NÚMEROS RACIONAIS

29/06/2018

Olá pessoal, tudo bem por aí?

As operações de soma, subtração ou multiplicação entre dois números inteiros, sempre resultam em números também inteiros. Contudo, caso uma divisão entre dois números inteiros seja realizada, o resultado pode ser inteiro, ou decimal. Ops! Números decimais não pertencem ao conjunto dos números inteiros, e daí surgiu a necessidade da criação de um novo conjunto numérico: o conjunto dos números racionais. Todo e qualquer número que possa ser representado na forma de fração, é considerado um número racional.

Pessoal, se vocês são estudantes do ensino médio, ou pretendem realizar as provas do ENEM ou de alguns vestibulares, eu informo: os conjuntos numéricos são apenas um dos assuntos da matemática abordados na plataforma do Professor Ferretto! Lá tem aulas de análise combinatória, probabilidade, funções, trigonometria e de toda a matemática do ensino médio! Além disso, na plataforma do Ferretto, vocês podem montar um plano de estudos com foco na prova que irão realizar! Acessem o site, conheçam os planos de acesso, e deixem as dúvidas em matemática para trás!

Dado o recado, vamos aprender agora tudo sobre o conjunto dos números racionais. Vem comigo aqui!

O conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo , é descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros a e b.

Certo, nós vimos que o conjunto dos números racionais surgiu, com o intuito de abranger os resultados das operações de divisão entre dois números inteiros que não geram números também inteiros. Assim, qualquer número que possa ser representado na forma de uma divisão, de quociente, de razão ou de fração, é um número racional. Só que toda divisão ou fração tem uma pequena restrição: seu divisor ou denominador jamais pode ser nulo ou zero!  Por esse motivo, olhem só como o conjunto dos números racionais é definido:

O conjunto dos números racionais é formado por todo quociente entre dois números a e b, tais que o numerador a pertença ao conjunto dos números inteiros, e que o denominador b pertença ao conjunto dos números inteiros não nulos. Se vocês derem uma olhadinha no texto Números Naturais e Inteiros, poderão perceber que lá se fala muito no significado do asterisco juntamente ao símbolo de um conjunto. Se o asterisco está presente, é um sinal de que o elemento zero não pertence ao conjunto. Justo, afinal eu repito, o denominador de uma fração jamais pode ser zero.

E aí, um tanto confuso? Exemplos sempre deixam tudo bem mais claro. Por isso, vou mostrar a vocês agora alguns números racionais:

Todo número natural ou inteiro também é considerado um número racional, porque é possível sim representar cada um deles na forma de fração. Pessoal, todos esses números possuem como denominador o número 1! Qualquer número dividido por 1, resulta nele mesmo.

Mas é importante prestar atenção em um detalhe: o fato de representarmos esses números na forma de fração, jamais fará com que eles deixem de pertencer ao conjunto dos números naturais ou ao conjunto dos números inteiros, e sejam apenas racionais. Muito pelo contrário. Lembrem que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros, porque todo elemento que pertence ao conjunto dos números naturais também pertence ao conjunto dos números inteiros. Ora, se todo número inteiro pode ser representado na forma de fração, então o conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais.

Vejam como a representação dos três conjuntos numéricos de que tanto falamos, na forma de diagrama, pode tornar tudo tão claro. A verdade é que o conjunto dos números racionais compreende o conjunto dos números inteiros, que por sua vez compreende o conjunto dos números naturais! Poderíamos dizer também, que o conjunto dos números naturais é parte ou está contido no conjunto dos números inteiros, que claro, é parte ou está contido no conjunto dos números racionais.

Tranquilo até aqui? Bom, nós já vimos brevemente que o resultado de uma divisão entre dois números inteiros, ou da divisão de uma fração, pode resultar em um número inteiro ou em um número decimal. Caso seja um resultado decimal, ainda é possível que seja exato ou periódico. Vamos estudar agora cada um desses casos e como saber quando cada um deles irá acontecer. Continue comigo aqui!

 

1. REPRESENTAÇÃO DECIMAL DAS FRAÇÕES

 

1.1 Decimal exato

Um número decimal é exato, quando possui um número finito de casas decimais não nulas. Isso significa que o número de casas após a vírgula de um número decimal exato tem fim, ou é um número exato, fixo. Acompanhem alguns exemplos disto:

Quando observamos um número com casas decimais finitas, pode nos vir a mente que esse número é inteiro, afinal foi possível dividir perfeitamente a fração correspondente. Jamais pensem isso! Se há uma vírgula em um algarismo, e se as casas após essa vírgula não forem compostas apenas por zeros, então temos um número decimal, mais precisamente um decimal exato!

 

1.2 Decimal periódico

Um número decimal é periódico, quando possui um número infinito de casas decimais não nulas. Isso significa, que as casas após a vírgula de um número decimal periódico não têm fim, e por isso costumamos utilizar as reticências para expressar essa ideia de continuidade. Um número decimal periódico é muito conhecido como dízima periódica.

Aí vocês poderiam se perguntar: por que um número decimal cujas casas decimais são infinitas é chamado de decimal periódico e não de decimal infinito, por exemplo? Período, na matemática, pode ser dito como algo que se repete indefinidamente, e é exatamente isso que acontece com as casas decimais de um decimal periódico: são combinações de números que se repetem indefinidamente! Olhem só esses exemplos:

Vejam que a forma como se repetem os algarismos após a vírgula é muito variada. Podem ser sempre algarismos iguais, podem ser 2, 3, 4 algarismos se repetindo, o importante é perceber que existe uma repetição entre eles. E aí poderia surgir mais uma dúvida: isso sempre acontece?

A verdade é que nem sempre os algarismos se repetem indefinidamente. Existem alguns números decimais, cujos algarismos após a vírgula são infinitos e totalmente aleatórios. Mas fiquem tranquilos. Não é possível representar números como esses na forma de fração, o que significa que não se trata de números racionais, e que não falaremos deles nesse texto. Um número decimal periódico sempre terá um número infinito de casas decimais não nulas e com repetição dos seus algarismos.

 

2. DECIMAL EXATO OU PERIÓDICO ?

Se dividirmos o numerador de uma fração, pelo seu denominador, obviamente conseguimos definir se o resultado é um decimal periódico ou exato. Mas e sem realizar qualquer divisão, será que é possível? A resposta é que sim, existe um método muito interessante e infalível que nos informa se uma fração equivale a um decimal exato ou a uma dízima periódica.

O primeiro passo é tornar a fração irredutível. Quando isso acontece, não é possível simplificá-la mais. Em seguida, basta decompor o denominador da fração em fatores primos. O resultado disso, é o grande segredo do método, olhem só:

Vamos ver se a ideia ficou clara.

  • 7/50 resulta em um decimal exato ou periódico?

Primeiramente, reparem que a fração 7/50 já é irredutível. Isso nos poupa o primeiro passo. Agora é hora de realizarmos a decomposição em fatores primos do denominador da fração.

Isso nos permite concluir que 7/50 é um número decimal exato. E de fato, a fração 7/50 é equivalente ao número decimal 0,14, um decimal exato.

  • 16/30 resulta em um decimal exato ou periódico?

A fração 16/30 não é irredutível. Mas se simplificarmos o seu numerador e o seu denominador por 2, teremos a sua forma irredutível: 8/15. Portanto é o denominador 15 que precisaremos decompor em fatores primos.

Parece que nesse caso, um fator diferente de 2 e de 5 surgiu na decomposição do denominador da fração. Isso nos mostra que 8/15 é equivalente a um número decimal periódico. E vejam só: 8/15 = 0,533333333333…..

Bom, para concluirmos o assunto, vamos abordar brevemente uma peculiaridade do conjunto dos números racionais. Antes de estudarmos esses números, em uma reta real, nós poderíamos dispor uma série de números naturais e inteiros.

Mas agora que conhecemos as frações, sabemos que elas se localizam sempre em meio a dois números inteiros ou naturais. A fração -4/3, por exemplo, se localiza entre os números inteiros -2 e -1, da mesma forma que a fração 1/2 se localiza entre os números inteiros e naturais 0 e 1.

E se nós desejássemos agora, completar a reta real com diversos valores racionais, ou frações. Vocês saberiam dizer como poderíamos obter esses infinitos valores? O fato é que entre dois números racionais, sempre haverá um terceiro número racional, e para conhecê-lo, basta aplicar uma média aritmética aos valores.

Dada a seguinte reta real, obtenha o número racional que se encontra entre os demais.

Para fazer isso, vamos aplicar a média aritmética entre 1/3 e 1/2. Observem o cálculo com atenção:

Assim, caso desejássemos complementar essa reta real, e incluir uma série de pontos entre 1/3 e 5/12, ou entre 5/12 e 1/2, por exemplo, nós realizaríamos uma média aritmética entre eles, e em seguida, uma série de novas médias aritméticas, até que fosse possível atingir o nosso objetivo.

Interessante, não é mesmo? É com esse assunto que encerramos o texto de hoje! Espero que vocês tenham aprendido bastante, e que os conceitos vistos aqui facilitem os seus estudos em matemática e outras áreas afins. Não será uma má ideia dar uma olhadinha no vídeo que deixo em anexo. Como de costume, ele complementa todas as informações que nós estudamos aqui!

Abração! Nos vemos em breve!