ÂNGULO CENTRAL E ÂNGULO INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA

26/04/2019

Conhecer a definição de ângulo central e de ângulo inscrito na circunferência é essencial para o estudo da geometria plana. Cada um desses conceitos envolve propriedades que nos auxiliam a resolver diversos exercícios!

 

Olá, pessoal! Tudo bem?

Hoje nós vamos dar mais uma volta no mundo da geometria plana, abordando dois conceitos muito interessantes para a matemática. Um deles, se refere ao ângulo central a circunferência, enquanto o outro trata do ângulo inscrito na mesma. Vocês vão ver neste texto, que tudo depende do lugar em que o vértice do ângulo se localiza na circunferência, e pronto!

Além disso, já vou adiantando que existe uma relação muito famosa entre o ângulo central e o ângulo inscrito. Então, quem estiver interessado nela, também pode ficar tranquilo, porque vamos conferir essa fórmula juntamente a exercícios resolvidos. Para se preparar bem para o ENEM e os vestibulares, nada melhor do que aplicar a teoria na prática, não é mesmo?

Pois é, pessoal, e se eu disser para vocês que na plataforma do Professor Ferretto tem teoria e tem prática de qualidade, só que em todos os assuntos da matemática do ensino médio, dá pra acreditar? É verdade, são mais de 1100 questões das provas do ENEM e dos vestibulares resolvidas em vídeo por lá! Também tem planos de estudo, aulas de aprofundamento, monitoria no plano Premium e até aulas de física! Que tal dar uma passadinha rápida no site, e conferir todas as vantagens do curso?

Agora que vocês já conhecem a plataforma, podemos iniciar nossos estudos! Fiquem atentos a cada uma das imagens, afinal, elas valem mais do que palavras na geometria plana.

 

1. ÂNGULO CENTRAL A CIRCUNFERÊNCIA

O que é o ângulo central a circunferência

O ângulo central é aquele que possui o vértice no centro da circunferência.

Faz um certo sentido que o ângulo central, ao qual chamamos de α, seja aquele cujo vértice se localiza exatamente no centro da circunferência, vocês concordam? Agora, o mais legal de tudo, é que esse ângulo central está sempre de olho no arco delimitado por ele na circunferência, cujos pontos extremos denominamos A e B.

A medida de um arco é igual à medida do ângulo central

A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.

Incrível, não é mesmo? Como vimos no texto Conceitos iniciais sobre a circunferência e o círculo, um arco é a porção compreendida entre quaisquer dois pontos de uma circunferência. Ora, se os dois pontos que delimitam um arco são exatamente os mesmos pontos extremos de um ângulo central, então, em termos de ângulo, ambos possuem a mesma medida α. É bem importante que vocês memorizem esse detalhe, pois ele nos ajudará bastante a resolver alguns exercícios logo mais!

 

2. ÂNGULO INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA

O que é o ângulo inscrito a circunferência

O ângulo inscrito é aquele cujo vértice se localiza na circunferência e cujos lados são secantes a ela. 

Vejam, um ângulo inscrito, que aqui nós chamamos de β, pode se formar em qualquer ponto da circunferência. Independentemente do lugar escolhido, os lados desse tipo de ângulo sempre serão secantes a circunferência, já que são segmentos que cortam a mesma em dois pontos distintos – no vértice do ângulo e nos pontos extremos A ou B.

Ângulo inscrito pode se localizar em qualquer ponto da circunferência

Reparando na imagem acima com atenção, podemos perceber que tanto o ângulo inscrito quanto o ângulo central acabam por formar um arco na circunferência. E se nós traçássemos esses dois ângulos juntos, de maneira que os dois formassem o mesmo arco, será que seria possível tirar alguma conclusão do caso? Felizmente, as notícias serão boas, olhem só!

ângulo inscrito é a metade do ângulo central correspondente

O ângulo inscrito é a metade do ângulo central correspondente.

Então, pessoal, sempre que vocês observarem nos exercícios casos em que um determinado ângulo central forma o mesmo arco que um certo ângulo inscrito, podem ter certeza que a medida deste ângulo inscrito corresponderá a metade da medida do ângulo central, ou ainda, que a medida do ângulo central corresponderá ao dobro da medida do ângulo inscrito. Usem essa propriedade a favor de vocês!

Tudo entendido até aqui? Agora, vamos aprender outro conceito incrível sobre os ângulos inscritos. É verdade que β poderia assumir uma série de valores, tais como 40˚, 50˚ ou 80˚, por exemplo. Também não haveria problema, se β fosse um ângulo reto, ou seja, de 90˚, mas muito pelo contrário: nesse caso, teríamos a nossa frente um fenômeno bem interessante, que por sinal, dará origem ao próximo tópico deste texto. Venham comigo!

 

2.1 Triângulo retângulo inscrito em uma circunferência

ângulo inscrito de 90 graus forma um triângulo retângulo

Um ângulo inscrito de 90˚ delimita um arco de 180˚ na circunferência, como podemos observar na imagem acima. Em casos como esse, é possível ligar os pontos extremos do ângulo A e B, e o segmento formado, juntamente com os segmentos dados pelos lados do ângulo, dará origem a um triângulo retângulo! Como todos os vértices do triângulo gerado estão tocando a circunferência, podemos dizer que ele está inscrito na mesma.

Triângulo retângulo inscrito na circunferência

Todo triângulo retângulo possui 3 lados definidos: dois deles são chamados de catetos, porque juntos formam o ângulo de 90˚, enquanto que o terceiro é chamado de hipotenusa, e corresponde ao maior lado do triângulo. Quando comparamos esses termos com aqueles que estamos estudando hoje, fica claro que os catetos são na verdade os lados do ângulo inscrito na circunferência, e que a hipotenusa passa exatamente pelo centro da circunferência, e por isso, o seu comprimento pode ser visto como o diâmetro da circunferência.

Todo triângulo retângulo inscrito em uma circunferência, tem a sua hipotenusa como diâmetro.

Medida da hipotenusa é igual ao diâmetro da circunferência

Pessoal, qualquer triângulo retângulo que esteja inscrito em uma circunferência, ou seja, que esteja dentro dela, terá o comprimento da sua hipotenusa exatamente igual a medida do diâmetro da circunferência, sempre!

Triângulos escaleno isósceles e equilátero inscritos na circunferência

Contudo, não pensem que isso acontece com qualquer tipo de triângulo! Se vocês tentarem inscrever na circunferência um triângulo escaleno, isósceles ou mesmo o equilátero, como tentamos fazer acima, verão que nenhum dos lados desses 3 triângulos consegue passar pelo centro da circunferência, e assim, ter o comprimento do seu diâmetro. É claro que isso não poderia ocorrer, afinal, nenhum desses triângulos possui um ângulo interno de 90˚! Por isso, lembrem sempre, essa propriedade se aplica apenas ao triângulo retângulo.

 

2.1.1 Propriedade da mediana relativa à hipotenusa

Triângulo retângulo inscrito na circunferência

Agora, antes de partirmos para o tão esperado exercício resolvido, é importante abordarmos uma propriedade muito interessante que o triângulo retângulo inscrito na circunferência nos dá de presente. Observando a figura acima com atenção, vemos que o centro da circunferência corta a hipotenusa do triângulo retângulo em duas partes iguais. Isso significa que o centro da circunferência é o ponto médio da hipotenusa do triângulo.

Segmento equivalente a mediana relativa à hipotenusa

Tendo isso em vista, poderíamos fazer a ligação do ponto médio da hipotenusa do triângulo, M, ao vértice do ângulo ß. O segmento gerado, como mostra a figura acima, nada mais é do que a mediana relativa à hipotenusa. Mas o melhor ainda está por vir, meus caros! Vejam, o comprimento da mediana que acabamos de formar é conhecido, assim como o dos segmentos segmento do ponto A até o ponto M e segmento do ponto M até o ponto B : todos eles representam o raio da circunferência.

O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, corresponde exatamente a metade do comprimento da sua hipotenusa.

a mediana equivale a metade da hipotenusa

A medida do raio de uma circunferência não é justamente a metade da medida do seu diâmetro? Então essa propriedade faz todo o sentido, concordam? Embora ela tenha surgido através do conceito de triângulo retângulo inscrito em uma circunferência, vocês podem utilizar essa conclusão para qualquer triângulo retângulo, esteja ele aonde estiver!

Entendido? Sendo assim, basta de conceitos por hoje. É hora de aplicarmos tudo o que vimos em um exercício muito intrigante. Vem comigo aqui!

 

5. EXERCÍCIO

Determine o valor de x na figura abaixo:

Figura para exercício que trata de ângulos na circunferência

Quem ficou atento ao texto, vai perceber que existem dois ou mais jeitos de encontrarmos o valor de x na figura acima. Mas antes de aplicarmos qualquer conceito relacionado aos ângulos na circunferência, devemos observar com atenção o seguinte detalhe:

3 segmentos são iguais ao raio da circunferência

A distância do centro da circunferência até qualquer um de seus pontos é conhecida como raio da circunferência. E não é que na figura deste exercício, nós temos 3 segmentos cuja medida corresponde ao raio da circunferência? Pois então, como esses 3 segmentos ajudam a formar 2 triângulos, temos que cada um deles possui 2 lados iguais.

Triângulos isósceles formados dentro da figura

Um triângulo isósceles possui 2 lados e 2 ângulos iguais! Ter esse conhecimento é essencial para a resolução do exercício, já que ele nos ajuda a determinar outros dois ângulos do sistema.

Triângulos isósceles têm dois ângulos iguais

Agora, outro conceito sobre triângulos deve vir à tona para seguirmos nossa resolução. Lembrem que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180˚. Essa ideia nos permite encontrar mais um ângulo do sistema.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 graus

Neste momento nós estamos prontos para aplicar muito do que vimos no texto de hoje! Se vocês observarem bem a figura acima, verão que o ângulo que acabamos de encontrar, é na verdade o ângulo central que delimita um determinado arco na circunferência. E o mais legal de tudo, é que um ângulo inscrito que delimita o mesmo arco possui exatamente a medida de x, o valor que estamos procurando!

Ângulos central e inscrito delimitam o mesmo arco na circunferência

Sendo assim, podemos aplicar a propriedade que diz que o ângulo inscrito é a metade do ângulo central correspondente.

Aplicando a fórmula do ângulo inscrito como metade do ângulo central correspondente

Tranquilo, não é mesmo? Pois acreditem, existe um jeito ainda mais fácil de resolver o problema!

 

Olhando por outro lado…

Exemplo de triângulo retângulo inscrito na circunferência

E não é que olhando dessa forma, parece que temos um triângulo retângulo por ali? Claro que sim, afinal, o maior lado deste triângulo inscrito na circunferência passa exatamente pelo centro da mesma! Isso só pode significar uma coisa: o ângulo oposto a hipotenusa é de 90˚! Como nós também sabemos que esse mesmo ângulo é a soma de 70˚ e x, podemos montar a seguinte equação:

70˚ + = 90˚

x = 90˚ – 70˚

x = 20˚

E aí, pessoal, gostaram dessas resoluções? Pois então, quem assistir o vídeo que deixo em anexo aqui embaixo, vai descobrir uma terceira maneira de solucionar o caso, e também vai resolver comigo mais alguns exercícios que envolvem os ângulos central e inscrito na circunferência!

No mais, espero que o texto tenha sido bastante proveitoso para os estudos de vocês. Desejo a todos muito sucesso e perseverança nos estudos! Até mais!