VÉRTICE DA PARÁBOLA, VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

11/01/2018

Olá pessoal, tudo certo com vocês?

No texto de hoje vamos aprender tudo sobre o valor máximo e o valor mínimo que uma função quadrática pode assumir. Vamos fazer um estudo desses pontos para compreender melhor a sua utilidade nos contextos mais diversos e, também, para garantir o aprendizado de vocês para a prova do Enem e para os demais vestibulares

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Certo pessoal!? Então, vem comigo aqui!

Vou usar um exemplo bem prático para que vocês tenham uma representação do que é o valor máximo e o valor mínimo de uma função quadrática. Imaginem o seguinte, em um jogo de Basquete interclasses, José fez um lançamento de 40 metros para Henrique marcar uma cesta. Nesse lançamento, a bola descreveu uma parábola como na figura abaixo, em que 

é a altura em metros atingida pela bola e x é a distância em metros de onde partiu o passe.

Vejam que em determinada distância a bola atinge uma altura máxima, ou seja, um valor máximo. A altura máxima é atingida exatamente no vértice da parábola.

Vamos ver o que é o vértice da parábola de uma função quadrática.  

 

1. VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA

O vértice da parábola nada mais é do que o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função quadrática. Ele é formado por um par ordenado de pontos que constituem as coordenadas de retorno da parábola, ou seja, o vértice é representado pelo ponto de intersecção do eixo de simetria com a própria parábola, como mostra a figura abaixo.

As coordenadas do vértice são formadas pelo y do vértice que é exatamente o valor máximo ou valor mínimo da função quadrática e pelo x do vértice que está localizado no ponto médio entre as duas raízes da função.

Então, para determinarmos o ponto máximo ou ponto mínimo de uma função quadrática basta calcular o vértice da parábola. O vértice de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, pode ser calculado da seguinte maneira:

Um ponto importante, é que muitos alunos acabam confundindo ponto máximo ou mínimo da função com valor máximo ou mínimo da função. Por isso, é muito importante que vocês saibam diferenciar um do outro, para não errar na hora de resolver exercícios que abordem esse assunto.

Vou analisar o gráfico das funções quadráticas a seguir, para exemplificar melhor a vocês, do que se trata o valor máximo e o valor mínimo que a função quadrática pode assumir. Vejam só, seja a função:

f(x) = ax2 + bx + c

Podemos ter dois casos específicos:

  • Caso a > 0:

A concavidade da parábola está voltada para cima. Nesse caso, o vértice (V) é o ponto de mínimo da função, ou seja, é o menor valor que a função pode assumir.

Em  a função tem o seu valor mínimo, que é .

  • Caso a < 0:

A concavidade da parábola está voltada para baixo. Nesse caso, o vértice (V) é o ponto de máximo da função, ou seja, o maior valor que a função pode assumir.

Em , ela tem o seu valor máximo, que é .

Então pessoal, podemos ver que a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c:

  • é representada por uma parábola de vértice V, sendo 
  • tem valor máximo: y = yv caso a < 0, ou valor mínimo: y = yv caso a > 0

Para que vocês entendam melhor, vou fazer o exemplo citado anteriormente, do lançamento de uma bola em um jogo de basquete, representado pela seguinte função:

Vejam no gráfico desta função, ilustrado anteriormente, que como não temos o termo c, a parábola cruza exatamente a origem do plano cartesiano. Isto ocorre porque o termo c indica exatamente o ponto de intersecção da curva com o eixo y, que é (0, c), ou seja, x = 0; y = c.

Vamos calcular agora a distância em que a bola atinge a altura máxima, ou seja, o xv da função:

Então, a distância em que a bola atinge a altura máxima é em 20 m. Agora vamos calcular yv e descobrir qual foi a altura máxima atingida pela bola:

Logo, a altura máxima que a bola atingiu neste lançamento foi de 10 metros.

Ainda, existe outra maneira de determinar o vértice de uma parábola. Para isto, basta lembrar que a parábola é simétrica em relação a um eixo vertical. Determinando a posição deste eixo, encontraremos a abscissa do vértice, e com a abcissa do vértice obteremos a ordenada, que é função da abscissa. Vamos usar um exemplo bem prático, vejam a seguinte função: f(x) = 2x² – 8x. Para determinamos as raízes da função, basta igualarmos ela a zero.

2x² – 8x = 0

Agora, vamos colocar o 2x em evidência, já que ele é comum nos dois termos:

2x.(x – 4) = 0

Notem o seguinte, nós temos uma multiplicação em que o resultado é zero. Desta forma, um dos dois termos, ou seja, ou 2x ou x – 4 é igual a zero. Acompanhe comigo:

Neste caso, nós descobrimos que x1 = 0 e x2 = 4. Dada a simetria das parábolas, o eixo de simetria terá abscissa:

Substituindo xv na função, obtemos a ordenada do vértice.

f(2) = 2.2² – 8.2 = – 8

Logo, o valor mínimo da função é – 8, ou seja, yv = – 8. Fácil né?! Basta fazermos a média aritmética das raízes da função dada para encontrarmos a coordenada x e, então, substituir o valor de x na função para encontrarmos o valor da coordenada y.

Agora, vamos fazer um exercício para que vocês aprendam a calcular o vértice de uma parábola, e também identificar o valor máximo ou valor mínimo da função função.

1) Determine o vértice da parábola dada pela função f(x) = x² – 4x e determine se ela possui valor máximo ou valor mínimo.

Primeiro, vamos determinar o xv e o yv pelas equações vistas acima. Reparem que como não temos o termo c, fica ainda mais fácil determinar os pontos do vértice. Então, os coeficientes da função são, a = 1, b = – 4 e c = 0.

Então, a coordenada do vértice é formada pelo ponto V (2, – 4). Como temos uma função em que a > 0, a concavidade da parábola será voltada para cima e, neste caso, a função assume um valor mínimo, que é yv = – 4.

Chegamos ao final de mais um texto, e eu espero que tenha sido muito importante e proveitoso para vocês. Refaçam os exercícios para fixar bem o conteúdo e, também, procurem outros exercícios para determinar se a função possui valor máximo ou valor mínimo e se ela possui ponto máximo ou ponto mínimo.

Bons estudos e até a próxima!