COMO DETERMINAR A QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO

28/08/2019

A quantidade de divisores de um número inteiro positivo pode ser determinada pelo produto entre os expoentes dos fatores primos que correspondem a este número, quando acrescidos de uma unidade.

 

Olá, pessoal! Tudo certo?

Se vocês chegaram até aqui hoje, é porque desejam saber como encontrar a quantidade de divisores de um número inteiro positivo, não é mesmo? Pois então, saibam que vieram ao lugar certo! Neste texto, vou mostrar um passo a passo que tornará simples a busca pelo número de divisores de qualquer valor, mesmo que ele seja gigantesco! E o melhor de tudo, é que na sequência também vamos resolver uma série de exercícios. Assim, todos vocês estarão preparados para as provas do ENEM e dos vestibulares que tratarem do assunto!

E falando em lugar certo, vocês conhecem uma plataforma de estudos 100% online, que aborda toda a matemáticaa física e a química do ensino médio? Essa é a plataforma do Professor Ferretto! Quem quer garantir a melhor preparação para o ENEM e para os vestibulares mais tradicionais do país, não pode deixar de ter acesso a um material de qualidade, com mais de 1600 exercícios resolvidos em vídeo, simulados semanais e mais uma série de vantagens. Ficaram interessados? Então, não percam mais tempo: acessem o site e saibam como é simples ser um aluno do Professor Ferretto!

Feito, pessoal?! Então, vamos começar! Peguem seus materiais de estudo e venham comigo!

aluno está pensando quantos divisores tem o número 6045

 

1º PASSO: REALIZAR A DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS DO NÚMERO DESEJADO

decomposição em fatores primos do número 6045 que resulta na forma fatorada 3x5x13x31

 

Quando um número é reescrito na sua forma fatorada, ficam evidentes os expoentes dos fatores primos gerados. Esses expoentes serão muito importantes para o próximo passo que deveremos seguir. Por isso, se vocês não conseguiram enxergar nenhum expoente nos fatores acima, fiquem atentos a super dica ninja que eu mostro logo abaixo.

Dica do Ferretto: quando o expoente não aparece signifca que ele vale 1

 

2º PASSO: SOMAR UMA UNIDADE AO EXPOENTE DE CADA FATOR PRIMO

somando 1 unidade aos expoentes 1 dos fatores primos 3 5 13 e 31 temos como resultado quatro números 2

 

3º PASSO: MULTIPLICAR TODOS OS VALORES OBTIDOS

2x2x2x2=16 então 6045 possui 16 divisores

 

Viram como é fácil? Descobrir a quantidade de divisores de qualquer número inteiro depende basicamente do processo de fatoração. Nesse sentido, algo que pode nos ajudar muito a agilizar as resoluções são os famosos critérios de divisibilidade, aquelas regrinhas que nos permitem determinar facilmente se um número é divisível por 2, 3, 5, 7 ou 11, e também por outros tantos números que não são primos.

Dada a dica, vamos ao momento que todos vocês estavam esperando: a resolução de exercícios sobre o assunto. Vem comigo!

 

Exercícios Resolvidos

livro aberto onde está escrito exercício resolvido

 

Quantos divisores possui o número 6?

Calma, pessoal! Eu sei que é fácil determinar quantos divisores tem o número 6, mesmo sem realizar todo o processo que acabamos de aprender. Por isso, na verdade, nós vamos utilizar esse exemplo para comprovar que o método funciona! Pensem só: 6 pode ser dividido por 1, que é o divisor universal, por ele mesmo, e também pode ser definido como a multiplicação de 2 por 3, o que nos permite concluir que é divisível por esses dois fatores. 1, 2, 3 e 6: são 4 divisores!

a soma da unidade aos expoentes dos fatores primos resulta em 2x2=4

Mas que interessante! Não é que 6 tem 4 divisores mesmo? Isso nos mostra que o método não tem erro! Contudo, para quem ainda está desconfiado, aí vai mais um exemplo!

 

Quantos divisores possui o número 20?

a soma da unidade aos expoentes dos fatores primos resulta em 3x2=6

Para confirmarmos que 20 possui 6 divisores, podemos pensar num conceito parecido com o que sugerimos no exemplo anterior: o produto entre dois fatores que gera o valor numérico 20. Aí é só lembrar da conhecida tabuada: 2 x 10, 4 x 5, 5 x 4, 10 x 2, todas essas multiplicações dão origem a 20! Isso nos permite concluir que 2, 4, 5, e 10 são divisores de 20, além do 1, o divisor universal, e também do próprio número, o 20. 1, 2, 4, 5, 10 e 20: são 6 divisores!

 

Quantos divisores possui o número 90?

Agora ficou um pouco mais complicado definir quantos divisores tem o número 90 sem aplicarmos os passos que estamos estudando neste texto, não é mesmo? Sem problema algum, afinal, já sabemos que o método funciona. Hora de aplicá-lo mais uma vez!

a soma da unidade aos expoentes dos fatores primos resulta em 2x3x2=12

Podemos aproveitar este exemplo para lembrar de mais um detalhe bem importante: ao realizar a decomposição de um número em fatores primos, não é extremamente necessário manter a ordem crescente entre os fatores. Poderíamos, por exemplo, ter realizado a decomposição do número 90 da maneira que vocês veem abaixo. No fim das contas, a sua forma fatorada continua sendo o produto entre 2, 3 elevado ao quadrado e 5, olhem só!

pode-se realizar a decomposição sem considerar uma ordem crescente dos fatores primos

Bom, parece que 90 possui mesmo 12 divisores. Assim, antes de seguirmos para o próximo exercício, deixo para vocês uma tarefa de casa. Comprovem este resultado encontrando todos os divisores de 90. Começar por 1, o divisor universal, por ele mesmo, e por produtos que gerem esse valor, pode ser um ótimo caminho!

 

Quantos divisores possui o número 980?

Agora complicou um pouquinho, já que estamos trabalhando com um número de valor mais elevado. Mas se vocês utilizarem os critérios de divisibilidade, eu garanto, dá para otimizar bastante o processo. Acompanhem comigo!

980=2x2x5x7x7

980 e 490 são números pares, por isso, certamente são divisíveis por 2. No entanto, ao chegarmos em 245, poderíamos ter dúvida sobre qual fator primo utilizar. Realizando a soma entre os algarismos de 245 (2 + 4 + 5), temos o valor 11, que não é divisível por 3. Assim, é fato que 245 também não é divisível por 3. Mas a boa notícia é que 245 termina em 5, o que nos permite concluir que 245 é divisível por 5! Pronto, depois disso ficou fácil terminar a fatoração.

a soma da unidade aos expoentes dos fatores primos resulta em 3x2x3=18

Quem diria que 980 pudesse ter tantos divisores? E o melhor, quem diria que seria tão fácil determinar essa quantidade? Para celebrar essa conquista, nada mais sensato do que fecharmos o texto com um clássico dos vestibulares. Vem comigo aqui!

 

Exercício clássico de vestibulares

Se o número 23 · 32 · 5x tem exatamente 24 divisores positivos, então esse número é:

Para não nos confundirmos com os dados do enunciado, vamos interpretá-lo com calma. Nós já temos um certo número N escrito na sua forma fatorada, e sabemos quantos divisores esse número tem. Ora, se a quantidade de divisores de um número pode ser definida como o produto entre os expoentes dos fatores primos que o definem, acrescidos de uma unidade, podemos começar somando uma unidade a cada expoente que nos é dado, para depois multiplicarmos esses resultados. Isso só poderá ser igual a 24!

a solução de (3+1)(2+1)(x+1)=24 é x=1

Acabamos de descobrir o valor numérico do expoente de um dos fatores primos que definem o número N que estamos procurando. Agora ficou mais fácil: basta realizar o produto entre esses fatores, e chegaremos à solução do caso.

N = 23 · 32 · 5x

N = 23 · 32 · 51

N = 8 · 9 · 5

N = 360

 

Beleza, pessoal? Vejam como a matemática pode ser simples quando usamos as ferramentas certas! Por isso, não deixem de acompanhar todos os posts do blog, a cada semana temos novos textos repletos de conteúdo e muitas dicas para vocês!

Como sempre, deixo em anexo um vídeo que complementa todos os conceitos que vimos aqui! Fica o convite para quem quiser revisar a matéria e decompor alguns números comigo, é bem rapidinho! No mais, espero que vocês tenham gostado do texto, e que esse conteúdo os ajude a seguir firmes rumo a realização dos seus sonhos!

Um abração a todos! Até breve!