RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

12/09/2018

Olá pessoal, tudo bem?

Hoje nós iremos estudar um assunto da matemática básica que é muito intrigante, sob diversos pontos de vista: a racionalização de denominadores! Basicamente, racionalizar o denominador de uma fração, consiste em eliminar a raiz não exata que lá se encontra, mas sem alterar o valor inicial da fração como um todo. Muitos alunos têm dúvidas sobre como racionalizar um denominador, outros desejam saber o que de fato significa racionalizar um denominador, e é claro, existem aqueles que desejam saber por que é necessário efetuar a racionalização. Pois bem, o texto de hoje visa esclarecer todas essas dúvidas, e proporcionar a vocês um aprendizado completo do assunto!

É fato que eu não preciso nem dizer o tamanho da importância desse conteúdo para quem vai realizar as provas do ENEM e dos vestibulares, não é mesmo? Mas falando especificamente dessas provas, vocês saberiam dizer quais assuntos específicos da matemática caem em cada uma delas? Estão se organizando para estudar só aquilo que realmente é necessário de forma a garantir uma boa preparação para presta-las? Não? Então que tal ter acesso a uma plataforma de ensino que acompanha os conteúdos cobrados no ENEM e nos vestibulares, e monta um plano de estudos específico para os seus objetivos? Essa é a plataforma do Professor Ferretto! Só lá tem videoaulas sobre todo o conteúdo da matemática do ensino médio, exercícios resolvidos em vídeo, simulados semanais, estatísticas individuais e até aulas de física! Ficaram curiosos? Então acessem o site para saber mais!

E agora que vocês já sabem o segredo do sucesso, vamos começar a esclarecer aquela série de dúvidas que foram citadas logo no início do texto. Desejo a vocês uma ótima leitura!

 

1. O QUE SIGNIFICA RACIONALIZAR UM DENOMINADOR?

É verdade que a gente costuma ouvir a expressão “racionalizar um denominador” e já pensa em algo como “eliminar ou remover” a raiz do denominador de uma fração. É claro que isso não está errado, mas então por que será que o nome dessa operação não é simplesmente esse “Eliminar a raiz de um denominador”?

Na imagem acima, nós vemos duas frações equivalentes, ou seja, frações cujo valor decimal é exatamente o mesmo, 0,707…. Agora reparem bem no denominador da fração antes de sofrer o processo de racionalização: ele é composto por uma raiz não exata, que é considerada um número irracional. Só que curiosamente, após haver a racionalização deste denominador, o seu valor passou a ser um número racional. Isso só pode significar uma coisa: racionalizar um denominador nada mais é do que transformar o seu valor irracional em um número racional.

2. POR QUE É NECESSÁRIO EFETUAR A RACIONALIZAÇÃO?

A racionalização de denominadores surgiu em um período onde não contávamos com as calculadoras científicas e gráficas que conhecemos hoje. Naquela época, a maioria dos cálculos era feita de forma manual, e aí era muito mais simples trabalhar com raízes não exatas no numerador de uma fração, do que no seu denominador. Mesmo hoje, realizar cálculos com raízes no denominador pode ser um problema para as calculadoras mais simples, devido a ordem em que as operações são realizadas por elas.

Mas matematicamente falando, e com os recursos atuais, é claro que não faz diferença racionalizar ou não um denominador. Muitos autores apelam para a estética da fração, e afirmam que ela fica mais “bonita” quando o denominador é racionalizado. Contudo, isso é apenas uma questão de preferência, de forma que nenhum resultado fracionário pode ser considerado errado porque o seu denominador não foi racionalizado.

 

3. COMO RACIONALIZAR UM DENOMINADOR

Apesar do processo de racionalização não ser mais extremamente necessário, como acabamos de ver, é fato que essa operação ainda é muito utilizada por diversos autores em suas bibliografias, e até mesmos nas provas e concursos por aí. Portanto, a minha dica é a seguinte: saibam como é possível racionalizar um denominador e então, caso for necessário ou pedido que vocês façam isso, não haverá problema algum!

Beleza pessoal? Pois bem, a racionalização de denominadores utiliza um conceito muito interessante, que é o do elemento neutro da multiplicação. De forma simplificada, todo elemento é neutro quando sua utilização em uma operação matemática não causa alteração no outro elemento com o qual este entra em operação. E aí eu pergunto para vocês: qual é o único valor numérico que quando multiplicado por qualquer outro número real, não altera o valor deste número?

É isso mesmo! Qualquer número multiplicado por 1 resulta nele próprio! Agora vem outra pergunta: qual é o resultado da divisão de qualquer número real por ele mesmo?

Então, o que será que acontece quando multiplicamos qualquer valor real por uma fração, cujo numerador e denominador possuem o mesmo valor?

Exatamente! Ao multiplicarmos qualquer número real por uma fração como essa, é como se estivéssemos multiplicando esse número por 1, e multiplicar qualquer número por 1 não causa alterações em seu valor inicial! Bom, para racionalizar um denominador, é necessário transformar o seu valor irracional em um número racional, mas sem alterar o valor inicial da fração como um todo, não é mesmo? Então parece que estamos no caminho certo! Vamos ver agora, como é possível racionalizar um denominador que pode se encontrar de 3 maneiras diferentes. Vem comigo aqui!

 

3.1 Quando o denominador é um radical de índice 2

Quando existe um único radical no denominador de uma fração, e esse radical é de índice igual a 2, ou seja, uma raiz quadrada, tem-se o caso mais simples de racionalização. Isso porque, para eliminar um radical de índice dois, basta multiplica-lo por ele mesmo, como mostra esse exemplo algébrico:

Por isso, costuma-se dizer que o fator racionalizante, ou o fator que elimina um radical de índice 2 é ele próprio! Só que aí é importante lembrar, que ao racionalizar um denominador, jamais se deve alterar o valor inicial da fração como um todo. Assim, além de multiplicar o radical que se encontra no denominador pelo fator racionalizante, nós multiplicaremos também o numerador da fração pelo mesmo fator, como mostra o exemplo abaixo.

 

Racionalize o denominador da fração 1/√3.

Fator racionalizante: √3

Vejam que quando a fração original, 1/√3, é multiplicada pela fração √3/√3, que é exatamente igual ao valor 1, obtém-se como resultado uma fração equivalente a inicial, ou seja, seus valores decimais são exatamente os mesmos:

Vamos a mais alguns exemplos:

1. 

Fator racionalizante: √7

2.

Fator racionalizante: √5

Bem tranquilo não é? Vamos agora a um caso que pode complicar um pouquinho mais a vida de vocês.

 

3.2 Quando o denominador é um radical de índice maior do que 2

Quando existe um único radical no denominador de uma fração, mas esse radical é de índice maior do que 2, ou seja, uma raiz cúbica, quarta, quinta e por aí vai, o processo de racionalização se torna um pouquinho mais complicado. Isso porque, para eliminar um radical de índice maior do que dois, não basta multiplica-lo por ele mesmo, como mostra esse exemplo algébrico em uma raiz cúbica:

Vejam que não foi possível eliminar o radical do exemplo, porque o expoente de a, 2, não era igual ao valor do índice da raiz, 3. Por isso, a partir de hoje, vocês deverão ficar mais atentos ao expoente do radicando do fator racionalizante que irão utilizar para multiplicar o denominador da questão. Esse expoente deve ser um valor que quando somado ao expoente do radicando original, resulte no índice da raiz. Por exemplo:

Assim, uma ideia para ficar bem fácil de descobrir o fator racionalizante correto é a seguinte: ao observar que o índice da raiz do denominador que se deseja racionalizar é maior do que 2, já deem uma olhada no expoente do radicando dessa raiz. Aí é só perguntar: quanto falta do expoente do radicando para o índice da raiz? Pronto, a resposta dessa pergunta é o valor do expoente do radicando do fator racionalizante!

Certamente nós vamos resolver alguns exemplos para que essa ideia fique mais clara. Acompanhem com atenção.

 

3.

O radical do denominador dessa fração é uma raiz cúbica, ou seja temos um índice igual a 3. Enquanto isso, o expoente do radicando 2, é de valor 1. Aí vem a pergunta: quanto falta de 1 para 3? 3 – 1 = 2!

Fator racionalizante: ∛2²

Apesar de termos inserido um expoente no radicando do fator racionalizante, a fração gerada por ele ainda resulta no valor 1, e por esse motivo, a fração inicial e a fração já racionalizada seguem sendo equivalentes:

 

4.

Esse exemplo é bastante interessante, porque podemos reescrever o radicando 27 em forma de potência, já que 27 = 3³. Isso facilitará bastante o processo de racionalização, vejam só:

Desta forma, podemos tirar as seguintes conclusões: temos um radical no denominador da fração cujo índice é igual a 5. Por sua vez, o expoente do radicando agora de valor 3, é também o número 3. Então, quanto falta de 3 para 5? 5 – 3 = 2!

Fator racionalizante:

E novamente, podemos confirmar que a fração racionalizada é equivalente a fração inicial:

Agora vamos ao último e mais interessante caso de racionalização. Vem comigo aqui!

 

3.3 Quando o denominador é do tipo a ± √b

Neste caso, o denominador de uma fração não será composto apenas por um radical, mas pela soma ou diferença de dois radicais de índice 2. Para eliminar uma expressão como essa de um denominador, basta se basear no conceito do produto notável conhecido como “o produto da soma pela diferença”:

Vejam que o resultado desse produto notável, é dado pela diferença entre os dois termos elevados ao quadrado. Isso é ótimo, porque outra maneira de eliminar um radical de índice dois é justamente o elevando ao quadrado, como mostra mais um exemplo algébrico:

Assim pessoal, vai ser bem simples encontrar o fator racionalizante de denominadores como esses. Observem que na fórmula do produto notável, existe um produto entre a soma de dois termos e a diferença desses mesmos dois termos. Portanto, o fator racionalizante da soma entre dois radicais, será a diferença entre esses mesmos radicais, e vice-versa, como mostra o quadro abaixo:

É claro que vocês querem um exemplo disto, certo? Então vamos lá!

 

5.

Observem que o denominador do exemplo é composto por uma diferença entre dois radicais. Isso nos mostra que o fator racionalizante dessa fração deve ser a soma desses mesmos radicais.

Fator racionalizante: √3 + √2

E olhem só que incrível: a fração racionalizada é mesmo equivalente a fração inicial.

Bom, antes de concluirmos o texto, é importante que vocês saibam que também podem existir frações em que o denominador seja composto pela soma ou diferença entre um radical e um número inteiro. Mas o mais legal de tudo isso é que também podemos utilizar o conceito do produto notável que acabamos de aprender em casos como esse, como mostra o próximo exemplo.

 

6.

Ora, vejam que desta vez temos uma soma entre dois termos no denominador desta fração. Isso nos mostra que o seu fator racionalizante será composto pela diferença entre esses mesmos termos.

Fator racionalizante: 4 √2

Entendido pessoal? Porque já está mais do que na hora de encerrarmos esse texto! Espero ter atingido nosso objetivo inicial, que era esclarecer todas as dúvidas de vocês, e com isso, tornar seus estudos muito mais proveitosos! Em anexo se encontra um vídeo, onde vocês poderão complementar todo o conhecimento visto por aqui. E caso tenham gostado do texto de hoje, não hesitem em deixar comentários!

Um abração e até mais!