QUANTIDADE DE RAÍZES REAIS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

20/12/2017

Olá pessoal! Tudo bem com vocês?

Nesse texto vamos estudar o assunto quantidade de raízes reais da função do segundo grau, também conhecida como função quadrática. Vou mostrar para vocês o significado e relação do discriminante com as raízes (zeros) da função quadrática.

Lembrando que este é um assunto muito importante que pode te ajudar muito na hora de resolver questões de função quadrática e também ao analisar e montar gráficos desse tipo de função. Se você quiser um aprofundamento maior sobre o assunto, assine a plataforma Professor Ferretto, e tenha acesso a videoaulas, exercícios, dicas, simulados e tudo o que você precisa para saber tudo sobre matemática e obter aquela notinha que faz a diferença no Enem ou no vestibular.

Ok?! Então, vem comigo aqui!

 

1. RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Quando fazemos ax² + bx + c igual a zero, isto é y = f(x) = 0, muitas vezes podemos obter valores de x, aos quais denominamos raízes ou zeros da função. Para fazer referência a essas raízes, costumamos usar símbolos tais como x’ e x” ou x1 e x2.

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando Δ = b² – 4ac, chamado de discriminante.

Relembrando que b² – 4ac faz parte da fórmula de Bhaskara, descrita abaixo:

Pela fórmula de Bhaskara conseguimos determinar as raízes da função quadrática, que também são chamados de zeros da função quadrática. Reparem que dentro da raiz temos b² – 4ac, que é chamado de Delta (Δ), e também é conhecido como discriminante da fórmula de Bháskara.

Em relação ao discriminante, três situações podem acontecer. O discriminante, no caso o delta, ele pode ser positivo (Δ > 0), ele pode ser negativo (Δ < 0) ou ele pode ser exatamente igual a zero (Δ = 0). Cada uma dessas possibilidades nos leva a uma consequência, que irá determinar a quantidade de raízes de uma função quadrática. Deixa eu explicar melhor para vocês entenderem cada uma dessas situações.

 

2. DISCRIMINANTE E QUANTIDADE DE RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

1° Caso: se Δ > 0, ou seja, se delta é um valor positivo.

Neste caso, a função tem duas raízes reais e distintas, ou seja, quando calculamos as raízes, obtemos duas raízes x1 e x2, que são dadas da seguinte forma:

Notem que podem ser determinadas duas raízes com valores diferentes. Portanto, a parábola determina dois pontos distintos no eixo dos x: (x1, 0) e (x2, 0).

2° Caso: se Δ = 0.

Nessa situação, a função tem duas raízes reais e iguais, que também pode ser dito que a função tem raiz dupla. Isto ocorre quando o delta for exatamente igual a zero, pois teremos raiz quadrada de zero e, como sabemos, raiz quadrada de zero é zero. Portanto, ao fazer a fórmula de Bhaskára, o valor do x fica:

Dessa forma, não há como separar os valores, pois temos que ambas as raízes têm o mesmo valor, x1 = x2. Assim, a parábola tangencia o eixo dos x, como ilustrado na figura abaixo.

3° Caso: Δ < 0, ou seja, delta assume um valor negativo.

Quando delta for um valor negativo, temos na fórmula a raiz quadrada de número negativo, e isto não existe no campo dos número reais, ou seja, não há raiz real. Dizemos então que as raízes são complexas, pois raiz de número negativo só pode ser resolvida com um número imaginário que faz parte do conjunto dos números complexos.

Desta forma, quando delta assume um valor negativo, a parábola não determina nenhum ponto no eixo dos x.

Vamos fazer um exemplo para ver como funcionam cada uma dessas situações na prática.

1) Determine, se existirem, os zeros das funções abaixo:

1. f(x) = x² – 2x + 1

Para descobrirmos os zeros ou raízes da função dada, devemos, primeiramente, igualar a função a zero. Vamos agora determinar os coeficientes da função proposta:

Como nosso discriminante é igual a zero, as raízes x1 e x2 são exatamente iguais. Dessa forma, para calcularmos as raízes, basta fazermos:

Neste caso, temos uma raiz dupla que vale 1, ou seja, tanto x1 como x2 valem 1.

Vamos fazer mais um exercício para determinar a quantidade de raízes que a função possui. Vejam a função abaixo:

b. f(x) = x² – x – 2

Vamos determinar os coeficientes e encontrar o discriminante desta função:

Nesse caso, o nosso delta deu um valor positivo, então temos que x1 é diferente de x2. Vamos calcular quanto valem as raízes:

Então, uma das raízes vale 2 e a outra vale –1. Fácil né?!

Para estudar o último caso, vamos fazer um exercício que aborde o mesmo. A seguir é apresentada a função:

f(x) = 2x² + 3x + 4

Lembrem-se, sempre, que temos que igualar a zero para ficar uma equação. Vamos determinar os coeficientes e encontrar o discriminante desta função:

Como nosso discriminante deu menor que zero, ou seja, é um valor negativo, não existem raízes reais para esta função. Pessoal, para que fique bem claro, se não existem raízes reais, não quer dizer que não existem raízes. As raízes existem, mas elas são duas raízes imaginárias e números imaginários pertencem ao conjunto dos números complexos.

Agora que vocês já viram cada um dos três casos que o discriminante pode assumir, vamos fazer mais um exercício envolvendo o assunto. Acompanhe comigo!

2) Para que valores reais de m a função f(x) = (m – 1)x² – 4x – 1 não admite números reais.

Pessoal, se ela não admite números reais, o que nós temos aqui é o seguinte, o Δ < 0, ou seja, o delta é um valor negativo. Como vimos anteriormente, Δ = b² – 4ac. Como o delta deve ser um valor menor que zero, escrevemos:

b² – 4ac < 0

Agora, vamos determinar os coeficientes da função e substituir eles no discriminante.

Então, para que nós não tenhamos zeros reais, ou seja, raízes reais da função, nós temos que ter um valor para m menor do que – 3. Uma observação importante, reparem que o a vale m – 1. Vocês devem sempre lembrar que o a nunca pode ser zero. Desta forma:

No entanto, quando nós encontramos a resposta de que o valor de m deve ser menor do que o – 3, isto já está satisfazendo esta situação do m ser diferente de 1.

Assim, finalizamos mais um texto e eu espero que ele tenha sido muito importante para vocês nos seus estudos. Saber identificar a quantidade de raízes pelo discriminante ajuda muito na hora de resolver problemas, e também a resolver questões como essa que acabamos de fazer.

Pessoal, um abração, muito sucesso para vocês e até o próximo texto!

E se vocês quiserem mais exemplos e acompanhar as explicações do texto de uma forma mais prática, vejam o vídeo anexado abaixo.