TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

24/04/2018

Olá pessoal! Tudo bem?

No texto de hoje, nós aprenderemos a utilizar uma fórmula que nos permite resolver todo e qualquer problema que envolva a progressão geométrica: a fórmula do termo geral de uma PG. Ela é tão simples, que uma vez que se possua os valores de um dos termos da sequência numérica, e da razão da PG, é possível encontrar qualquer outro termo que se desejar! Vocês verão ao longo do texto, o quanto essa fórmula pode lhes ajudar a garantir aquele acerto nas provas do ENEM e dos vestibulares!

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Certo pessoal?! Para compreendermos uma fórmula direitinho, temos que saber de onde ela veio, não é? Por isso, afim de encontrarmos a expressão que nos permite obter um termo qualquer de uma PG, conhecendo apenas o 1º termo da sequência, a1, e a razão q, nós faremos algumas análises a partir da definição da progressão geométrica. Vem comigo aqui!

Seja (a1, a2, a3, …, an) uma PG de razão q, temos que:

Claro, conhecendo a definição de uma progressão geométrica, que nós estudamos no texto Definição e classificação de uma PG, nós sabemos que qualquer termo de uma PG, a partir do segundo (a2), pode ser obtido pelo produto do seu termo antecessor pela razão q da progressão. Isso é o que retrata a fórmula acima. O mesmo aconteceria se nós quiséssemos descobrir quanto vale o termo a3, em relação ao seu termo antecessor que é a2.

Até aí nada de novo certo? Mas e se eu pedisse a vocês que encontrassem o terceiro termo dessa PG, o a3, conhecendo apenas o valor de a1?

Uma das formas em que poderíamos fazer isso, é substituindo o valor de a2, dado na nossa equação 1, na nossa equação 2, olhem só:

Mas existe uma maneira mais fácil de chegarmos na equação 3. Observem a figura abaixo:

Reparem que para encontramos o valor de a2 em relação a a1, nós demos um único salto na sequência, e por isso o expoente da razão q, na equação 1, é 1. Já quando buscamos o valor de a3 em relação a a1, nós demos dois saltos na sequência, e por isso o expoente da razão q, na equação 3, é 2. Se buscássemos o valor de a4, por exemplo, daríamos 3 saltos na sequência em relação a a1, e então o expoente da razão seria 3, exatamente como mostra a imagem abaixo:

Agora pessoal, vejam que se continuarmos buscando os demais termos da sequência, tais como a5, a6, a7, …, an, todos a partir do valor do termo a1, o a1 sempre aparecerá na fórmula. Mas prestem atenção na diferença entre os índices dos termos, e os expoentes da razão q. Quando nós buscávamos descobrir o termo a2, o expoente da razão era 1. Quando nós buscávamos descobrir o termo a3, o expoente da razão era 2. E quando nós buscávamos descobrir o termo a4, o expoente da razão era 3. Perceberam que os expoentes da razão são sempre uma unidade menor que os valores dos índices dos termos? Por isso, se desejarmos calcular o valor de um termo an qualquer da PG, qual será o expoente da razão q? O valor do índice do termo, n, menos uma unidade, ou seja, n-1.  É assim que nós chegamos a fórmula do termo geral da progressão geométrica!

 

1. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PG

Vejam na imagem acima, que o termo geral ou enésimo termo de uma PG, representado por an, é igual ao produto do 1º termo da sequência, o a1, pela razão q da PG elevada ao expoente n-1, onde o n representa a quantidade de termos da progressão.

É essencial lembrarmos aqui, que essa é a forma de encontrarmos qualquer termo de uma PG quando conhecemos o primeiro termo da sequência, a1, e a sua razão q. Nos casos em que não possuímos o valor de a1, nós devemos utilizar outra fórmula, e por isso a importância de vocês prestarem bastante atenção nas observações que veremos a seguir.

 

2. OBSERVAÇÕES

     1. Seja a PG (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, …), pode se dizer, por exemplo, que:

Certo, mas como foi possível chegarmos a essas conclusões? A resposta, está novamente nos saltos que a razão dá na sequência, entre um termo e outro, como mostra a figura abaixo.

Vejam que se sairmos do termo a4, para irmos até o termo a7, damos 3 saltos na sequência, e por isso, o expoente da razão q, no primeiro caso, é 3. O mesmo acontece na segunda equação. Se sairmos do termo a3, para irmos até o termo a9, precisamos dar 6 saltos na sequência. Isso explica o fato de o expoente da razão q, nesse caso, ser 6.

Aí fica a pergunta: toda a vez que precisarmos definir o expoente da razão entre dois termos de uma sequência, nós vamos desenhar toda a sequência para observar os saltos entre um elemento e outro?

De forma alguma! Nós podemos descobrir esse valor de uma maneira bem mais simples: reparem que o expoente 3 da primeira equação, é simplesmente a diferença entre o índice 7 e o índice 4 (7 – 4 = 3). A mesma coisa acontece na segunda equação: o expoente 6 é o resultado da diferença entre o índice 9 e o índice 3 (9 – 3 = 6). Fácil né? Mas para que serve tudo isso?

Existem diversas questões que envolvem o assunto PG, mas pode ser que em algumas delas, não nos seja fornecido no enunciado o valor do primeiro termo da sequência, o a1, e sim apenas o valor de qualquer outro termo juntamente com a razão q. Assim, nós fizemos essa análise para chegar na extensão da definição do termo geral de uma PG cuja fórmula é a seguinte:

Portanto, quando desejarmos encontrar um termo an qualquer de uma progressão geométrica, mas não tivermos a disposição o valor do termo a1, e sim o valor de qualquer outro termo de índice k juntamente com a razão da PG, nós utilizaremos essa fórmula! Na verdade, é muito mais comum utilizarmos essa extensão da definição do que a própria definição do termo geral de uma PG em si. Por isso, vamos fazer um exemplo para vocês verem como é fácil utilizá-la.

Determine o 8º termo de uma PG na qual a4 = 12 e q = 2.

Bom, o 8º termo de uma PG é o a8, certo? Então podemos dizer, baseando-se na fórmula acima que:

Mas qual será o expoente da nossa razão q? Ora, a diferença entre os índices 8 e 4 é 4 (8 – 4 = 4), então podemos completar a nossa fórmula com o expoente 4, e substituir os valores que nos foram entregues no enunciado:

Tranquilo, até aqui? Vamos as nossas duas últimas observações!

     2. Numa PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

Então, se vocês olharem atentamente a figura acima, nós temos um exemplo de uma PG finita, ou seja, uma PG que tem um número de termos definidos, no caso, apenas 6 termos. O primeiro e o último termo da sequência, 2 e 64 respectivamente, são chamados de extremos, sendo assim, se calcularmos o produto deles (2 ∙ 64), o resultado será 128. Mas o que significa que dois termos sejam equidistantes dos extremos?

O fato é que “equi” remete a igual, ou seja, estamos falando de dois termos que possuem igual distância, ou a mesma distância dos termos extremos. Aí voltamos a figura e observamos que tanto o termo 4 quanto o termo 32 estão a apenas uma razão dos termos extremos. Depois olhamos também os termos 8 e 16 e reparamos que ambos estão a duas razões dos termos extremos. Assim, tanto 4 e 32, quanto 8 e 16 são equidistantes dos extremos, e por isso os seus produtos também resultam em 128.

     3. Em uma PG, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média geométrica dos seus vizinhos.

Para entendermos direitinho do que trata a nossa última observação, vamos relembrar rapidamente como definir a média geométrica. Se nós tivermos um conjunto de n termos dados por a1, a2, a3, …, an, a média geométrica desses termos é dada por:

Reparem que o índice da raiz da fórmula é exatamente igual ao número de termos com os quais estamos extraindo a média geométrica. Vamos então utilizar a PG descrita em seguida para demonstrar como funciona essa ideia.

Nós vamos escolher agora três termos consecutivos para fazer a nossa análise: 3, 9 e 27, mas claro, poderiam ser quaisquer outros termos. Observem que o termo central entre os três é o 9. Como sabemos que o termo central é igual a própria média geométrica entre os seus vizinhos, nesse caso 3 e 27, deveremos extrair a média geométrica entre 3 e 27. Bom, se estamos extraindo uma média geométrica entre 2 termos, a raiz da nossa fórmula terá índice 2. Portanto, podemos dizer que:

Incrível, não é? Agora resta-nos comprovar essa observação partindo de um outro ponto de vista. Se lembrarmos novamente da definição de progressão geométrica, nós podemos dizer que um termo qualquer de uma sequência, dividido por seu antecessor é sempre igual a razão da PG. Sabemos ainda, que a razão q de uma PG é igual para a sequência inteira, por isso podemos definir a seguinte igualdade:

Realizando uma multiplicação cruzada, temos que:

O expoente do termo 9, no lado esquerdo da equação, pode passar para o lado direito da igualdade ao extrairmos uma raiz quadrada:

Vejam que utilizando dois conceitos diferentes nós obtemos o mesmo raciocínio! A matemática sempre nos prega algumas peças …

Assim, chegamos ao final de mais um texto, repleto de conceitos importantes! Espero ter tornado o assunto mais simples, e que a leitura tenha sido proveitosa. Em anexo, encontra-se mais um vídeo! Deem uma olhada nele para revisar tudo o que abordamos hoje.

Um abração, bons estudos e até mais!