NÚMEROS IRRACIONAIS E REAIS

11/07/2018

Olá pessoal! Como vão?

Vocês já ouviram falar nos números √2, √3, ou até mesmo no número π? Estes, e tantos outros decimais não exatos, que não podem ser representados na forma de fração, são conhecidos como números irracionais. Acontece, que justamente essa característica que define os números irracionais, acaba tornando o seu conjunto numérico completamente distinto dos demais, ou seja, do conjunto dos números racionais, e é claro, do conjunto dos números inteiros e naturais.

Mas sinceramente, não há problema algum quanto a isso. Se precisarmos nos referir a todos números que podem ser representados por uma fração, e também a todos que não podem ser representados assim, nós falaremos do conjunto dos números reais. É isso que nós vamos estudar no texto de hoje!

E vocês, já sabem tudo sobre os conjuntos numéricos, ou ainda, sobre todos os assuntos da matemática do ensino médio? Lembrem que as provas do ENEM e dos vestibulares não demoram a chegar, e conhecer todos os conceitos bem em tempo pode ser o diferencial de vocês. É com esse intuito que a plataforma do Professor Ferretto foi criada! Cada videoaula, exercício resolvido em vídeo, simulado semanal, e até mesmo cada material de apoio, foi desenvolvido para que vocês aprendam matemática com qualidade e alcancem os seus objetivos! Juntem-se ao grupo de alunos do Professor Ferretto, é só acessar o site para conferir todos os planos de acesso!

Certo pessoal!? É fato que nós estudamos recentemente o conjunto dos números racionais. Esse conjunto é formado por todos os números naturais, inteiros, e também por todos os números decimais exatos e pelas dízimas periódicas. Cada um deles pode ser representado na forma de fração, ou de inteiro sobre inteiro, como mostram os quadros abaixo: 

De conhecimento disto, seria possível montar uma reta real e adicionar todos esses números. Uma vez que essa reta estivesse repleta de números racionais, ainda seria possível adicionar outros deles, realizando a média aritmética entre termos vizinhos, como mostra a figura abaixo:

Mas a verdade, é que por mais que fizéssemos infinitas médias aritméticas entre os números racionais, jamais preencheríamos completamente a reta real. Restariam algumas lacunas, deixadas pelos números que não podem ser representados por frações. Isso motivou a criação de um novo conjunto numérico: o conjunto dos números irracionais, que nós estudaremos na sequência.

 

1. NÚMEROS IRRACIONAIS (?)

Os números irracionais se assemelham profundamente as racionais dízimas periódicas. Assim como elas, esses números são decimais não exatos, ou seja, possuem um número infinito de casas decimais. Só que nas dízimas periódicas, são formados após a vírgula, grupos de um ou mais algarismos que se repetem infinitamente, ou ainda, que formam um período, e é aí que está a diferença: nos números irracionais, as casas após a vírgula são compostas por algarismos completamente aleatórios, que em nenhum momento formam qualquer sequência ou período.

Aquilo que é aleatório, depende de situações desconhecidas, incertas, ao acaso. Desta forma, será que haveria como montar uma fração baseada em um número decimal no qual nem mesmo todos os seus algarismos podemos prever? Não, não é mesmo? Assim, podemos dar aos números irracionais a seguinte definição:

“Os números irracionais são números decimais não exatos, que possuem representação infinita e não periódica e que também não admitem ser escritos como frações com numerador e denominador inteiros.”

São exemplos de números irracionais:

√2 = 1,4142135…

√3 = 1,7320508…

Vejam que em nenhum momento, nas casas decimais dos números acima, acontece qualquer periodicidade entre os algarismos. Não é possível nem mesmo saber quais algarismos apareceriam nas casas decimais que estão sendo representadas pelas reticências. O fato é que toda raiz quadrada que é extraída de um número primo apresenta esse comportamento, e de maneira geral, podemos dizer que toda raiz quadrada que não seja extraída de um quadrado perfeito será sempre um número irracional.

Outro bom exemplo de número irracional é o famoso “pi”. Seu valor possui infinitas casas após a vírgula, sem que haja qualquer periodicidade entre os seus algarismos, e resulta da divisão entre o comprimento de uma certa circunferência, e o seu diâmetro.

π = 3,14159265…

É claro que precisamos conhecer a representação na forma de diagrama do conjunto dos números irracionais. Nós vimos, lá no comecinho de texto, que a principal característica dos números irracionais, faz com que o seu conjunto numérico seja completamente diferente do conjunto dos números racionais, e consequentemente dos conjuntos dos números inteiros e naturais, já que os dois últimos são subconjuntos do primeiro. Quando dois conjuntos não possuem nenhum elemento em comum, nós os chamamos de conjuntos disjuntos, e sua representação é feita sem que os diagramas se entrelacem, como mostra a figura abaixo:

Como última observação sobre esse conjunto, vale lembrar o seguinte: já que não há elementos em comum entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, pode-se dizer que a intersecção entre esses dois conjuntos resulta no conjunto vazio.

Agora que já conhecemos a que conjunto numérico pertencem todos os números naturais, inteiros, decimais exatos, periódicos e também aqueles que não podem ser representados por frações, quem mais poderia restar para compor o conjunto dos números reais? Acompanhem o próximo tópico do texto para tirar essa dúvida!

 

2. NÚMEROS REAIS (ℝ)

Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto dos números reais (ℝ).

Assim, quando for necessário se referir a todos os números que podem ser representados na forma de fração, e também a todos os números que não podem ser representados desta forma, estaremos falando do conjunto dos números reais. Ele é formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Portanto, podemos defini-lo das seguintes maneiras:

O surgimento do conjunto dos números reais, ou seja, do conjunto que representa todos os números existentes, nos permite construir uma nova representação em forma de diagrama, que finalmente, abrange todos os conjuntos numéricos que conhecemos:

Para nossa alegria, agora que conhecemos os números irracionais e reais, um grande problema foi resolvido: não haverá mais lacunas, ou espaços em branco, na reta real. Aliás, neste momento, fica bem mais claro porque a reta é dita “real”. É uma referência ao conjunto dos números reais, e como esse conjunto é formado por todos os números existentes, significa que podemos representar todo e qualquer número que desejarmos nesta reta. Com toda a certeza esse número será racional, ou será irracional.

Após adquirirmos todo esse conhecimento, nada melhor que resolver alguns exercícios para que tudo fique bem claro. Vem comigo aqui!

Pessoal, este exercício nos pede que determinemos qual conjunto é composto apenas por números racionais. Como o conjunto dos números racionais é formado por todo número que pode ser representado por uma fração, se houver, nestes conjuntos, qualquer número que não possa ser representado por fração, ou seja, se houver qualquer número irracional em alguma das alternativas, esta poderá ser descartada. Às vezes, é mais fácil resolver uma questão descartando alternativas do que procurando exclusivamente a alternativa correta!

Tendo isso em vista, vamos analisar, um a um, os conjuntos apresentados:

Reparem no ilustre elemento que pertence aos 3 conjuntos acima. Sob hipótese alguma, o número “pi” pode ser representado na forma de fração. Ele é um número irracional, e portanto, não fará diferença se mais alguns dos demais elementos de cada conjunto também forem irracionais. Isso já basta para que descartemos essas 3 alternativas.

E agora, qual dos dois conjuntos possui apenas elementos racionais? Vocês poderiam pensar que nenhum deles, afinal, ambos possuem radicais, um indício de que sejam elementos irracionais. Mas se vocês repararem melhor, na alternativa b, temos a presença de uma raiz quadrada de um quadrado perfeito, o número 9. Isso resulta em um resultado inteiro, o número 3. Já na alternativa e, temos a presença de uma raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito, e o pior, é um número primo. Os números inteiros pertencem ao conjunto dos números racionais, mas as raízes quadradas de números primos são, sem sobre de dúvida, números irracionais. Fim de papo, a alternativa correta é a letra b!

Vejam como tudo fica bastante simples quando temos o conhecimento do assunto e analisamos as alternativas dos exercícios com calma. Neste momento, acredito que vocês estão preparados para encarar todos os conjuntos numéricos, e por isso encerro esse texto aqui! Espero que vocês tenham gostado do conteúdo, e que continuem acompanhando os posts do blog, afinal, já tem muita matemática a ser explorada por aqui!

Em anexo, deixo um vídeo que complementa o assunto. Não deixem de dar uma olhadinha nele, são poucos minutos de muito conhecimento!

Um abração a todos e até breve!