RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

27/03/2018

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

Hoje vamos aprender tudo sobre as relações métricas no triângulo retângulo! Esse assunto, é muito importante dentro da geometria plana, pois é bastante cobrado em provas de vestibulares e do Enem o que o torna essencial para os seus estudos.

Caso vocês estejam estudando para o Enem e para o vestibular, vale a pena conferir o curso de matemática do Professor Ferretto. Acessem a plataforma e vejam os planos e benefícios que vocês podem ter em um curso de matemática que é completo.

Feito pessoal?! Então, vem comigo aqui!

Primeiramente vamos ver os elementos fundamentais que compõem o triângulo retângulo.

 

1. ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Observem que na figura abaixo temos um triângulo retângulo desenhado, pois um dos seus ângulos está medindo 90º. No triângulo retângulo também há um pontilhado na perpendicular, formando novamente um ângulo de 90°.

No triângulo retângulo é muito importante que a gente saiba quais são os seus elementos, ou seja, os seus lados, bem como mostra a figura abaixo. O lado representado pela letra a, é o maior lado do triângulo retângulo e ele é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados, representados pelas letras c e b, são os catetos do triângulo retângulo, isto porque eles formam o ângulo de 90º.

Já o pontilhado que vocês veem desenhado, nada mais é do que a altura do triângulo se considerarmos a hipotenusa como sendo a base do triângulo retângulo. Vamos representar a altura por h e, ainda, vamos chamar o segmento que está à esquerda da altura de m, e o segmento da direita de n. Assim, apresentamos os principais elementos do triângulo retângulo. Vamos lista-los:

É importante que vocês lembrem que a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo, e ela sempre estará oposta ao ângulo de 90º. Os lados que compõe o ângulo de 90°, ou seja, os lados que são perpendiculares entre si, são os catetos. Ao considerarmos a hipotenusa sendo a base do triângulo, o h é a altura relativa à hipotenusa. E, por fim, as letras m e n, são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Vou exemplificar para vocês entenderem melhor o que são as projeções. Por exemplo, o m, nada mais é do que a projeção do cateto c sobre a hipotenusa. É como se tivéssemos uma luz em cima do triângulo, essa luz vai gerar uma sombra daquele cateto c sobre a hipotenusa, e essa sombra nada mais é do que a projeção do cateto sobre ela. No n acontece a mesma coisa, ele nada mais é do que a sombra do cateto b sobre a hipotenusa.

É muito importante que vocês memorizem todos esses elementos pois iremos trabalhar muito com eles. Vamos falar agora acerca das semelhanças dentro do triângulo retângulo.

 

2. SEMELHANÇAS DENTRO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Vocês lembram da figura do triângulo retângulo que temos visto até então? Se vocês repararem bem nela, concluirão que podemos dividi-la em 3 triângulos, o triângulo maior, de lados a, b, e c, o triângulo da esquerda, de lados c, m, e h, e o triângulo da direita, de lados b, h, e n. Eu vou desenhar cada um deles separadamente, começando pelo triângulo maior. O triângulo maior possui como hipotenusa o lado a, e como catetos os lados b e c, como vimos anteriormente.

Agora eu vou representar o triângulo da esquerda, que tem o lado c como sendo a hipotenusa e os lados m e h como sendo os catetos.

E, por último, o triângulo da direita, que possui como hipotenusa o lado b, e como catetos os lados n e h.

Agora reparem nessa observação bem importante:

Lembrando pessoal, dois ângulos são complementares, quando a soma deles resultar em um ângulo reto, ou seja, em um ângulo de 90º. Por exemplo, no triângulo maior, sabemos que um ângulo mede 90º e, como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve resultar em 180º, os dois ângulos restantes medem juntos 90º, ou seja, são ângulos complementares.

Analisando a figura abaixo, podemos observar que os dois ângulos complementares do triângulo maior, que aparece bem em cima na imagem, foram representados um com apenas uma linha, e outro com duas linhas. Aí se levarmos esses ângulos para o desenho do triângulo como um todo, veremos que esses ângulos se repetem nos demais triângulos desenhados. Basta então que representemos esses mesmos ângulos com as linhas nos demais triângulos. Vejam como fazer isso:

Pessoal, é muito importante que vocês entendam que nós fizemos isso com um propósito. Como nós separamos o triângulo maior em 3 triângulos menores, nós conseguimos identificar que os 3 ângulos do triângulo maior também estão nos triângulos menores. Nós temos o ângulo de 90° nos 3 triângulos, o ângulo linha nos 3 triângulos e o ângulo duas linhas nos 3 triângulos.

Isso significa que esses 3 triângulos são semelhantes e, assim, nós podemos fazer critérios de semelhança e identificar algumas relações métricas que são fundamentais nos seus estudos.

3. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Com base nos triângulos semelhantes representados na imagem acima, podemos encontrar algumas relações métricas, ao igualarmos as razões entre os lados semelhantes de cada triângulo. Vamos ver primeiro as semelhanças entre o 1º e o 2º triângulo. Por exemplo, ao pegarmos o lado a do 1º triângulo, ou seja, a hipotenusa, verificamos que ele está para o lado c do 2º triângulo, que é a hipotenusa também, e por isso estes dois lados são homólogos. E se pegarmos o cateto b, do 1º triângulo, veja que no 2º triângulo ele está para o cateto h, já que ambos se encontram entre o ângulo reto e o ângulo 2 linhas. Como chegamos em uma igualdade de frações, podemos multiplicar cruzado e teremos a primeira relação métrica dos triângulos retângulos:

Podemos encontrar mais três relações métricas fazendo comparações semelhantes entre o 2º triângulo e o 3º triângulo, novamente entre o 1º e o 2º, e por fim também entre o 1º e o 3º triângulo, todas apresentadas nas equações abaixo:

E assim, identificamos as 4 relações métricas existentes nos triângulos retângulos. Você pode chegar nelas a partir da semelhança de triângulos, como fizemos agora, ou então, memorizando todas elas. Vamos ver como memorizar facilmente cada uma das relações:

1ª) Em qualquer triângulo retângulo, a sua hipotenusa, multiplicada pela sua altura é exatamente igual ao produto dos catetos.

2ª) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções.

3ª e 4ª) O quadrado do cateto é igual a sua projeção vezes a hipotenusa.

Ficou fácil agora não é ?! É muito importante conhecermos bem essas quatro relações métricas e também o Teorema de Pitágoras, que é o nosso próximo assunto.

 

4. TEOREMA DE PITÁGORAS

Agora vamos ver o teorema mais famoso do mundo que é o teorema de Pitágoras. Olha só o que diz ele diz: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Logo:

Existem mais de 400 demonstrações para o teorema de Pitágoras. Mas nós vamos fazer uma demonstração bem rapidinha, utilizando as relações métricas que acabamos de aprender. Nós vimos que o cateto elevado ao quadrado é igual a sua projeção vezes a hipotenusa, isso para os dois catetos. Se nós somarmos essas duas equações termo a termo, teremos como resultado:

Observem que do lado direito da equação, nós temos o a como fator comum. Então, nós podemos colocá-lo em evidência, multiplicando o m e o n. Logo:

b² + c² = a · (n + m)

Notem que que (n + m) é a soma das duas projeções, e a soma das duas projeções nada mais é do que a hipotenusa inteira, ou seja, é o a. Assim, vamos substituir (n + m) por a:

a · a = b² + c²

E, com isso, chegamos facilmente ao teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

Sabendo o teorema de Pitágoras, conseguimos resolver a maioria das questões que envolvem triângulos retângulos. Assim, vamos fazer agora, um exercício sobre triângulo retângulo e vamos utilizar tudo o que nós aprendemos no conteúdo de hoje. Vamos lá!

1. Calcule o valor de x, y e z no triângulo abaixo:

Vamos começar calculando a altura y, pois vimos anteriormente que a altura ao quadrado é o resultado da multiplicação das projeções, e, neste caso, temos o valor das duas projeções.

Agora, vamos dar atenção ao triângulo da esquerda. Nós temos o valor de y, e vamos tentar encontrar o valor de x, que nada mais é do que a hipotenusa desse triângulo, ou seja:

Vejam que ainda precisamos encontrar o valor de z. Para isso, podemos utilizar uma relação métrica que diz que o cateto ao quadrado é igual a sua projeção vezes a hipotenusa:

Beleza pessoal!? Encontramos os três valores a partir das relações aprendidas no texto de hoje.

E assim finalizamos mais um texto, e eu espero que tenha sido muito proveitoso e muito colaborativo para os seus estudos. Deixo em anexo o vídeo sobre o conteúdo, com mais explicações e alguns exercícios para vocês aprenderem direitinho sobre as semelhanças existentes nos triângulos retângulos.

Abraço, muito sucesso e até mais!