RETÂNGULO

22/06/2018

Olá pessoal! Tudo certo?

É só olhar a nossa volta para percebermos quantos retângulos estão espalhados pelo mundo: quadros, tapetes, terrenos, portas, monitores, e tantas outras coisas possuem o formato desse quadrilátero. Por isso, nós vamos estuda-lo hoje! Vamos conhecer as propriedades do retângulo, e como calcular a área e a diagonal dessa figura tão importante dentro do estudo da geometria plana, muito cobrada nos vestibulares, e é claro, na prova do ENEM!

E vocês, estão dominando a geometria plana? E a geometria espacial? A plataforma do Professor Ferretto dispõe do conteúdo completo desses dois assuntos, assim como de toda a matemática do ensino médio! São videoaulas que tratam da matemática mais simples até mais complexa, sem falar nas centenas de exercícios do ENEM e de vestibulares disponíveis e com resolução em vídeo, para que vocês foquem na interpretação das questões. Conheçam a plataforma no site, e saibam tudo sobre o curso!

E agora, chegou a hora de apresentar a vocês a nossa figura ilustre: o retângulo!

Todo retângulo é considerado um paralelogramo, embora não possamos dizer que todo paralelogramo é um retângulo. Por esse motivo, o retângulo compartilha das propriedades dos paralelogramos em geral, mas existem algumas características que pertencem exclusivamente a ele. Vamos estudar tudo isso agora!

 

1. PROPRIEDADES DO RETÂNGULO

P1) Em todo paralelogramo, os dois lados opostos são sempre paralelos e congruentes.

Essa propriedade nos mostra que os dois lados opostos de um retângulo são sempre paralelos e de mesma medida. Aliás, aí vai uma dica: todo quadrilátero que possui os dois lados opostos paralelos é um paralelogramo! É daí que vem o nome!

 

P2) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos seus pontos médios.

As diagonais dos retângulos, e de qualquer paralelogramo, se cortam exatamente em seus respectivos pontos médios. Mas as diagonais do retângulo, exclusivamente, possuem uma segunda característica bem importante:

As diagonais do retângulo são congruentes.

Isso significa que as duas diagonais do retângulo possuem o mesmo comprimento.

 

P3) Em todo paralelogramo, os dois ângulos opostos são sempre congruentes.

Como diz a propriedade, os dois ângulos opostos de qualquer paralelogramo são sempre iguais, ou de mesmo valor. É claro que isso também acontece no retângulo, mas reparem em um segundo detalhe muito relevante dessa figura geométrica:

Todos os quatro ângulos do retângulo são retos.

Ou seja, os quatro ângulos internos do retângulo são iguais, e medem 90º.

 

P4) Em todo paralelogramo, dois ângulos consecutivos são sempre suplementares.

Dois ângulos são suplementares se a soma de seus valores resultar em 180º. Assim, simplesmente não haveria como o retângulo não satisfazer essa propriedade, afinal todos os seus ângulos são iguais e valem 90º, de forma que se escolhermos quaisquer dois ângulos consecutivos e efetuarmos a soma de seus valores, claramente, chegaremos a 180º.

90º + 90º = 180º

Tranquilo, não é pessoal? Agora, vamos estudar os dois conceitos mais cobrados nas provas quando o assunto é o retângulo. Vem comigo aqui!

 

2. ÁREA DO RETÂNGULO

Para calcular a medida da superfície de um retângulo, basta utilizarmos a conhecida fórmula:

Isso porque, como já afirmamos uma série de vezes, o retângulo é um paralelogramo, e a área de qualquer paralelogramo pode ser encontrada através do produto da medida de sua base pela medida de sua altura. O curioso é que no retângulo, pode-se dizer que a medida de um de seus lados é o valor da base, e que a medida do lado consecutivo a este é o valor da altura, o que não acontece em todo paralelogramo. Por isso, costuma-se dizer que a área do retângulo é o produto da medida de seus lados.

 

 3. DIAGONAL DO RETÂNGULO

Ao traçamos a diagonal d de um retângulo, o mesmo acaba se dividindo em dois triângulos retângulos iguais. E quando falamos em triângulo retângulo, logo nos vem à mente o famoso teorema de Pitágoras! Vamos encontrar a fórmula da diagonal do retângulo através dele:

Reparem que a medida da hipotenusa do triângulo é exatamente igual a medida da diagonal do retângulo. Da mesma forma, as medidas dos catetos do triângulo são equivalentes as medidas da base e da altura do retângulo. Assim, chegamos a seguinte a fórmula:

Entendido? Então já podemos aplicar todo esse conhecimento! Acompanhem o exercício com atenção.

 

O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é ⅗ do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também ⅗ do seu comprimento. Qual é a razão entre a área do jardim e a área do terreno?

Começaremos esclarecendo direitinho cada informação que o enunciado nos dá. Vejam que se fala primeiramente em comprimento e largura do retângulo ABCD. Para utilizar os conceitos que estamos aprendendo hoje, vamos adotar que o comprimento desse retângulo será a medida de sua base, e que a largura será a medida de sua altura.

Comprimento → b

Largura → h

A largura do terreno que esse retângulo representa, mede ⅗ do comprimento desse mesmo retângulo. Essa informação nos permite montar a seguinte equação:

Na prática, isso significa que a medida da altura do retângulo é um pouquinho menor que a medida de sua base, mais precisamente, a medida da altura é 60% da medida da base, já que 3/5 = 0,6. Agora, vamos a parte hachurada. Se vocês olharem a figura abaixo, perceberão que o comprimento, ou a base b1 do retângulo hachurado, tem exatamente a mesma medida que a altura h do retângulo total, o ABCD.

Ainda, segundo o enunciado, a medida da largura da parte hachurada também é ⅗ do seu comprimento. Novamente, podemos montar uma equação que expressa essa relação:

Temos até então, duas equações importantes que relacionam as medidas das alturas de ambos os retângulos com as medidas das suas respectivas bases. Mas o exercício nos pede, na verdade, a razão entre a área do jardim, ou a área hachurada, e a área do terreno, ou a área do retângulo ABCD. Vamos nomear cada um desses termos para seguirmos nosso raciocínio.

Área do jardim → Área hachurada → Aj

Área do terreno → Área de ABCD → At

Uma razão nada mais é do que uma divisão entre dois valores. Então, o que estamos buscando aqui, é o resultado da divisão entre o valor de Aj e de At.

Nós não temos esses valores ainda, mas sabemos que tanto o jardim quanto o terreno são retângulos. Assim,  para os dois casos, basta realizarmos o produto da medida de seus lados:

Se nós voltarmos os olhos para as equações 1 e 2 que montamos mais acima, nós encontraremos as medidas da altura do terreno e da altura do jardim, em função das medidas da base desses dois retângulos. Vamos substituir esses valores nas fórmulas das áreas que acabamos de montar:

Certo, temos o valor de cada uma das áreas das figuras em questão. Contudo, eles ainda se encontram em função da medida das bases dos retângulos. Mas nós não exploramos ainda um detalhe muito interessante: a base b1 do retângulo hachurado tem exatamente a mesma medida que a altura h do retângulo total, o ABCD.

Assim, nós podemos afirmar que:

Pronto, resolvemos o nosso problema com as incógnitas! Se nós substituirmos agora, o valor de b1 na fórmula da área do jardim, teremos o valor das duas áreas apenas em função de b, a base do retângulo ABCD.

Estamos prontos para calcular a razão que o exercício nos pede. Acompanhem o desenvolvimento:

Entenderam tudo direitinho? Como vocês puderam observar, é muito importante em exercícios de geometria, que a gente desenhe a situação proposta no problema. Desta maneira, fica muito mais fácil de compreender os detalhes que o enunciado nos informa, e aí basta aplicar algumas fórmulas para chegarmos a solução desejada!

E assim, finalizamos mais um texto! Espero que vocês tenham gostado do assunto e que o estudo do retângulo possa lhes ajudar a desenvolver ainda mais o raciocínio matemático! Em anexo, deixo um vídeo que contém outros exercícios resolvidos. Não deixem de dar uma olhada nele, afinal, tudo que é apresentado lá complementa as informações do texto!

Um abração e ótimos estudos!