PARALELOGRAMO

18/05/2018

Olá pessoal! Tudo bem?

Os quadriláteros, dentro da geometria plana, são os polígonos que possuem quatro lados. Mas é só a gente parar um pouco para pensar, que logo nos vem a mente uma série de figuras geométricas que possuem 4 lados. Nosso texto de hoje, abordará apenas uma delas, o paralelogramo, suas propriedades e algumas fórmulas muito interessantes, que podem nos  ajudar a resolver inúmeras questões cobradas nas provas do ENEM e dos vestibulares!

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Preparados!? Vamos iniciar o estudo dos paralelogramos abordando quatro propriedades muito importantes para os seus estudos. Vem comigo aqui!

 

1. PROPRIEDADES DE UM PARALELOGRAMO

Apresento a vocês o paralelogramo! Essa bonita figura geométrica possui algumas definições sobre as medidas de seus lados, sobre as suas diagonais e sobre os seus ângulos internos. Vamos acompanhar cada uma delas com detalhes na sequência.

 

P1) Em todo paralelogramo, os dois ângulos opostos são sempre congruentes.

Essa propriedade nos mostra, que em qualquer paralelogramo, os dois ângulos opostos possuem o mesmo valor. Mas o que significa exatamente um ângulo ser oposto ao outro? É que o que eu vou mostrar para vocês na figura abaixo.

Observem que se nós dissermos, primeiramente, que um certo ângulo é de valor α, então, o ângulo oposto a ele também terá valor α. O mesmo acontece para os outros dois ângulos. Se o valor de um deles for β, então o valor do seu ângulo oposto será β também.

 

P2) Em todo paralelogramo, os dois lados opostos são sempre paralelos e congruentes.

Esta propriedade, nos mostra que os lados opostos do paralelogramo são sempre paralelos e de mesma medida. Quanto a serem de mesma medida, a figura abaixo pode nos ajudar a entender melhor o que acontece.

Vejam que se um dos lados do paralelogramo medir um certo comprimento a, então o lado oposto a ele certamente terá comprimento a também. Tudo se repete para os outros dois lados. Se um deles medir um certo comprimento b, o lado oposto a ele medirá, da mesma forma, b.

Já para entendermos direitinho o fato de os lados opostos de um paralelogramo serem paralelos, vamos estudar o que significa um segmento ser paralelo ao outro.

Reparem nos segmentos da figura acima. Eles representam os dois lados opostos de um paralelogramo, mas vejam que aqui eles foram aproximados. Se nós observarmos com atenção, esses segmentos nunca poderão se cruzar entre si, e ainda, a distância entre os mesmos se mantém ao longo de toda a sua extensão. Isso significa que eles são mesmo paralelos.

 

P3) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos seus pontos médios.

Todo o quadrilátero convexo possui duas diagonais, como as que vemos na figura acima. Acontece que o ponto onde elas se cortam, que chamamos de M, acaba sendo o ponto médio de ambas as diagonais. Isso significa, por exemplo que se a diagonal  medir 4 cm, o segmento  medirá 2 cm, da mesma forma que o segmento . O mesmo acontece para a diagonal . Se ela medir 2 cm, então o segmento  medirá 1 cm, assim como o segmento . Podemos concluir então, que o ponto médio das diagonais divide o seu segmento pela metade.

 

P4) Em todo paralelogramo, dois ângulos consecutivos são sempre suplementares.

Para entendermos essa propriedade, vamos lembrar agora o que são ângulos suplementares. Dois ângulos α e β, são suplementares, se a soma de seus valores resultar em 180º.

Certo, mas o que são ângulos consecutivos? São os ângulos “vizinhos”, como mostra a figura abaixo.

Assim, nós podemos ter certeza que a soma do valor de α com o valor de β resultará sempre em 180º. Então, se no enunciado de um certo exercício, for fornecido a vocês o valor de apenas um dos ângulos do quadrilátero, por exemplo, se for dito que α mede 30º, sem demora, vocês poderão descobrir o valor dos outros ângulos. Comecem descobrindo o valor de β, através da fórmula dos ângulos suplementares, e em seguida, lembrem: os ângulos opostos são congruentes, pronto!

Agora pessoal, veremos o paralelogramo de um outro ponto de vista, tudo para estudar a sua área, já que a maioria das questões que envolvem o paralelogramo, costuma questionar essa informação.

 

2. ÁREA DE UM PARALELOGRAMO

Para calcular a quantidade de m², cm², km² de uma figura geométrica, ou seja, para calcular a sua área, precisamos conhecer o valor de suas dimensões. No caso do paralelogramo, devemos conhecer o valor de sua base, representada por b, e de sua altura, representada por h. Vejam na figura abaixo, que a altura do paralelogramo é aquele segmento que sai da base, formando um ângulo de 90º com ela, e vai em direção ao seu lado oposto. 

Assim, a área de um paralelogramo é dada pela fórmula:

Aí vocês poderiam se perguntar, mas que fórmula simples, será que é isso mesmo? Claro que é! O fato é que todos os quadriláteros podem ser considerados a união de dois ou mais triângulos. Querem ver?

A figura acima acaba de nos confirmar que a fórmula está correta! Vejam que um paralelogramo é formado por dois triângulos. Uma vez que a fórmula da área do triângulo é a metade da multiplicação do valor da sua base pelo valor da sua altura, quando unimos essas duas metades, somando-as, temos o valor inteiro, que é simplesmente a multiplicação do valor da base pelo valor da altura. Tranquilo, não é?

Bom, chega de fórmulas por hoje! Vamos aplicar tudo que aprendemos nesse texto resolvendo um exercício bastante intrigante. Olhem só!

 

Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área 24 cm². M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente. Determine a área do polígono AMND.

Vejam pessoal, que o exercício está nos pedindo para calcular a área da figura em verde, que está dentro do paralelogramo, cuja área nós conhecemos, 24 cm². Mas assim, só de olhar, vocês saberiam dizer o nome dessa figura geométrica? Retângulo, paralelogramo, triângulo, losango, … Pois é, parece que não sabemos nada sobre ela. Agora reparem nas partes que não pertencem a área em verde dentro do paralelogramo. Não são triângulos? Opa, dessas figuras nós sabemos como encontrar a área!

É por isso que nesse exercício, nosso foco será encontrar a área desses dois triângulos restantes, e depois subtrair do valor da área do paralelogramo como um todo, os 24 cm². Vamos denominar um dos triângulos como sendo o número 1 e o outro como sendo o número 2, e vamos analisar o desenho, para verificar como montaremos as equações necessárias para a resolução.

Observem que na imagem acima, estão identificadas as medidas da base e da altura do paralelogramo, como b e h, respectivamente. Assim, podemos afirmar com toda a certeza que:

Certo, mas e a área dos nossos triângulos? Agora chegou o momento em que devemos interpretar direitinho como aqueles pontos M e N podem nos ajudar a resolver a questão. O próprio enunciado nos diz: “M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente”. Ora, se eles são pontos médios do segmento em que se encontram, então quer dizer que eles dividem esses segmentos pela metade!

Conhecendo esse detalhe, nós conseguimos definir que a medida da base do triângulo 1 é igual a medida da base do paralelogramo, b. Já a sua altura, certamente será a metade da altura do paralelogramo, ou h/2, como mostra a figura. Com relação ao triângulo 2, podemos perceber que a medida da sua base será a metade da medida da base do paralelogramo, ou seja, b/2, enquanto que sua altura, será igual a do triângulo 1, h/2. Substituindo esses valores na fórmula da área do triângulo, podemos chegar a algumas conclusões:

Chegamos aos valores das áreas de ambos os triângulos, contudo, o que fazer com as incógnitas b e h, que representam as medidas da base e da altura do paralelogramo? Pessoal, nós montamos uma equação para a área do paralelogramo logo acima. Assim, sabemos que a multiplicação de b por h, resulta em 24, por isso podemos substituir esse valor nas equações que acabamos de obter:

Neste momento, já temos condições de calcular a área da figura AMND que a questão nos pede. Vamos subtrair da área do paralelogramo, as áreas dos dois triângulos que não compõem a figura.

Gostaram do exercício? É com ele que concluímos mais um texto! Espero que vocês tenham gostado do assunto e que possam aplicar com facilidade tudo o que aprendemos quando precisarem. Em anexo, é claro, fica o vídeo que complementa o assunto. Deem uma olhada nele, vocês encontrarão mais alguns exercícios resolvidos e estarão prontos para responder qualquer questão sobre o assunto!

Um abraço a todos! E ótimos estudos!