TEOREMA DE TALES

03/01/2018

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

No texto de hoje vamos falar sobre um assunto da geometria plana, vamos aprender tudo sobre o teorema de tales. O teorema de tales é muito importante no estudo da geometria plana, pois ele pode ajudar na resolução de questões do Enem e de vestibulares.

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Certo pessoal? Então, vem comigo aqui!

1. DEFINIÇÃO

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes de outra.

Vou desenhar e explicar para vocês entenderem melhor essa ideia do teorema de tales. Primeiro vou desenhar um feixe de reta paralelas, que não precisam estar igualmente espaçadas. Neste caso são apenas 4 retas paralelas, que eu vou chamar de retas r, s, t e u.

Em seguida, vou desenhar duas retas transversais nesse feixe de retas paralelas. Reparem o seguinte, alguns segmentos são determinados em cada uma dessas transversais, eu vou chamar os três segmento da transversal da esquerda de x, y e z, enquanto que na transversal da direito eu vou chamar esses segmentos de a, b e c, como mostra a figura abaixo.

Na definição vimos que a razão entre dois segmentos quaisquer é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes, ou seja, podemos pegar os segmentos x e y, e seus segmentos correspondentes, que são a e b, respectivamente. Assim a razão entre eles será:

Pessoal, também existe outra possibilidade de construir essa proporcionalidade. Para isso, basta você fazer o x está para o a, assim como y está para b. Certamente você encontrará a mesma resposta.

Ainda, podemos somar os segmentos de uma reta transversal, junto com a soma dos segmentos da outra transversal. Então, inúmeras possibilidades e combinações podem ser feitas, basta que a gente respeite o teorema de tales. E lembrando que as retas r, s, t e u devem ser retas paralelas.

Beleza pessoal? Agora vamos fazer alguns exercícios para que vocês entendam bem essa parte teórica, para vocês fazerem a fixação desse conteúdo do teorema de tales.

1) Determine o valor de x em cada caso abaixo, sendo r, s e t retas paralelas.

Aplicando o teorema de tales nesse exercício, nós podemos dizer que o x está para o 6, assim como o 4 está para 8, ou seja, o correspondente de x é o 4 e correspondente de 6 é o 8.

Então, nós temos uma igualdade de frações, podemos multiplicar cruzado:

Pessoal, uma outra análise que nós sempre poderemos fazer no teorema de tales é a seguinte: na transversal da direita, nós temos aquele segmento que vale 8 e logo acima nós temos uma segmento que mede 4, ou seja, o segmento que mede 8 é dobro do que mede 4.

Desta forma, se nós temos essa proporção nessa transversal, você pode ter certeza que na outra transversal essa proporção também será respeitada. Assim, o correspondente do 8 é o 6, então certamente o 6 mede o dobro do comprimento x e, com isso, podemos concluir que x é igual a 3.

Agora vamos fazer o exercício b, para ajudar ainda mais a entender esse assunto. Vejam só, novamente temos um feixe de retas paralelas r, s e t, mas agora temos duas transversais se cruzando neste exercício.

A dica que eu dou pra vocês é pra vocês passarem mais uma reta paralela, e essa reta passando pelo ponto de cruzamento das retas transversais. Logo em seguida, vou representar as 4 paralelas e afastar as duas transversais, para que vocês entendam melhor. Vejam o desenho abaixo.

Agora é só aplicar o teorema de tales como vimos antes:

Determinado o valor de x, vamos buscar o comprimento de y. Para isto vamos comparar dois segmentos:

Poderíamos ter usado 5 está para x, sem problema algum. Neste caso, teríamos que substituir o x, pelo valor encontrado.

Pessoal, quando acontecer o cruzamento entre as retas transversais é importante que você faça a razão dos segmentos que estão em uma transversal e iguale a razão dos segmentos correspondentes que estão na outra transversal.

Vamos para o próximo exercício que também envolve o teorema de tales.

2) Na figura, MN ‖ BC. Calcule o valor de AB.

Então, a questão está dizendo que o segmento MN é paralelo à BC e ainda pede o comprimento total de A até B. Para que vocês entendam melhor, irei fazer um feixe de retas paralelas sobre o triângulo, assim ficaremos com um feixe de retas e com duas retas transversais. Vejam só:

Para determinar o comprimento total de AB, precisamos encontrar o valor de x. Para isto, vamos aplicar o teorema de tales sobre os segmentos dados.

Nós também poderíamos pensar de outra forma aqui, por exemplo, vejam que o segmento de uma transversal mede 6, e o outro mede 3. Então, um é o dobro do outro. Essa proporcionalidade também ocorre do outro lado, ou seja, um segmento é o dobro do outro, ou seja:

Deu certinho! Mas agora prestem atenção pessoal, a questão pede o comprimento AB, como já descobrimos o valor do x, fica fácil.

Dessa forma:

AB = x + 6 + x = 6 + 6 + 6 = 18 cm

O próximo exercício é um pouco diferente, vamos resolver ele e descobrir outras formas de resolução.

 

3) Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60 cm.

Vamos começar desenhando um feixe de 4 retas paralelas e as transversais sobre elas. Uma das transversais determina os segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm, e a outra vamos nomear estes segmentos como sendo x, y e z.

Vejam que nós temos a informação de que entre a primeira e a quarta paralela o comprimento total é de 60 cm, como mostra a figura abaixo.

Como nós temos o comprimento total dos segmentos de uma das transversais, podemos somar os valores dos segmentos da outra transversal para termos uma razão entre eles. Assim, o comprimento total da outra transversal vale = 5 + 6 + 9 = 20.

Desta forma nós temos a relação entre as razões:

Notem que nós temos a fração 60/20 que vale exatamente 3. Como nós temos uma igualdade de frações, cada uma delas vale 3, ou seja, podemos pegar cada fração com incógnita e igualar a 3. Desta forma, iremos obter os seguintes resultados:

Com a fração 60/20 podemos perceber que o número que está no numerador é o triplo do denominador, isto quer dizer, que para cada incógnita da transversal elas medem o triplo dos segmentos da outra transversal.

Com isso, finalizamos mais um texto e eu espero que tenha sido muito proveitoso para vocês. O teorema de tales é um conteúdo fácil, por isso, refaça os exercícios de formas diferentes e estude direitinho para não errar no Enem ou no vestibular.

E se você quiser acompanhar o texto em vídeo é só clicar no vídeo postado aqui embaixo.

 

Bons estudos, sucesso e até mais!