TIPOS DE FRAÇÕES, SIMPLIFICAÇÃO E REDUÇÃO DE FRAÇÕES A UM MESMO DENOMINADOR

15/01/2018

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

Vamos a mais um texto sobre matemática básica, o assunto de hoje é frações. Este é um assunto básico para o conhecimento da matemática. E entender direitinho o assunto, pode ajudar você a resolver diversas outras questões de matemática que possam cair no Enem ou no vestibular.

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Vem comigo aqui!

 

1. NOTAÇÃO DE UMA FRAÇÃO

A notação de uma fração é sempre um número dividido por outro número. O número de cima é denominado de numerador, e o número debaixo de denominador. Bom, o numerador indica quantas partes do todo foram tomadas. Enquanto que o denominador indica o total de partes iguais que o inteiro fora dividido.

Vou explicar de outra forma para vocês entenderem melhor. Por exemplo, vejam a circunferência abaixo:

Notem que ela está dividida ao meio e com apenas uma das metades pintadas. Isto é uma fração que indica exatamente ½, pois apenas 1 parte do todo foi tomada e o inteiro foi dividido em 2 partes iguais, ou seja, eu peguei uma de um total de 2 partes. Simples né?!

 

2. TIPOS DE FRAÇÕES

1° Frações próprias: são as frações em que o numerador é menor que o denominador, ou seja, representa um número menor que um inteiro.

Por exemplo, vamos pegar o quadrado abaixo e dividirmos ele em 4 partes iguais:

Notem que nós estamos selecionando apenas 1 destas 4 partes. Então, essa fração representa 1/4 do quadrado. Vejam que o numerador é menor que o denominador, e isto representa uma fração própria.

2° Fração imprópria: a ideia desta é o contrário da fração própria, ou seja, é quando o numerador é maior que o denominador. Esta fração representa um número maior que um inteiro.

Uma maneira de representar uma fração imprópria é pegarmos 2 quadrados, ou seja, 2 inteiros e dividirmos eles em 4 partes iguais. No quadrado da esquerda vamos selecionar as 4 partes, e no quadrado da direita vamos selecionar apenas 1 das partes.

A fração representativa do primeiro inteiro é 4/4 e no segundo inteiro é 1/4. Agora, se somarmos as duas frações, teremos como resultado 5/4. Esta é uma fração imprópria, pois o numerador é maior que o denominador.

Uma outra maneira de representar tudo isso, é escrevendo assim 1¼, ou seja, uma parte inteira mais uma fração. Esse formato é chamado de representação mista de uma fração, também é conhecido como número misto. Muito importante! Esse número misto nada mais é do que a representação de uma fração imprópria.

A fração imprópria sempre pode ser transformada em um número misto. O número misto nada mais é do que um número composto de uma parte inteira mais uma parte fracionária.

 

2.1. COMO TRANSFORMAR A FRAÇÃO IMPRÓPRIA EM UM NÚMERO MISTO

Vamos imaginar, por exemplo, que temos a fração 18/4, que é uma fração imprópria, e a gente queira transformar ela em um número misto. Para isto, basta dividirmos o 18 pelo 4. Nesta divisão iremos obter um número inteiro e o resto, que será o número de quartos que sobraram.

Teremos então 4 unidades inteiras mais 2 quartos do que sobraram. Logo, teremos um número misto:

Então, 4 ½ é um número misto que representa a fração 18/4. Além disso, podemos fazer o contrário, ou seja, podemos transformar um número misto em uma fração imprópria. Vamos ver o exemplo:

Dessa forma, 17/5 é a fração imprópria que representa o número misto 3 2/5. Fácil, né?!

Vamos ver agora o terceiro tipo de fração.

3° Fração aparente:  são particularidades das frações impróprias. Elas representam um número inteiro, ou seja, são frações que resultam em um número inteiro. Você entenderá facilmente com o desenho, veja só:

Notem que temos 4/4 de uma circunferência e 4/4 de outra circunferência. Se somarmos essas duas frações, teremos:

Ou seja, ao somar as duas frações que representam as regiões selecionadas nas circunferências, obtemos uma fração total representada por 8/4, e sabemos que 8 divido por 4 é 2.

Notem o seguinte, que numerador é maior que denominador, então sempre a fração aparente é um caso de fração imprópria.

 

3. FRAÇÕES EQUIVALENTES

As frações equivalentes são aquelas que aparentemente são diferentes, mas que possuem o mesmo resultado. Sendo assim, elas representam a mesma parte de um todo, indicando a mesma quantidade.

Vamos fazer um desenho para vocês entenderem melhor. Vejam cada uma das circunferências abaixo, com diferentes divisões.

Notem que, na primeira circunferência foram pintadas 1 de 2 duas partes, na segunda foram pitadas 2 de 4 partes e na outra foram pintadas 3 de 6 partes iguais. Vejam que elas são frações diferentes, porém elas representam a mesma quantidade:

Todas elas representam metade da circunferência. Assim, elas são consideradas frações equivalentes, pois elas representam a mesma parte do todo. Ao simplificarmos estas frações, todas terão como resultado a fração igual à ½.

 

4. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Este é um assunto muito importante, que vocês irão utilizar bastante. Vamos fazer um exemplo, simplificando a fração 8/20.

Podemos reduzir esta fração a partir do MDC, ou seja, do máximo divisor comum.  Ao dividirmos o numerador de uma fração por um número qualquer, temos que dividir o denominador pelo mesmo número, por isso a ideia é dividir sempre pelo máximo divisor comum. Vamos fazer o MDC entre 8 e 20, para ver qual será o número que usaremos para reduzir a fração:

Ao finalizar a divisão assinalamos (*) apenas os números que dividiram a linha inteira, ou seja, que dividiram ao mesmo tempo todos os números. Desta forma, o nosso MDC é:

2 ‧ 2 = 4

Isto quer dizer que podemos dividir a fração por 4, tanto o numerador quanto o denominador, e que este é o maior número que podemos usar para simplificar esta fração. Fazendo essa divisão, iremos obter:

Logo, a fração obtida na simplificação, de 2/5, é uma fração irredutível. Lembrando que, uma fração a/b é irredutível quando o máximo divisor comum entre o numerador a e o denominador b é igual a 1.

Vamos fazer mais um exemplo, simplificando a fração 40/16. Mas agora, vamos fazer por partes, sem usar o MDC. Vejam só:

Notem que basta ir simplificando para chegarmos na fração irredutível. Então, na simplificação nem sempre é necessário calcular o MDC, muitas vezes, podemos ir simplificando até chegar na fração irredutível.

 

5. REDUÇÃO DE FRAÇÕES A UM MESMO DENOMINADOR

Vamos começar este assunto utilizando um exemplo, as frações 3/4 e 7/10. Notem que estas frações são totalmente diferentes e, assim, fica difícil compararmos uma com a outra. Por isso, vamos aprender a reduzir ambas as frações a um mesmo denominador, mantendo a sua equivalência.

Para isto, vamos calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os denominadores das frações, 4 e 10. Vejam só:

MMC (4, 10) = 2 ‧ 2 ‧ 5 = 20

Dessa forma, as frações terão agora denominador igual a 20. Mas, ainda temos que fazer com que essas frações fiquem equivalentes. Por exemplo, se o denominador era 4 e agora é 20, ele foi multiplicado por 5. Então, devemos multiplicar o numerador por 5 também. Na outra fração o denominador era 10 e agora é 20, ou seja, ele foi multiplicado por 2. Assim, devemos multiplicar o numerador por 2.

Pronto! Agora, conseguimos ver que a fração 14/20 é menor do que a fração 15/20 e, consequentemente, descobrimos que a fração 7/10 é menor do que a fração 3/4.

Pessoal, a redução de frações a um mesmo denominador é muito utilizada na comparação de frações, para sabermos se uma é maior, menor ou igual a outra. Na comparação de frações teremos 2 casos:

1° caso: quando os denominadores são iguais. Este caso é o mais simples, pois basta fazer a comparação dos numeradores. Vamos usar um exemplo:

Como os denominadores são iguais, comparamos apenas os numeradores. Neste caso o 2 é menor que o 7, logo a fração 2/5 é menor do que a fração 7/5:

2° caso: quando os denominadores são diferentes. Neste caso, teremos que fazer o MMC entre os denominadores e calcular os numeradores equivalentes.

Vamos fazer um exemplo usando a fração 5/8 e 7/12. Qual delas será que é a maior fração?

MMC = (8, 12) = 2 ‧ 2 ‧ 2 ‧ 3 = 24.

Como o MMC entre 8 e 12 é 24, precisamos que os numeradores de cada fração fiquem equivalentes a este denominador.

Na primeira fração tínhamos denominador 8, como agora é 24, ele foi multiplicado por 3. Portanto, multiplicamos o numerador por 3. Já na segunda fração, o denominador era 12, ou seja, ele foi multiplicado por 2. Assim:

Agora podemos fazer a comparação entre as frações. Olhando as duas frações, podemos apenas comparar os numeradores delas. Como 15 é maior do que 14, podemos concluir que:

Finalizamos mais um texto e eu espero ter ajudado muito nos seus estudos. Para aprender direitinho, assistam o vídeo anexado abaixo e acompanhem mais explicações e exercícios sobre os assunto.

Abração e até mais!