NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS

13/06/2018

Olá pessoal! Tudo bem por aí?

Quando um grupo de amigos se forma, significa que existe algo em comum entre essas pessoas. O mesmo acontece com os conjuntos numéricos: cada um deles, é formado por números que possuem certas características em comum. No texto de hoje, nós vamos estudar o conjunto dos números naturais (ℕ), e o conjunto dos números inteiros (ℤ), além de, é claro, tratarmos dos seus subconjuntos notáveis. Toda essa teoria é a base do estudo da matemática, e conhece-la, pode ser o diferencial para garantir um acerto mesmo nas questões mais simples dos vestibulares, e principalmente, na prova do ENEM!

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Certo pessoal!? Além de estudarmos quais são, de fato, os elementos que pertencem ao conjunto dos números naturais e os elementos que pertencem ao conjunto dos números inteiros, nós vamos fazer uma breve reflexão sobre o que levou esses conjuntos a serem chamados assim. Vem comigo aqui!

 

1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ()

É espontâneo, ou natural, que a gente conte quantas frutas ainda temos em casa, ou quantas peças de roupa temos a disposição para irmos a um certo evento, ou ainda, quantos edifícios estão localizados em uma determinada rua, enfim… que falemos em quantidade. Foi assim que os números naturais surgiram, quando houve a necessidade expressar quantidade!

A verdade, é que podemos ter em uma determinada rua, um, dois, três, quatro, cinco ou quantos edifícios couberem lá. Ao mesmo tempo, uma certa rua pode conter apenas algumas casas, e portanto nenhum edifício. Agora vocês já ouviram falar em meio edifício? ¼ de edifício? Não né? É por isso que o conjunto dos números naturais é formado pelo número zero e também por todos os números inteiros positivos, tudo para expressar quantidade ou nenhuma quantidade de algo. Numericamente, temos que:

Nós já estudamos, no texto Introdução aos Conjuntos, que as reticências dão ideia de infinidade ou continuidade aos conjuntos. Isso quer dizer que os elementos do conjunto dos números naturais iniciam em zero, e que de uma em uma unidade, eles se direcionam ao mais infinito!

Um fato curioso é que o número zero é considerado um elemento neutro, ou seja, ele não é nem positivo e nem negativo. Assim, dependendo da situação, pode não ser desejável incluí-lo em um certo conjunto. Se aplicarmos isso ao conjunto dos números naturais, daremos origem a um subconjunto chamado de subconjunto dos números naturais não nulos:

 

 

 

 2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ()

No item anterior, nós averiguamos que não é comum nos referirmos a meio edifício, ou a qualquer outra fração de edifício. Da mesma forma, não é natural existirem – 4 edifícios, ou –2 frutas. Por isso, a princípio os números naturais seriam suficientes para representar toda e qualquer grandeza existente. Contudo, eis que surge um dilema: quando adições ou multiplicações entre números naturais são realizadas, verifica-se que o resultado é, claro, um número natural também. Mas e quando são realizadas subtrações, será que isso acontece? Observem algumas subtrações para que possamos tirar conclusões:

10 – 5 = 5

8 – 2 = 6

4 – 13 = – 9

1 – 3 = – 2

Percebam que quando subtraímos de um número, um valor maior do que ele, o resultado é sempre um valor negativo. Mas somente com a existência dos números naturais, não havia como representar esse tipo de situação. Por esse motivo, é que se deu a criação do conjunto dos números inteiros, composto por elementos inteiros que vem de menos infinito, e que de uma em uma unidade se direcionam ao mais infinito. Numericamente, podemos representa-lo dessa forma:

Interessante não é mesmo? Tenham certeza que sim, afinal vamos descobrir agora mais um detalhe fascinante! Fiquem atentos a figura abaixo:

A verdade, é que do elemento zero em diante, ou seja, rumo ao mais infinito, todos os elementos que pertencem ao conjunto dos números inteiros, também pertencem ao conjunto dos números naturais! Ou seja, o conjunto dos números naturais “está dentro” do conjunto dos números inteiros, ele é um elemento do conjunto. Nós já estudamos também, que quando o elemento de um certo conjunto é outro conjunto, se diz que um conjunto está contido no outro. Assim, podemos dizer que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, ou ainda, que o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.

Com o advento dos números inteiros, foi possível, pela primeira vez, definirmos a ideia de simetria em relação ao número zero, ou em relação a origem da reta numérica. Observem a imagem para que isso fique mais claro:

 

Vejam que se nós adotarmos a distância da origem ao número 4 como sendo x, a distância da origem ao número – 4 será exatamente a mesma, x também! É justamente esse o conceito de simetria. Por isso, quando se fala em simétrico de um número, significa que esse número possui a mesma distância da origem em relação ao outro número. O mesmo é válido para o conceito de oposto de um número. Acompanhem os exemplos abaixo:

Simétrico ou oposto de 1: – 1

Simétrico ou oposto de – 20: 20

Simétrico ou oposto de 6: – 6

Simétrico ou oposto de – 5: 5

 

Tranquilo até aqui? Agora que já conhecemos a essência do conjunto dos números inteiros, vamos falar um pouquinho sobre 5 de seus subconjuntos. Vem comigo aqui!

 

3. SUBCONJUNTOS NOTÁVEIS

Para estudarmos os subconjuntos notáveis do conjunto dos números inteiros, precisamos entender direitinho o que essas duas palavras querem nos dizer. Como a ideia aqui é esclarecer, vamos partir para um exemplo real. Em uma mesma turma de uma escola, existem alunos que preferem as ciências exatas e outros que preferem as ciências humanas. Se nós formarmos um grupo com os alunos que preferem as ciências exatas e outro grupo com os alunos que preferem as ciências humanas, certamente a quantidade de pessoas de cada grupo será menor que o total de alunos da turma. Mesmo assim, independente do grupo que escolheram, cada um dos alunos continua fazendo parte da turma. Trazendo esse contexto aqui para a matemática, podemos dizer que o grupo de ciências exatas, e o grupo de ciências humanas são subconjuntos do conjunto turma.

Entenderam a ideia de subconjunto? Nós vamos fazer exatamente o mesmo agora com os elementos do conjunto dos números inteiros. Vamos reunir alguns de seus elementos que possuem características ainda mais semelhantes em pequenos grupos, ou subconjuntos! Mas como esses subconjuntos são muito conhecidos, e muito importantes para o estudo da matemática, eles são chamados de notáveis. Bom, chega de papo, vamos logo conhecer cada um deles!

 

3.1 Inteiros não nulos

Lembram do que eu disse lá no comecinho do texto sobre o asterisco? Pois é, quando o símbolo de um conjunto é apresentado juntamente a ele, significa que o elemento zero não pertence ao subconjunto. Assim, como o próprio nome sugere, o subconjunto dos números inteiros não nulos é formado por todos os números inteiros, desde menos infinito a mais infinito, excluindo-se o elemento zero.

 

3.2 Inteiros não negativos

Se algo é não negativo, significa que é positivo, certo? Então por que não chamar logo esse subconjunto de subconjunto dos números inteiros positivos? A resposta é simples, e está no próprio símbolo deste subconjunto. Reparem que não há a presença do asterisco no símbolo, o que significa que o zero pertence ao subconjunto! E o zero, lembrem, não é positivo e nem negativo! Portanto, esse subconjunto deve ser mesmo chamado de subconjunto dos números inteiros não negativos, e como apenas a parte negativa do subconjunto é retirada, ele é formado por todos os números inteiros positivos, rumo ao mais infinito e também pelo elemento zero.

Que coisa estranha, esse subconjunto não parece tão familiar? Não só parece como é! Se vocês olharem a figura acima com mais atenção, verão que o subconjunto dos números inteiros não negativos possui os mesmos elementos que o conjunto dos números naturais. Assim, podemos afirmar que:

 

3.3 Inteiros positivos

Agora sim, se trata de fato do subconjunto dos números inteiros positivos! Por isso, ele é formado somente por números inteiros positivos, rumo ao mais infinito, fato que exclui o elemento zero, porque como sabemos, ele é um elemento neutro. Isso fica ainda mais evidente no símbolo do conjunto, que contém um asterisco!

E novamente, para a nossa felicidade, os elementos desse subconjunto também pertencem ao subconjunto dos números naturais não nulos. Assim, resta-nos afirmar que:

 

3.4 Inteiros não positivos

Neste caso, a mesma lógica utilizada para nomear o subconjunto dos números inteiros não negativos está valendo. Se são elementos não positivos, significa que vamos excluir todos os números inteiros positivos, mas que incluiremos o zero, porque ele não é positivo também. É por isso que no símbolo do subconjunto dos números inteiros não positivos não há a presença do asterisco, e seus elementos começam em menos infinito e terminam em zero.

 

3.5 Inteiros negativos

O subconjunto dos números inteiros negativos, como o próprio nome sugere, é formado apenas por elementos inteiros negativos, desde menos infinito até o elemento -1. Assim, nesse caso, os números inteiros positivos e o elemento zero, que também não é negativo, não pertencem ao subconjunto, e isso motiva o aparecimento, novamente, do asterisco em seu símbolo.

 

Agora, para finalizarmos bem esse texto, analisaremos a veracidade de algumas sentenças:

3 – 5 = – 2

Lembrem pessoal, que o conjunto dos números inteiros foi criado justamente para representar os números negativos, que não tinham vez no conjunto dos números naturais. Por isso, com toda a certeza essa sentença é falsa!

Nós estudamos esta ideia no texto. Todos os elementos que pertencem ao conjunto dos números naturais, também pertencem ao conjunto dos números inteiros. Por isso, podemos dizer que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, ou ainda que os números naturais formam um subconjunto do conjunto dos números inteiros. A sentença é verdadeira!

O subconjunto dos números inteiros cujo símbolo é acompanhado apenas por um sinal negativo, é o subconjunto dos números inteiros não positivos. Mas o número 9 é um número positivo. Portanto esse elemento não pertence ao subconjunto e a sentença é falsa!

Alguém viu um asterisco no símbolo desse subconjunto? Não? Então não precisamos nem lembrar de que subconjunto se trata, o elemento zero certamente pertencerá a ele. Sentença verdadeira!

Pessoal, infelizmente chegou a hora de terminarmos o texto. Mas a boa notícia de hoje, é que os conjuntos numéricos não terminaram, ainda falaremos sobre todos eles! Enquanto isso, deem uma olhadinha no vídeo que estou deixando em anexo. Lá vocês encontrarão outras sentenças para analisar, o que só tem a contribuir para o conhecimento de vocês.

Abração! Bons estudos a todos!