QUADRADO

19/09/2018

Olá pessoal! Como vão?

Por um acaso vocês já ouviram falar de uma figura geométrica plana que é um pouco retângulo e um pouco losango? Sim, essa figura existe, e é conhecida como quadrado, o único paralelogramo que ainda não havia dado as caras por aqui! Nesse texto, vocês vão conhecer as propriedades do quadrado, e descobrir como calcular a sua área, o comprimento de sua diagonal, além da medida dos raios das circunferências inscrita e circunscrita sobre ele. Depois de conferir tudo isso, ainda sobra espaço para fechar com chave de ouro o estudo dos paralelogramos, e falar um pouco das relações entre o retângulo, o losango e o quadrado, tudo do ponto de vista dos conjuntos, acreditem!

Garanto que depois de assimilar todo o conhecimento visto hoje, boa parte da geometria plana não será mais mistério para vocês! Agora, se o problema for geometria espacial, ou qualquer outro assunto da matemática do ensino médio, eu informo: ainda dá tempo de assinar a plataforma do Professor Ferretto e se dar bem nas provas do ENEM e dos vestibulares logo mais! Só lá tem mais de 1000 questões das edições mais recentes do ENEM e dos vestibulares com resolução em vídeo, que termina com as dúvidas na interpretação dos exercícios. Isso que eu nem falei das videoaulas, dos simulados, das aulas de física e de todas as demais vantagens do curso, que vocês conferem acessando o site. Com a ajuda do Ferretto, eu garanto que a matemática não será mais um problema!

Bom, dito isto, está na hora de apresentar a vocês a figura que os motivou a chegar até aqui. Este é o quadrado!

Pois bem, nós estudaremos agora, as 9 propriedades que pertencem ao quadrado. Dentre estas, 4 são comuns a todos os paralelogramos, e por esse motivo, é possível dizer que todo quadrado é um paralelogramo. Mas o mais curioso de tudo isso, é que das 5 propriedades restantes, 3 também pertencem ao losango, e as últimas 2 também pertencem ao retângulo. Isso explica porque nos referimos ao quadrado como meio losango e meio retângulo no início do texto!

 

1. PROPRIEDADES DO QUADRADO

P1) Em todo paralelogramo, e portanto, em todo quadrado, os dois lados opostos são sempre paralelos e congruentes, ou seja, de mesma medida.

 

P2) Todos os losangos e quadrados possuem os quatro lados congruentes, ou seja, de mesma medida, que nós iremos representar aqui por l.

 

P3) Em todo paralelogramo, e portanto, em todo quadrado, os dois ângulos opostos são sempre congruentes, ou seja, de mesma medida.

 

P4) Todos os quatro ângulos dos retângulos e dos quadrados são retos, ou seja, medem 90º.

 

P5) Em todo paralelogramo, e portanto, em todo quadrado, dois ângulos consecutivos são sempre suplementares.

Dois ângulos são suplementares, se a soma de seus valores resultar em 180º. Mas o mais interessante, é que essa propriedade fica ainda mais evidente no quadrado, já que todos os seus ângulos internos medem 90º.

                  

 

P6) As diagonais dos losangos e dos quadrados são bissetrizes dos seus vértices.

Uma bissetriz é uma reta que divide um ângulo em duas partes iguais. Pois bem, no caso do losango, em que os ângulos internos não são definidos, e por isso são descritos como α e β, cada diagonal gera quatro ângulos iguais de medida α/2 e β/2. Mas felizmente, quando se trata de um quadrado, os valores dos ângulos internos são conhecidos, e o melhor, são todos iguais, medem 90º. Por isso, cada diagonal do quadrado divide dois ângulos de 90º pela metade, gerando assim, quatro ângulos de 45º.  

 

P7) Em todo paralelogramo, e portanto, em todo quadrado, as diagonais interceptam-se nos seus pontos médios.

Isso significa que em todo quadrado, o ponto M onde as diagonais se cruzam, divide o comprimento delas exatamente pela metade.

 

P8) As diagonais dos losangos e dos quadrados são perpendiculares entre si.

Isso significa que exatamente no ponto onde as duas diagonais do losango e do quadrado se intersectam, elas formam um ângulo de 90º entre si, e acabam dividindo ambas as figuras em quatro triângulos retângulos iguais.

 

P9) As diagonais dos retângulos e dos quadrados são congruentes, ou seja, ambas possuem o mesmo comprimento.

Essas propriedades são muito interessantes, não é mesmo? A verdade, é que elas nos permitem utilizar uma série de recursos para resolver os exercícios que envolvem o quadrado. Mas é claro que além disso, também existem algumas fórmulas bem importantes para essa figura geométrica, por isso nós vamos abordá-las na sequência!

 

2. ÁREA DO QUADRADO

Dois conceitos nos levam facilmente a fórmula da área do quadrado. O primeiro deles, é que todo quadrado é um retângulo, e como a área do retângulo pode ser calculada através do produto da medida de sua base pela medida de sua altura, nós poderemos utilizar essa fórmula para encontrar a área do quadrado. Já o segundo conceito, é que como nós vimos anteriormente, todos os lados do quadrado possuem a mesma medida, representada neste texto por l. Isso significa que as medidas da base e da altura do quadrado são dados por l , o que nos permite concluir que:

A fórmula da área do quadrado é mesmo tão interessante, que existe até uma frase que facilita a sua memorização:

A área do quadrado é lado vezes lado.

 

3. DIAGONAL DO QUADRADO

Outros dois conceitos nos permitem encontrar a fórmula que leva ao comprimento da diagonal d do quadrado. O primeiro deles, é que a diagonal do quadrado o divide em dois triângulos retângulos iguais. E por falar em triângulo retângulo, aí vem o segundo conceito: de acordo com o teorema de Pitágoras, a medida da hipotenusa de qualquer triângulo retângulo elevada ao quadrado, é igual a soma dos quadrados das medidas de seus catetos.

Assim, a medida da diagonal de um quadrado pode ser dada pelo produto da medida do seu lado, por raiz quadrada de 2.

 

4. RAIO (r) DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA NO QUADRADO

Uma circunferência está inscrita em um quadrado, quando ela se encontra dentro deste quadrado, e a sua borda tangencia todos lados do quadrado, como vemos na imagem acima. Apesar do raio dessa circunferência ser definido como a distância entre centro e um ponto qualquer de sua borda, nós vamos traçá-lo propositalmente do centro até um dos pontos de sua borda que está em contato com o lado do quadrado, e assim chegamos a seguinte situação:

A imagem acima não deixa dúvidas de que o raio da circunferência inscrita no quadrado, que representamos por r, possui exatamente a metade do comprimento do lado l do quadrado.

Agora reparem em mais um detalhe interessante: o raio da circunferência inscrita no quadrado, também representa a distância entre centro do quadrado e o ponto médio de um de seus lados. Só que essa é justamente a definição do apótema do quadrado. Por isso, o apótema de um quadrado (ap) é exatamente igual ao raio da circunferência inscrita sobre ele, e portanto equivale a metade do comprimento do lado do quadrado também.

 

5. RAIO (R) DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA NO QUADRADO

Uma circunferência é circunscrita a um quadrado, quando ela se encontra fora deste quadrado, e a sua borda tangencia todos os vértices do quadrado, como vemos na imagem acima. É claro que o raio dessa circunferência também pode ser definido como a distância entre centro e um ponto qualquer de sua borda, mas novamente, nós vamos traçá-lo estratégicamente do centro até um dos pontos em que sua borda tangencia um dos vértices do quadrado, e assim chegamos a seguinte situação:

Se parece que isso não faz sentido algum, observem o que nós faremos agora: vamos traçar novamente o raio da circunferência do centro até o vértice oposto daquele que havíamos traçado. Essa nova cena não lembra nada que acabamos de estudar?

Pois é, o diâmetro da circunferência circunscrita é exatamente igual a diagonal do quadrado! Por isso, podemos dizer que o raio da circunferência circunscrita ao quadrado, que representamos por R, corresponde exatamente a metade do comprimento da diagonal do quadrado.

Aí, se vocês lembrarem que o comprimento da diagonal de um quadrado, é dado pelo produto da medida do seu lado por raiz quadrada de 2, então é possível obter o raio da circunferência circunscrita do quadrado em função da medida do seu lado l.

Bom, agora que nós já conhecemos todo o formulário do quadrado, é hora de fazermos um estudo teórico bem importante, que vai fechar com chave de ouro o aprendizado de vocês a respeito dos paralelogramos. Observem na sequência, como as diagonais de alguns quadriláteros convexos se comportam. Em seguida, teremos condições de tirar algumas conclusões sobre o assunto.  

O quadro acima não deixa dúvidas, de que se nós formássemos conjuntos aos quais pertencessem todos os paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados, a sua representação na forma de diagrama seria a seguinte:

Prestem bastante atenção nesses diagramas, e assim vocês nunca esquecerão que todo quadrado é um retângulo e um losango, e que por sua vez, todo retângulo, quadrado, ou losango, será sempre um paralelogramo.

E lá se foi mais um texto sobre geometria plana! Espero que todos os conceitos, figuras, e quadros apresentados aqui, tenham contribuído para os estudos de vocês, afinal, esse é o nosso objetivo! E se vocês quiserem testar todo o conhecimento que adquiriram, então não deixem de dar uma olhada no vídeo que está em anexo. Lá são resolvidos alguns exercícios muito curiosos, que como sempre, abrangem diversos conceitos da matemática.

 Um abração a todos e até o próximo texto!