MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

23/05/2018

Olá pessoal! Tudo certo?

Hoje iremos estudar um assunto muito interessante, que é base para o entendimento da função modular: o módulo de um número real. O módulo tem como objetivo tornar todo e qualquer número real positivo, e geometricamente falando, surgiu com o intuito de se calcular a distância entre um número real e o zero, na reta real, porque como sabemos, não existem distâncias negativas. Assim, saber calcular o módulo de um número real é de extrema importância para os seus estudos, pois esse conteúdo gosta bastante de aparecer nas provas do ENEM e dos vestibulares.

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Vamos começar? Fiquem atentos a definição que veremos na sequência.

 

1. DEFINIÇÃO DO MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

O módulo ou valor absoluto de um número real x, que representamos por |x|, é definido através da seguinte relação:

  

Primeiramente pessoal, observem que o texto fala em módulo ou valor absoluto de um número real x. Isso significa, que quando for questionado a vocês o valor absoluto de um certo número real, o que se pede nada mais é do que o módulo desse número!

Agora, reparem melhor no quadro verde que temos acima. Lembrem que foi dito no início de nosso texto, que o módulo tem como objetivo tornar qualquer número real positivo. Assim, a definição tem a nos dizer o seguinte: se x for um número maior ou igual a zero, ou seja, for um número positivo, então o seu módulo será igual a ele mesmo. Do contrário, ou seja, se x for um número menor que zero ou negativo, então o seu módulo será o oposto dele mesmo, no caso -x.

Percebam então, que quando um número é igual a zero ou é positivo, não há mistério algum, o resultado de seu módulo será o seu próprio valor. Agora, quando um número é negativo, e buscamos extrair o seu módulo, é que podem surgir algumas dúvidas. Por isso fiquem atentos ao diálogo abaixo:

Confusos com a ideia? Não se preocupem, vamos esclarecer melhor essa definição resolvendo alguns exemplos. Vem comigo aqui!

 

     1. Calcule o valor de:

          a. 2 ∙ |3| =

Vejam que nesse cálculo, temos a presença de um módulo, só que de um número positivo. Nós sabemos que quando um número é positivo, o resultado de seu módulo é ele mesmo. Assim, podemos dizer que:

 

          b. |- 4| + |- 2| =

Já nesta questão, nós também temos a presença do módulo, só que agora de números negativos. Assim, para resolver o caso, basta multiplicarmos os valores que estão dentro do módulo por “-1”, e assim obteremos os seus valores opostos, podendo continuar a operação, olhem só:

Tranquilo, não é pessoal? É claro que vocês poderiam pensar aqui: ora, se o módulo de um número é sempre um valor positivo, então o módulo de -4 é 4 e o de -2 é 2, e aí continuariam a operação facilmente. E vocês não estariam errados, podem ter certeza! O fato é que precisamos aplicar fielmente a definição aqui, para que vocês entendam porque o módulo de um certo número negativo é um número positivo, afinal, em questões mais complexas, precisaremos ter em mente esse conceito tão importante.

Agora, comparem o próximo exercício com os que fizemos até então:

 

          c. |- 7 + 2| =

Conseguiram perceber a diferença? Então, em um caso como o dessa questão, onde existe uma operação dentro do módulo, nós resolvemos primeiro a operação, e por fim, obtemos o módulo do seu resultado, como faremos agora:

Então, somente para reforçar a ideia: caso qualquer operação, seja ela de soma, subtração, multiplicação ou divisão, aparecer dentro de um módulo, devemos resolver ela primeiro e em seguida obter o módulo do resultado!

Agora, chegou a hora de analisarmos alguns exemplos um pouquinho mais complexos, como esses da sequência.

 

     2. Calcule o valor dos seguintes módulos:

          a. | 5 – x | quando x = 8

Em um caso como esse, nós temos a presença de uma incógnita, a variável x. Mas felizmente, nesse exercício, foi nos dado o valor que ela deve assumir, 8, e por isso, precisamos apenas substituir o valor na equação e resolvê-la, como já aprendemos a fazer:

 

          b. | 5 – x | com x > 5

Agora nossa situação se complicou um pouquinho mais! Vejam que nesse caso, nossa incógnita poderá assumir uma série de valores, todos maiores do que 5. Aí nos cabe fazer uma análise: se nós substituirmos valores maiores do que 5 na equação, o que acontece?

Observem na tabelinha acima, que para qualquer valor de x maior que 5 que inserirmos na equação, teremos sempre o módulo de um número negativo. E qual é o resultado do módulo de um número negativo? O oposto do próprio número, para que se torne um valor positivo. Tendo essa ciência, nós podemos dizer que:

Assim, podemos concluir que precisamos inserir um sinal negativo na expressão que se encontrava dentro do módulo, porque a definição nos pede que façamos isso quando calculamos o módulo de um número negativo. Então podemos dizer que o módulo de 5 – x  quando x é maior que 5, é  – 5 + x.

 

          c. | 5 – x | com x ϵ ℝ

Preparados para encarar essa questão? Vejam que ela é muito parecida com a anterior, contudo, temos agora que x pertence ao conjunto dos números reais! Isso significa, que haverão valores de x em que teremos como resultado o módulo de um número positivo, e ainda, valores de x em que teremos como resultado o módulo de um número negativo. Assim, ao invés de cairmos em apenas uma das definições de módulo, como no caso anterior, cairemos nas duas definições. Então, para descobrirmos em que valores de x o resultado é o módulo de um número positivo, e em que valores de x o resultado é o módulo de um número negativo, vamos realizar o estudo do sinal da expressão. Mas fiquem tranquilos! Vamos resolver tudo com calma para que vocês entendam isso direitinho.

O primeiro passo a se fazer, é considerar a expressão dentro do módulo uma função f(x). Aí, se vocês observarem com atenção, verão que essa expressão é uma função do primeiro grau, já que o expoente da incógnita x é 1. Assim, sabemos que a sua forma gráfica é uma reta, e nesse caso uma reta decrescente, porque o coeficiente angular da expressão, ou ainda, o valor numérico que multiplica a incógnita x é negativo, no caso é “-1”.

Agora, o próximo passo é identificarmos o ponto em que a reta decrescente intersecta o eixo x, ou seja, precisamos encontrar a raiz da função. Para isso, lembrem que devemos igualar a expressão a zero:

Bom, agora que temos o valor da raiz da nossa função, 5, fiquem atentos a figura abaixo. Reparem que para valores de x menores do que 5, a reta se encontra acima do eixo x, ou seja, para valores menores do que 5, a nossa função é positiva. Contudo, para valores de x maiores do que 5, vejam que a reta se encontra abaixo do eixo x, ou seja, para esses valores, a função é negativa.

Certo, mas e qual é a relação de tudo o que fizemos até então com o módulo? Prestem atenção no que vou lhes dizer!

A partir de minhas conclusões, podemos entender o seguinte: para valores de x menores do que 5, teremos como resultado o módulo de um número positivo, que é próprio número, portanto, nesse caso, o módulo de f(x) será igual a própria f(x). Contudo, para valores de x maiores do que 5, teremos como resultado o módulo de um número negativo, que é o oposto dele mesmo. Por isso, nesse caso, o módulo de f(x) será igual a –f(x). Como temos duas situações distintas, precisaremos de uma sentença para apresentar o resultado. Olhem só:

Conseguiram entender com clareza o resultado acima? Por nós precisarmos trabalhar com valores de x que pertencem a todo o conjunto dos números reais, o resultado do módulo de 5 – x acaba sendo uma sentença. Isso porque temos duas situações: para valores de x menores ou iguais a 5, (iguais sim, porque módulo de zero é o próprio zero), nós temos o módulo de uma função positiva, e por isso o resultado é a própria função 5 – x. Em um segundo caso, ou seja, para valores de x maiores do que 5, nós temos o módulo de uma função negativa, cujo resultado é sempre o oposto do valor da função, o que explica porque trocamos o sinal dos termos da expressão.

Certo pessoal!? Chegamos ao final do nosso texto de hoje, e eu espero que o assunto módulo esteja pelo menos um pouco mais claro para vocês! Digo pelo menos um pouco, porque tenho certeza que em complemento ao texto, se vocês derem uma olhada no vídeo em anexo, que contém mais alguns exemplos resolvidos mais complexos, e também resolverem uma série de exercícios sobre o assunto, não haverá mais mistério quanto a aplicação do módulo!

Um grande abraço e, sucesso nos estudos!