UNIÃO E INTERSECÇÃO

18/07/2018

Olá pessoal! Tudo bem por aí?

A partir de hoje, as conjunções ou e e vão ganhar um novo significado na vida de vocês! Elas conseguem exprimir exatamente o que significa a união e a intersecção entre dois conjuntos, um assunto da matemática do ensino médio extremamente importante para aqueles que desejam realizar as provas do ENEM, e dos mais variados vestibulares. Por isso, se vocês são estudantes do ensino médio, ou irão prestar algumas dessas provas, eu peço: não deixem de acompanhar esse texto!

Mas antes de começarmos, aí vai uma dica! Existe uma plataforma de estudo de matemática completa, e 100% online que vocês precisam conhecer: é a plataforma do Professor Ferretto!  Lá tem videoaulas sobre toda a teoria dos conjuntos, sobre probabilidade, análise combinatória, geometria espacial, e tudo que é abordado no ensino médio! Além disso, estão disponíveis para todos os alunos do curso, cerca de 1000 questões do ENEM e de vestibulares, todas com resolução em vídeo, que foca na interpretação das questões. Pessoal, se eu descrever todas as vantagens aqui, pode ser que não sobre espaço para o assunto de hoje! Então acessem o site, e confiram todas elas!

Bom, a dica foi repassada com sucesso. Contudo, antes de tratarmos da união e da intersecção em si, que são dois conhecimentos fundamentais da teoria de conjuntos, é imprescindível revisarmos alguns conceitos importantes. Dados dois conjuntos A e B, vejam o que pode acontecer quando estes possuem ou não elementos em comum:

  • Caso todos os elementos de A também pertençam ao conjunto B, fica evidente que A é subconjunto do conjunto B, ou que A está contido em B, ou ainda que A é parte de B. A representação na forma de diagrama, para dois conjuntos que se comportam dessa maneira, é apresentada na figura abaixo:

  • Caso nenhum elemento de A também pertença ao conjunto B, e claro, nenhum elemento de B também pertença ao conjunto A, então A e B são conjuntos disjuntos. Nesse caso, o diagrama de cada um dos conjuntos é representado da seguinte forma:

  • E por fim, pode ser que apenas alguns elementos do conjunto A também pertençam ao conjunto B e vice-versa. Nesse caso, é comum entrelaçar os diagramas, para que os elementos comuns a ambos os conjuntos se localizem na região comum a ambos os diagramas, como mostra a figura:

Neste momento, nós já estamos preparados para saber tudo sobre a união e a intersecção entre dois conjuntos. Então, vem comigo aqui!

 

1. UNIÃO

Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ou a A ou a B.

O quadro abaixo mostra como é possível definir a união entre dois conjuntos A e B em forma de símbolos:

Observem que a união entre dois conjuntos é representada pelo símbolo “∪”. Assim, podemos afirmar que a união de A e B, é o conjunto formado pelos elementos x tais que esses elementos x pertençam ou ao conjunto A ou ao conjunto B ou a ambos os conjuntos.

O ou, dentro das classes gramaticais, é uma conjunção coordenativa alternativa. E uma alternativa pode ser dita como “uma de duas ou mais possibilidades pelas quais se pode optar”. Portanto, basta que um elemento pertença a um dos conjuntos citados, e ele fará parte da união entre esses dois conjuntos. Olhem só como destacamos a região que representa a união entre dois conjuntos A e B nos 3 casos que estudamos no início do texto:

Vejam como a característica da união acaba por abranger todos os elementos dos conjuntos que são analisados. Isso acontece, porque para pertencer ao conjunto união, é possível, mas não é necessário que os elementos pertençam a ambos os conjuntos, desde que pertençam a pelo menos um deles. Vocês verão agora, como a intersecção entre dois conjuntos se mostra bastante diferente do que acabamos de estudar.

 

2. INTERSECÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

O quadro abaixo mostra como é possível definir a intersecção entre dois conjuntos A e B em forma de símbolos:

A intersecção entre dois conjuntos é representada pelo símbolo “∩”. Assim, podemos afirmar que a intersecção de A e B, é o conjunto formado pelos elementos x tais que esses elementos x pertençam tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B, ou seja, que esses elementos pertençam a ambos os conjuntos.

O e, dentro das classes gramaticais, é uma conjunção coordenativa aditiva. A palavra “aditiva” vem de adicionar, e quando realizamos uma adição, realizamos essa operação entre dois termos, ou dois valores. Essa ideia pode nos ajudar a entender a intersecção. Para que um elemento faça parte da intersecção entre dois conjuntos, não é suficiente que ele pertença somente a um dos conjuntos analisados, ele deve ser comum aos dois conjuntos. Por isso, só iremos destacar uma determinada região nos diagramas dos conjuntos A e B, se esta for comum aos dois, como mostra a figura abaixo para os 3 casos que estudamos no início do texto:

Reparem que quando dois conjuntos são disjuntos, não há elementos em comum entre eles, e por isso também não há área comum entre os diagramas. Isso só pode significar que a intersecção entre dois conjuntos disjuntos é igual ao conjunto vazio.

 

3. PROPRIEDADES DA UNIÃO E DA INTERSECÇÃO

Agora que já conhecemos todas as propriedades da união e da intersecção, vamos conversar um pouco sobre cada uma delas. Reparem primeiramente na propriedade 1: tanto a união quanto a intersecção entre dois conjuntos A iguais, resulta, claramente, no próprio conjunto A.

Já quando se fala na propriedade 2, as coisas são diferentes para união e para a intersecção. Algo que é neutro, é definido como algo imparcial, indiferente, que não se envolve ou se compromete. Para ficar ainda mais claro, podemos pensar aqui em algo que não faz diferença ou que não causa mudança.

É por isso que o conjunto vazio é o elemento neutro da união e que o conjunto universo é o elemento neutro da intersecção. Quando um conjunto A, que possui uma série de elementos, une-se a um conjunto que não possui elemento algum, é obvio que prevalecerão os elementos do próprio conjunto A. Já quando há a intersecção entre um certo conjunto A, que possui determinados elementos, e um conjunto ao qual pertencem todos os números existentes, é claro que irão prevalecer os elementos comuns a ambos os conjuntos, que são os próprios elementos do conjunto A.

Louco, vocês não acham? Mas não se preocupem, as propriedades 3 e 4 são um pouquinho mais simples. Comutar, significa mudar, ou realizar a troca entre algo. Por isso, a propriedade comutativa nos informa, que não importa se a ordem dos conjuntos A e B for alterada na hora de realizar a união ou a intersecção dos mesmos: o resultado será o mesmo!

E por fim, resta-nos compreender que associar alguns elementos significa reuni-los ou agrupa-los. A propriedade 4, chamada de associativa, nos mostra que é possível associar de maneiras diferentes a união e a intersecção de diversos conjuntos, e o resultado será igual para todas as associações realizadas.

Depois de todo esse conhecimento, é chegada a hora de aplicarmos tudo resolvendo alguns exercícios. Acompanhem comigo aqui!

 

1. Encontre a união e a intersecção de A e B, nos casos abaixo:

a) A = {a, b, c} e B = {c, d}

Reparem que o conjunto A é formado pelos elementos a, b, e c, enquanto que o conjunto B, é formado pelos elementos c e d. Para encontrar a união de A e B, basta copiarmos todos os elementos do conjunto A e todos os elementos do conjunto B. Caso houverem elementos em comum, não é necessário copiá-los duas vezes, de forma que:

A ∪ B = {a, b, c, d}

Para encontrar a intersecção de A e B, basta procurarmos pelos elementos em comum entre os dois conjuntos. Vejam que nesse caso, apenas o elemento c é comum a ambos os conjuntos, e assim, temos que a intersecção de A e B é um conjunto unitário:

A ∩ B = {c}

Realizar a representação na forma de diagrama dos dois conjuntos, pode ajudar, e muito, a obtermos os conjuntos união e intersecção que estamos procurando. Abaixo, segue a representação em diagrama dos conjuntos A e B, e na sequência, vocês verão as regiões destacadas que representam a união e a intersecção entre os dois conjuntos.

b) A = {5, 6} e B = {8, 9}

Neste caso, o conjunto A possui os elementos 5 e 6, enquanto que B possui os elementos 8 e 9. Quanto a união de A e B, é fácil, não é mesmo? Copiamos os elementos que pertencem ao conjunto A e também os elementos que pertencem ao conjunto B, e se houverem elementos em comum, não é necessário repeti-los, de forma que:

A ∪ B = {5, 6, 8, 9}

Só que a verdade, é que nessa questão, não existem elementos em comum entre os conjuntos A e B. Por isso, podemos afirmar que A e B são conjuntos disjuntos e que a intersecção entre eles resulta no conjunto vazio.

A ∩ B = { }

É claro que não podemos deixar de representar os conjuntos deste exemplo em forma de diagrama. Por isso, deem uma olhada na imagem abaixo antes de seguir com o texto.

c) A = {4, 7} e B = {4, 6, 7}

Observem que os elementos do conjunto A são os números 4 e 7, enquanto que os elementos do conjunto B são os números 4, 6 e 7. Parece que tem algo parecido aí, não é mesmo? É claro que tem: todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, e portanto pode-se dizer que A é subconjunto de B. Assim, podemos dizer que a união de A e B, e a intersecção de A e B, são os conjuntos descritos abaixo:

A ∪ B = {4, 6, 7}

A ∩ B = A = {4, 7}

Em forma de diagrama, os conjuntos A e B deste caso podem ser representados como mostra a figura baixo. Além disso, é possível acompanhar o destaque que representa a união e a intersecção entre os dois conjuntos.

 

4. NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO

Para findar esse texto, nós vamos aprender como encontrar o número de elementos que fazem parte do conjunto união de quaisquer dois conjuntos A e B, em símbolos “n (A ∪ B)”. Vocês lembram que para determinarmos o conjunto união entre dois conjuntos A e B, nós copiávamos os elementos de A e depois copiávamos os elementos de B, mas se houvesse algum elemento em comum nós não o escrevíamos novamente?

Pois bem, é por isso que para calcular o número de elementos da união entre dois conjuntos A e B, o número de elementos de cada conjunto é somado (n (A) + n (B)) , mas o número de elementos que formam a intersecção entre os dois conjuntos (n (A ∩ B)) é subtraído, justamente porque esses são os elementos que se repetem e que não escreveríamos novamente na formação do conjunto.

Vamos provar que isso faz sentido? Olhem só esse exemplo:

Dados os conjuntos A = {1, 3, 5 ,7, 9} e B = {2, 3, 5, 7}, determine o número de elementos da união de A e B.

Reparem que:

  • O conjunto A possui 5 elementos: 1, 3, 5, 7, e 9.
  • O conjunto B possui 4 elementos: 2, 3, 5, e 7.
  • Ambos os conjuntos possuem 3 elementos em comum: 3, 5 e 7, de forma que A ∩ B = {3, 5, 7}.

Assim, o número de elementos da união de A e B, é dado por:

n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

n (A ∪ B) = 5 + 4 – 3

n (A ∪ B) = 6

Encontrando o conjunto união de A e B, é possível perceber que ele realmente possui 6 elementos:

A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

Interessante, não é mesmo? E assim, finalizamos mais um assunto! Espero que o texto tenha sido bem proveitoso para os seus estudos, e que os exemplos que resolvemos possam lhes ajudar a solucionar outras situações matemáticas que surgirem! É claro que em anexo fica o vídeo que complementa o assunto. Deem uma olhadinha nele, e nos demais posts do blog, e se desejarem, façam seus comentários!

Um abraço e até o próximo texto!