EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

06/09/2019

Uma equação do primeiro grau é uma igualdade que possui o formato ax + b = 0, com a, b ∈ ℝ e a ≠ 0. Resolver uma equação do 1º grau significa encontrar sua raiz, ou seja, obter o único valor numérico que torna a igualdade verdadeira.

 

Olá, pessoal, tudo bem com vocês?

Estamos aqui hoje para falar de um assunto da matemática muitíssimo importante para quem pretende realizar provas de vestibulares, o ENEM, e também alguns concursos públicos. Vamos conhecer a equação do primeiro grau! Entenderemos sua definição, como é possível encontrar sua raiz e, de quebra, também faremos vários exercícios para consolidar o conhecimento no assunto.

A equação do 1º grau possui inúmeras aplicações no cotidiano. Por isso, resolver as questões que a envolvem pode ser um desafio e tanto para aqueles que tem dificuldade com a interpretação. Mas quem é aluno do Professor Ferretto não precisa se preocupar com isso! Na plataforma de ensino do Ferretto estão disponíveis videoaulas didáticas sobre as equações do 1º grau. Além disso, lá tem centenas de resoluções em vídeo de questões do ENEM e de vestibulares, todas focadas em ajudar o aluno a interpretar aquilo que se pede no enunciado. E olhem que não é só isso não, tem muito mais! Quem estiver curioso para conhecer todos os demais benefícios do curso, pode acessar o site, é rapidinho!

Preparados para começar? Então, sem mais rodeios, vamos lá!

 

1. O QUE É UMA EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU?

folha rasgada onde aparece ax+b=0 quando a é diferente de zero

Toda expressão algébrica é composta por números, operações e por certos valores desconhecidos. Estes valores desconhecidos geralmente são representados por letras, tais como x. Quando expressões como essas são inseridas em uma igualdade, temos a formação de uma equação.

ax+b é uma expressão algébrica e ax+b=0 é uma equação

O grau de uma expressão algébrica, e portanto de uma equação, é definido pelo maior expoente da incógnita da expressão. Na equação ax + b = 0, e b são números reais, sendo a diferente de zero, ou seja, eles são os valores numéricos conhecidos da equação. O valor desconhecido, ou a incógnita da expressão, é o x! Como este não possui um expoente visível, significa que ele vale 1.

na expressão ax+b=0 o expoente de x é 1 por isso equação do primeiro grau

Agora vocês entenderam por que o valor de não pode ser igual a zero em uma equação do primeiro grau? Pessoal, caso o fosse zero, iríamos ter 0 vezes x, ou seja, ficaríamos com zero, e o termo ax acabaria sumindo. Desta forma, nós não teríamos mais uma equação do 1º grau, e sim um valor constante, o b.

Portanto, lembrem sempre! Para que uma equação do 1º grau exista, é necessário que ela esteja na forma ax + b = 0, com o diferente de 0. Já quanto ao valor de b não há restrição alguma. Ele pode ser qualquer número real.

Entendido? Antes de aprendermos como resolver uma equação do primeiro grau, vamos estudar a localização dos coeficientes e b em algumas equações. Venham comigo!

 

1.1 Quais são os valores de a e de b na equação do primeiro grau?

caderno com a equação 2x+4=0 onde a=2 e b=4

O coeficiente de uma equação do primeiro grau sempre será o valor que está multiplicando x, ou a incógnita da equação. Já o coeficiente b é o chamado termo independente da equação do 1º grau, ou seja, não depende do valor da incógnita, é “sozinho”.

Bom, para quem está achando muito simples diferenciar os valores de e b, eu confirmo, é só isso mesmo! Contudo, existe um detalhe importante ao qual vocês devem ficar atentos: o sinal do valor numérico! A forma geral da equação do 1º grau não possui sinal negativo. Por isso, se algum sinal como esse aparecer, pertencerá ao seu respectivo coeficiente, olhem só!

3x – 5 = 0    →   a = 3 e b = – 5

7 + ¾x = 0    →   a = ¾ e b = 7

– 8x – 2 = 0    →   a = – 8 e b = – 2

6x = 0    →   a = 6 e b = 0

Beleza, pessoal? Agora estamos preparados para aprender a resolver as equações do primeiro grau. Vamos comigo ao próximo item!

 

2. COMO RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU?

ax+b=0 onde x é a raiz da equação do primeiro grau aí é feita uma associação com a raiz de uma planta

Resolver uma equação nada mais é do que encontrar sua raiz, ou o valor que torna a igualdade verdadeira. E quando se trata de uma equação do primeiro grau, esse processo é extremamente simples.

O primeiro passo consiste em associar os termos semelhantes. Em outras palavras, deve-se unir todos os termos que acompanham a incógnita x e todos os termos que não a acompanham. Aí é só deixar os termos dependentes de x a esquerda da igualdade e os termos independentes de x a direita da igualdade.

No mais, basta realizar as 4 operações básicas, tais como adição, subtração, multiplicação ou divisão. Só não dá para esquecer de trocar o sinal dos termos quando estes estão somando ou subtraindo e mudam de lado da igualdade, ok? Vamos resolver alguns exemplos para que fique mais claro.

resolução da equação do primeiro grau 8x-15=3x em que o resultado é 3

Assim, nós podemos dizer que a raiz da equação que acabamos de resolver é 3. Muitas vezes, a solução de uma equação do 1º grau é dada em forma de conjunto solução, conforme vemos abaixo:

S = {3}

E aí, perceberam que a equação 8x – 3x = 15 não estava exatamente no formato ax + b = 0? Bom, se o objetivo de vocês for encontrar a raiz de uma equação do 1º grau, o formato em que ela aparece não irá interferir, acreditem. De outra forma, jamais poderíamos resolver o próximo exemplo, olhem só!

resolução da equação do primeiro grau 2(3x+1)–3(6–2x)=20 em que o resultado é 3

Portanto:  S = {3}

Neste último exemplo, foi necessário utilizar a propriedade distributiva no início da resolução. No próximo item, vamos conhecer uma variação da equação do 1º grau. Para resolvê-la, um outro artifício matemático será muito utilizado. Sigam comigo!

 

2.1 Como resolver uma equação fracionária?

Aluna está estudando como irá resolver uma equação fracionária

Uma equação fracionária é formada por uma série de frações, em que pelo menos uma delas conta com uma incógnita no denominador. Se a incógnita da equação fracionária tiver como expoente o número 1, podemos resolvê-la como resolvemos uma equação do primeiro grau, apenas prestando atenção em mais um detalhe bem importante.

Se estamos falando de frações, sabemos que vamos nos deparar com numeradores e denominadores. O numerador de uma fração pode ser qualquer número real. Contudo, o denominador de toda e qualquer fração jamais pode ser zero. Por esse motivo, precisamos prestar muita atenção na solução encontrada para uma equação fracionária.

Entendido? Tendo tudo isso em vista, vamos descobrir com um exemplo como encontrar a raiz de uma equação fracionária. Acompanhem!

descrição da equação fracionária 3/4+1/x=11/12

O primeiro passo para resolver uma equação fracionária em que os denominadores são diferentes é encontrar um denominador comum, como é feito em qualquer soma ou subtração de frações usual. Por isso, vamos calcular agora o MMC ou o Mínimo Múltiplo Comum entre os denominadores 4, x e 12 da equação exemplo. Se vocês não conhecem o MMC, ou desejam saber tudo sobre essa operação, deem um pulo no texto Mínimo Múltiplo Comum e suas Propriedades.

mínimo múltiplo comum entre 4 x e 12

Conhecendo o MMC, vamos continuar a operação:

desenvolvendo a resolução de 3/4+1/x=11/12 chega-se a uma expressão com denominador 12x comum

Repararam que neste momento os denominadores são todos iguais? Podemos então, sem problema algum, continuar trabalhando apenas com os numeradores:

o valor de x da equação 3/4+1/x=11/12 é 6

6 é diferente de zero, certo? Portanto S = {6}.

Entendido, pessoal? Até aqui sempre resolvemos equações que nos eram dadas diretamente. Mas sabemos que na maioria das provas, sejam elas do ENEM ou dos vestibulares, nós precisamos interpretar certas situações que resultam em uma equação do primeiro grau. Infelizmente, é aí que mora o problema, não é mesmo?! Se vocês querem aprender a resolver casos como esse, venham comigo até o próximo item!

 

3. INTERPRETAÇÃO NAS QUESTÕES DE EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

livro aberto onde está escrito exercício resolvido

Exercício 1

No final do mês de outubro, os estudantes Carlos e Artur haviam gastado, respectivamente, dois terços e três quintos de suas mesadas. Embora a mesada de Carlos seja menor, ele gastou R$ 8,00 a mais do que Artur. Se a soma dos valores das duas mesadas é R$ 810,00, qual é o valor monetário da diferença entre os valores das duas mesadas?

Carlos e Artur estão segurando seus cofres com as mesadas

Analisando as informações que foram dadas, é possível dizer que a mesada de Carlos (C) somada a mesada de Artur (A) resulta em R$ 810,00. Assim, chegamos a nossa primeira equação:

C + A = 810   (eq. 1)

Sabemos também que Carlos gastou R$ 8,00 a mais do que Artur. Desta forma, podemos dizer que o gasto de Carlos menos o gasto de Artur resulta em R$ 8,00. Como Carlos gastou 2/3 e Artur gastou 3/5 da mesada, podemos representar essa diferença entre os gastos na forma de equação da seguinte maneira:

a equação 2C/3 -3A/5=8 representa a diferença entre os gastos de Carlos e Artur

 

Super dica ninja do Ferretto!

ninja do Ferretto

Podemos representar matematicamente um contexto em que foi gasto uma fração de um certo valor através do produto dessa fração pelo valor total. Carlos gastou 2/3 de sua mesada, cujo valor total nós determinamos que é C. Artur gastou 3/5 do total de sua mesada, cujo valor determinamos ser A. Por isso, temos na equação acima 2/3 multiplicando C e 3/5 multiplicando A.

Ficou claro, pessoal? Então, vamos resolver o caso! Montamos duas equações e temos 2 incógnitas, A e C. Isso significa que já é possível encontrar a solução do problema. Começaremos isolando a incógnita A da equação 1 e substituindo o valor encontrado na equação 2.

isolando a incógnita A e substituindo o valor de A por 810-C na segunda equação

Reparem que ao substituirmos o valor de A na segunda equação, precisamos aplicar a propriedade distributiva e organizar os termos. Agora, como estamos trabalhando com frações, não poderíamos escapar do cálculo do MMC, não fosse o seguinte detalhe: os denominadores das frações são números primos! Assim, efetuando a multiplicação entre 3 e 5, chegamos ao denominador comum, 15.

realizando o mmc entre os denominadores resolve-se a equação e o resultado obtido é 390

Agora que descobrimos o valor da mesada de Carlos, podemos descobrir a de Artur voltando a qualquer uma das equações. Para facilitar nosso trabalho, voltaremos a equação 1:

A = 810 – 390

A = 420

Incrível, não é? Mas calma que ainda não chegamos ao resultado final. A questão quer saber o valor monetário da diferença entre os valores das duas mesadas, logo:

420 – 390 = 30

Assim, a diferença entre os valores das mesadas de Carlos e Artur é de R$ 30,00.

 

Exercício 2

Colocando-se 24 litros de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do marcador, que indicava 1/4 do tanque, passou a indicar 5/8. Determine a capacidade do tanque de combustível da caminhonete.

um tanque de capacidade x litros e que tinha 1/4 de sua capacidade é abastecido com 24 litros ficando com 5/8 de sua capacidade

Novamente, para equacionarmos a situação apresentada no problema, precisamos utilizar a dica ninja que foi dada neste texto. Podemos representar matematicamente um contexto em que se fala de uma fração de um certo valor através do produto dessa fração pelo valor total. Ora, se considerarmos que a capacidade total do tanque é de x litros, antes de colocar os 24 litros descritos no enunciado, o tanque possuía ¼ dos x litros totais. Depois que os 24 litros foram adicionados, o tanque ainda não encheu, mas ficou com 5/8 da capacidade total, que é x. Deste modo, em forma de equação, podemos dizer que:

resolução da equação x/4+24=5x/8 resulta em 64

Assim, finalizamos o texto de hoje! Espero que depois de termos visto todos esses conceitos, as equações do primeiro grau não sejam mais um mistério para vocês! Também estou deixando um vídeo em anexo, logo abaixo. Quem assistir resolverá comigo diversas outras equações para praticar bastante o assunto!

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Um abração, sucesso e até o próximo texto!