TERMO GERAL, CLASSIFICAÇÃO E PROPRIEDADES DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

13/11/2017

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

Hoje vamos falar um pouco sobre o termo geral de uma Progressão Aritmética. Então, você que vai fazer o Enem ou o vestibular, foca no texto aqui, que esse assunto é muito importante e muito cobrado também nessas provas. E se você quer aprender tudo sobre as progressões aritméticas, assine a plataforma Professor Ferretto. Lá você encontrará um material didático mais abrangente sobre o assunto, com videoaulas e exercícios para o Enem e para o vestibular. 

Nesse texto vou mostrar para vocês o que é uma Progressão Aritmética (PA) de forma simples, e também, as propriedades e fórmulas que vocês precisam saber. Preparados? Então, vem comigo aqui!

Pensem em uma indústria que começou suas atividades com 20 funcionários no início do ano, passou para 25 funcionários no segundo mês, e para 30 no terceiro mês e assim sucessivamente, até chegar a 50 funcionários. Neste caso, o aumento de funcionários na indústria pode ser representado pela sequência:

(20, 25, 30,…,50)

Notem que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido da soma do anterior a um número fixo. Sequências deste tipo são chamadas de progressão aritmética, ou simplesmente PA.

Tudo bem pessoal?! Vamos ver o que é uma PA e porque representamos ela assim.

 

1. DEFINIÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Usamos parênteses para indicar que os números (chamados termos) estão seguindo uma ordem. Por exemplo, o 1º termo da sequência é 20, o 2º termo é 25 e, assim por diante, o último termo é 50. Essa sequência é chamada de progressão aritmética, porque adicionando a cada um de seus termos a mesma constante, obtemos o termo seguinte. Nesse caso adicionamos 5 a cada termo.

Uma PA nada mais é do que uma sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão aritmética e ela pode ser representada pela letra “r”.

 

2. CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Ainda, é importante que vocês saibam que a partir da razão de uma PA, nós podemos classificar as progressões aritméticas em crescente, decrescente ou constante.

Pessoal, olhem só, uma PA é crescente quando cada termo seguinte é maior que o anterior, e para isso, precisamos ter uma razão positiva. Agora, quando temos uma PA decrescente, cada termo seguinte é menor que o anterior, para isso a nossa razão deve ser negativa. E, por último, quando temos uma PA constante, é porque todos os seus termos são iguais, ou seja, a nossa razão deverá ser nula ou igual a zero. Vou fazer um exemplo para que vocês entendam melhor:

1. (6, 10, 14, 18, …) esta é uma PA crescente, sua razão é positiva: r = 4
2. (13, 8, 3, -2, -7, …) esta é uma PA decrescente, com razão negativa: r = -5
3. (3, 3, 3, 3, …) esta é uma PA constante, pois r = 0.

Agora, vamos ver uma das partes mais importantes sobre o assunto, que é o termo geral de uma PA. Então, vamos a ela!

 

3. TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Então, como vimos na definição de uma PA, podemos obter o termo seguinte sempre somando uma constante a cada termo. Por exemplo, imaginem uma PA (a1, a2, a3, a4…an), que tem razão “r”. Se quisermos descobrir o 2º termo dessa PA, basta somarmos a razão ao 1º termo (a2 = a1 + r), se quisermos descobrir o 3º termo, basta somar 2r ao 1º termo (a3= a1 + 2r), agora, se quisermos descobrir o 22º termo, basta somar 21r ao 1º termo (a22 = a1 + 21r), e assim por diante. Fácil né?!

A partir desta continha podemos obter o termo de ordem n, que é o termo geral de uma PA:

an = a1 + (n – 1).r

Agora que vocês já sabem o conceito de PA e como encontrar cada termo dela, vou resolver o exemplo anterior para que vocês entendam melhor o assunto.

Vimos o exemplo da indústria que a cada mês contratava novos funcionários, começando com 20 no primeiro mês, 25 no segundo mês, 30 no terceiro mês e assim sucessivamente, até chegar a 50 funcionários. Vamos escrever a sequência dessa PA:

(20, 25, 30,…,50)

A primeira coisa que podemos fazer aqui, é descobrir a razão dessa PA. Podemos fazer isso diminuindo o 2º termo do 1º termo:

a2 – a1 = 25 – 20 = 5

Logo, essa é uma PA de razão igual à 5. Agora pessoal, imaginem que o presidente da empresa quer saber quantos funcionários a indústria tinha no 5° mês de trabalho. Para descobrirmos isso, precisamos encontrar o a5, nosso 5º termo, como acabamos de ver:

an = a1 + (n – 1).r

a5 = 20 + (5 – 1).5

        a5 = 20 + 4.5        

 a5 = 40

Ou então, podemos fazer de uma maneira ainda mais simples, como visto anteriormente:

a5 = a1 + 4r

a5 = 20 + 4.5

a5 = 40

A empresa tinha 40 funcionários no 5º mês de trabalho. E quantos meses será que a indústria precisou para chegar aos 50 funcionários? Nesse caso, queremos saber o “n”, ou seja, o número de termos desta sequência que também representa a quantia de meses que a empresa levou para chegar a 50 funcionários. Vamos calcular:

                                                                       
Percebam que no 7º mês de trabalho a empresa atingiu os 50 funcionários contratados. Com isso, podemos concluir também que esta é uma PA de 7 termos, pois o nosso último termo (an) é igual ao nosso 7º termo (a7).

 

4. PROPRIEDADES DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

As progressões aritméticas também possuem propriedades que auxiliam na resolução de problemas. Vamos ver quais são estas propriedades:

1º propriedade – Em toda PA finita a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Vou fazer um esqueminha para vocês compreenderem melhor esta propriedade.

                                                                              

Neste caso, a soma dos extremos é 26, e a soma de dois termos equidistantes aos extremos também é 26.

2º propriedade – Uma sequência de três termos é PA se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre os outros dois, então podemos dizer que:

                                                                                                         

Pessoal, esta última propriedade traz uma consequência junto com ela. Vou explicar melhor para vocês entenderem bem certinho: quando temos uma PA com número ímpar de termos, o termo médio dessa PA será a média aritmética entre os extremos, ou seja, se somarmos o 1º com o último termo e dividirmos por dois, o resultado será exatamente o termo central dessa PA.

Vou usar o exemplo anterior, da indústria que a cada mês contratava novos funcionários, para mostrar a vocês como seria aplicada esta propriedade. Vamos escrever todos os 7 termos dela:

(20, 25, 30, 35, 40, 45, 50)

Fazendo a média aritmética dos extremos, devemos encontrar o termo médio dessa sequência, que é nosso a4.

                                                                                      

Certinho pessoal! Então, fazendo a média aritmética dos extremos encontramos exatamente o termo central.

Chegamos ao final de mais um texto e eu espero que tenha sido muito importante para o aprendizado de vocês.  Deixo agora, algumas questões de vestibulares e do Enem para que vocês apliquem os conhecimentos obtidos com e já façam isso estudando para o Enem e para o vestibular. Bom estudos e até mais!

 

1) (UERJ) Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
a) −50
b) −40
c) −30
d) −20

 

2) (ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a) 38 000
b) 40 500
c) 41 000  
d) 42 000
e) 48 000

 

3) (UPE-SSA) As medidas dos lados AB, BC e CA de um triângulo ABC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.

Qual é a medida do perímetro desse triângulo?
a) 5
b) 6
c) 7             
d) 8             
e) 9