Esse valor que caracteriza as idades de todos esses alunos é uma medida de tendência central desse conjunto. Tudo bem?!

Vou colocar mais um exemplo para deixar vocês mais seguros quanto a essa ideia. Vamos imaginar um aluno que realiza várias provas no decorrer do bimestre. Podemos encontrar um valor para caracterizar a nota do aluno durante este bimestre, usando as medidas de tendência central.

Certo pessoal?!

Então, como podemos ver, as medidas de tendência central nada mais são do que um número central que representa o conjunto de valores. Logo abaixo, iremos ver a Média, a Moda e a Mediana, que são as principais medidas de tendência central utilizadas. Vamos ver qual a diferença entre elas e como calcular!

Vem comigo aqui!

 

1. MÉDIA ARITMÉTICA (MA)

Então pessoal, a média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada para representar um conjunto de valores. Ela pode ser dividida em dois tipos: a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. Vamos ver cada uma delas e quando podemos usá-las.

 

1.1 Média aritmética simples

A média aritmética simples, ou simplesmente média, de um conjunto de valores, nada mais é do que a soma de todos os valores desse conjunto dividida pela quantidade de valores que nós estamos somando. E nesse tipo de média, todos os valores do conjunto têm pesos iguais.

Vou exemplificar melhor para vocês entenderem. Vamos analisar as idades dos alunos de uma sala de aula. Vamos supor que os 8 meninos dessa sala possuam as seguintes idades: 13, 16, 15, 17, 13, 16, 15 e 15 anos. Então, para calcularmos a média aritmética desta sequência, basta somarmos as idades e dividirmos pelo total de alunos:

                                                                   

Então, a média encontrada é de 15 anos. Isso significa que a idade de 15 anos é a idade que melhor representa esse conjunto de meninos dessa sala de aula.

Agora, vamos pensar em um aluno que realiza 5 provas durante um bimestre, e obtêm as notas 9,0; 7,0; 5,0; 8,0; e 7,0. Imaginem que, para ser aprovado, esse aluno precisa atingir nota final maior ou igual a 7,0. Então, nós podemos determinar qual a média das notas do aluno no final do bimestre e ver se ele foi aprovado ou não:

                                                                               

Vejam que a nota média do aluno, no final do bimestre, foi de 7,2, ou seja, o aluno foi aprovado.

A partir desses exemplos a gente pode perceber que a média aritmética simples pode ser determinada da seguinte forma:

                                                                                     

Até aí tudo certo né?! Mas, e se o professor resolvesse atribuir pesos diferentes para cada prova do bimestre, ou seja, se ele decidir que cada prova realizada terá um valor específico. Bom pessoal, é aí que devemos usar a média aritmética ponderada e não a média aritmética simples, vamos ver o porquê disto!

Vem comigo aqui!

 

1.2 Média aritmética ponderada

Então, a média aritmética ponderada é quando cada valor do nosso conjunto de valores possuir um peso diferente, ou seja, um peso atribuído a esse valor. E se a gente pegar e multiplicar cada valor pelo seu peso, somar todos os resultados dessa multiplicação e dividir pela soma dos pesos, a gente terá, então, a média aritmética ponderada. Por isso, se o professor atribuir um valor para cada prova, a média do aluno deve ser calculada através da média ponderada e não da média aritmética simples. Vamos ver se o aluno foi aprovado?

Imaginem que o professor decidiu atribuir peso 2 para as duas primeiras provas, peso 1,5 para a terceira e para a quarta prova e peso 3 para a última prova do bimestre. Vamos calcular:

                                                           

Vejam que a média do aluno com os pesos ficou em 7,85, o que garante a aprovação do aluno nesse bimestre. Agora, notem que cada valor de x é multiplicado pelo seu respectivo peso, então, podemos dizer que a média aritmética ponderada pode ser calculada por:

                                                                 

Agora vamos para a próxima medida de tendência central que é a moda. Vamos lá!?

 

2. MODA (Mo)

Eu acredito que a moda seja a medida de tendência central mais fácil de ser calculada. Ela pode ser definida como o valor que ocorre com mais frequência em um conjunto de dados. Podemos descobrir a moda apenas analisando a sequência de valores e verificar qual é o número que mais aparece nela.

Vamos usar o conjunto de alunos, do exemplo anterior, que possui as seguintes idades:

13, 16, 15, 17, 13, 16, 15, 15

Analisando esta sequência podemos perceber que o número que aparece com maior frequência é o 15. Então, nesta sala de aula, a idade mais frequente é 15 anos.

Vou usar agora o exemplo das notas do aluno para mostrar para vocês como é simples encontrar a moda de uma sequência de números. As notas do aluno são:

9, 7, 5, 8, 7

Vejam que a nota mais frequente obtida pelo aluno é 7. Nota de aprovação!

Mas, e se um conjunto de valores apresentar mais de uma moda? Neste caso teremos uma sequência conhecida como multimodal, ela pode ser bimodal, trimodal e assim por diante. Além disso, caso a gente tenha um conjunto de valores que não apresente moda, podemos dizer que nós temos uma sequência amodal.

Tu certo até aí?! Então vamos ver do que se trata a última medida de tendência central, a mediana. Vem comigo aqui!

 

3. MEDIANA (Me)

Então, a Mediana é uma medida de tendência central que está no centro do conjunto de valores, ou seja, metade dos elementos deste conjunto está acima do centro desse conjunto e a outra metade está abaixo.

Deixem eu explicar melhor. Vamos ver como podemos encontrar a mediana de um conjunto de valores, olhem só:

Primeiro, a gente deve pegar essa sequência de valores e colocar ela em ordem crescente ou decrescente, tanto faz.

-se a sequência apresentar número de elementos ímpar, então, a mediana será o número que ocupar a posição central do nosso conjunto;

-se a sequência apresentar número de elementos par, então, a mediana será a média aritmética dos dois números que estiverem no centro.

Vamos ver com um exemplo que ficará bem mais fácil de entender. Lembram do exemplo das idades, então, vamos colocar a sequência de idades em ordem crescente:

13, 13, 15, 15, 15, 16, 16, 17

Vejam, como temos uma sequência de números par, ou seja, de 8 elementos, os dois termos que estão no centro são o 4° e o 5° elemento, que nesta sequência podemos ver que são o 15 e 15 anos. Então, quando nós temos uma sequência de valores par, a gente deve fazer a média aritmética desses valores para encontrar a mediana:

                                                                                  

Então, a mediana das idades dos alunos dessa classe é 15 anos. Agora, vejam como é fácil interpretar a mediana. Podemos dizer que metade dos alunos possuem idade menor ou igual a 15 anos, e na outra metade eles possuem idade maior ou igual a 15. Fácil né?!

Vamos ver agora, qual é a mediana das notas do aluno que analisamos anteriormente:

5, 7, 7, 8, 9

Percebam que agora a nossa sequência tem número ímpar, e nesse caso, a mediana é o valor que está exatamente no centro, ou seja, a mediana das notas do aluno é 7.

Um ponto importante é que muitas vezes a moda e a mediana demostram mais eficiência para caracterizar um conjunto de valores do que a média aritmética. Vou exemplificar para vocês entenderem melhor. Vejam o seguinte conjunto de valores:

2, 2, 3, 2, 50

Se fizermos a média, não teremos um valor que melhor descreve esse conjunto, pois o valor 50 faz com que essa média seja alta. No entanto, repare que 4 dos 5 valores estão entre 2 e 3. Nesse caso, a média não é uma boa medida para representar esse conjunto. Já a moda e a mediana seriam mais representativas dos valores deste conjunto, pois elas não são afetadas por valores muito altos ou baixos no conjunto. A moda e a mediana são iguais a dois, enquanto que a média é igual a 11,8.

Certo pessoal?!

Com isso, finalizamos o nosso texto e eu espero que tenha sido bastante proveitoso para vocês. Eu quero deixar uma dica para vocês que irão prestar o Enem e o vestibular: pessoal, fiquem bem atentos às questões, pois elas costumam cobrar as medidas de tendência central, muitas vezes, expressas em gráficos ou tabelas. Então, saber os conceitos, como calcular cada uma delas e a diferença entre cada uma é muito importante para você que vai realizar uma destas provas.

Agora, para finalizarmos com chave de ouro, seguem algumas questões que caíram no Enem e no Eear.

 

1) (EEAR) Ao calcular a média aritmética das notas dos Testes Físicos (TF) de suas três turmas, um professor de Educação Física anotou os seguintes valores:

A média aritmética das notas do TF dos 90 alunos das turmas A, B e C é:
a) 8,0
b) 8,1
c) 8,2
d) 8,3

 

 

2) (ENEM) Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante a primeira subida do térreo, de onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar do edifício.

Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida do térreo ao quinto andar?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

 

 

3) (ENEM) Uma pessoa está disputando um processo de seleção para uma vaga de emprego em um escritório. Em uma das etapas desse processo, ela tem de digitar oito textos. A quantidade de erros dessa pessoa, em cada um dos textos digitados, é dada na tabela.

Nessa etapa do processo de seleção, os candidatos serão avaliados pelo valor da mediana do número de erros. A mediana dos números de erros cometidos por essa pessoa é igual a:
a) 2,0.
b) 2,5.
c) 3,0.
d) 3,5.
e) 4,0.