INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS

06/06/2018

A teoria dos conjuntos é a base para toda a matemática do ensino médio. Por essa razão, torna-se imprescindível conhecer como são definidos os conjuntos e os elementos, e também quais são os principais tipos de conjuntos existentes.

 

Olá, pessoal! Tudo bem?

Hoje vamos iniciar um novo assunto, que por sinal, é muito importante no estudo da matemática: abordaremos a teoria dos conjuntos! Ter a noção do que é um conjunto é essencial para quem deseja realizar alguns vestibulares e também a prova do ENEM, afinal, essa teoria consegue reunir todos os conceitos da matemática, e quando nós conhecemos o conceito de algo, fica muito mais fácil de interpretarmos determinadas situações, como por exemplo aquelas que aparecem nas questões!

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Vamos começar? Na matemática, existem certos termos que nós não conseguimos definir, com palavras, exatamente o que significam. Por isso, nesses casos, nós costumamos dizer que temos apenas uma noção do que tratam esses termos. Assim, iniciaremos nosso estudo abordando três noções muito interessantes: a de conjuntos, a de elementos e também a de pertinência entre elemento e conjunto. Vem comigo aqui!

 

1. NOÇÕES DA TEORIA DOS CONJUNTOS

1.1 Conjunto

O conjunto A representado entre chaves e em forma de diagrama

 

Um conjunto deve ser nomeado sempre por letras maiúsculas, sejam elas A, B, C, ou qualquer outra letra pertencente ao alfabeto. Já em relação a sua representação, existem basicamente duas formas de realizá-la, e que podem ser utilizadas de acordo com a preferência ou com a necessidade que envolve o assunto: ou o conjunto é expresso entre chaves { }, ou então em forma de diagrama. Na imagem acima, tem-se um certo conjunto A representado das duas formas que acabamos de citar, mas quando se fala em diagrama, ainda devemos ficar atentos ao seguinte detalhe: um diagrama é composto por uma linha fechada que jamais pode ser entrelaçada, ou seja, formar uma espécie de “8”.

Forma correta e incorreta de representar um diagrama

 

1.2 Elemento

Como representar um elemento dentro de um conjunto

Para entendermos quem são os elementos de um conjunto, podemos fazer uma associação com uma situação cotidiana. Digamos agora que a sua família formará um conjunto. Então você, seus pais, avós, irmãos, tios, primos, serão os elementos pertencentes a esse conjunto.

Algo parecido acontece na imagem acima. Vejam que os números 1, 2, 3 e 4 são elementos pertencentes ao conjunto A. Quando um conjunto está expresso entre chaves, seus elementos podem ser separados por vírgula, ou por ponto e vírgula. Já quando um conjunto é expresso na forma de diagrama, então os seus elementos podem ser dispostos de forma aleatória, desde que cada um deles esteja sempre ao lado de um “pontinho”.

Forma correta e incorreta de representar os elementos dentro de um diagrama

É interessante lembrarmos aqui, que os elementos de qualquer conjunto não se restringem apenas a números ou letras, mas também podem ser outros conjuntos. No item seguinte, vamos estudar como relacionar esses diferentes elementos a um mesmo conjunto.

 

1.3 Pertinência entre elemento e conjunto

Símbolos matemáticos pertence versus contido

Estudar a pertinência entre um conjunto e um elemento, significa entender se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Para compreendermos bem isso, podemos citar novamente o exemplo do conjunto família. Se analisarmos o elemento “pai”, veremos que ele pertence a sua família, portanto pertencerá ao conjunto. Contudo, se analisarmos o elemento “amigo”, entenderemos que ele não faz parte da família, e por isso não pertencerá ao conjunto.

Para não escrevermos sempre pertence ou não pertence, temos na matemática um símbolo específico para o termo, vejam só:

Símbolos matemáticos pertence e não pertence

Assim, dado o conjunto B = {5, 6, 7, 8}, podemos dizer que o elemento 6 pertence a B, afinal, podemos observá-lo entre as chaves do conjunto. Além disso, também podemos dizer que o número 3 não pertence ao conjunto B, já que não conseguimos visualizá-lo. Em símbolos, teríamos que:

6 pertence a B enquanto 3 não pertence a B

Tranquilo, não é, pessoal? Mas antes de abordarmos o próximo assunto, é essencial reforçarmos um detalhe. Foi dito no item anterior que os elementos de um conjunto também podem ser outros conjuntos. Em um caso como esse, nós não diremos que um conjunto pertence ou não a outro conjunto, mas sim que um conjunto está contido ou não em outro conjunto. Matematicamente, é claro, também existe um símbolo para essa definição:

Símbolos matemáticos contido e não está contido

Para entendermos bem a diferença entre as duas denominações, observaremos o seguinte conjunto e faremos algumas afirmações:

Conjunto F representado na forma de diagrama

Vejam que o conjunto F foi representado na forma de diagrama. Além de possuir elementos “comuns”, no caso, alguns algarismos, esse conjunto também possui dois elementos que são outros conjuntos, A e B. Assim, podemos afirmar o seguinte:

8 e 1 pertencem a F 10 e 5 não pertencem a F A e B estão contidos em F

 

2. DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO

Existem tantos tipos de conjuntos por aí, que muitas vezes a forma de representar um deles, acaba não sendo a melhor forma de representar o outro. Por isso, nós vamos ver agora como descrever os elementos de um conjunto de diferentes formas. Acompanhem com atenção.

 

2.1 Descrição pela citação de elementos

Descrição do conjunto A por citação de elementos

Citar significa mencionar, ou fazer referência a determinados termos e nomes. Assim, a ideia nesse caso é escrever mesmo cada um dos elementos do conjunto em questão, e isso pode ser feito sempre através das chaves, ou ainda na forma de diagrama. Vamos a alguns exemplos:

  • Conjunto das vogais

Conjunto das vogais por citação de elementos e em forma de diagrama

Conjunto dos números primos positivos por citação e em forma de diagrama

Reparem que existe uma diferença crucial entre esses dois conjuntos descritos através da citação de seus elementos. No conjunto das vogais, vejam que temos um número de elementos finito, afinal existem apenas 5 vogais no nosso alfabeto,  e por isso é possível escrever todas elas dentro do conjunto. Mas no conjunto dos números primos positivos, nós não temos um número de elementos finito, porque os números primos positivos são todos os números, a partir de zero, que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos sem deixar resto. Desta forma, esse conjunto de números inicia em 2, 3, 5, 7, 11 e segue infinitamente, nos deixando sem chance de escrever tantos números assim. É nesses casos que utilizamos as reticências (…) e com isso damos a ideia de continuidade aos conjuntos.

Vale lembrar ainda, que também podemos utilizar as reticências em meio a certos elementos de um conjunto. Isso acontece quando o conjunto é finito mas possui tantos elementos, que tornam a escrita de todos inviável. Aí basta escrevermos os primeiros e os últimos termos do conjunto e pronto!

 

2.2 Descrição por uma propriedade

Descrição do conjunto A por propriedade

Quando descrevemos os elementos de um conjunto através de uma propriedade, significa que estamos assumindo que todos os elementos deste conjunto satisfazem essa propriedade. A forma de representar isso é descrita logo abaixo:

A possui elementos x tais que esses elementos x tem a propriedade P

Para quem não conhece, aquela barra vertical entre as letras x significa tal que. Então, estamos afirmando aqui que o conjunto A é formado pelos elementos x tais que esses elementos x possuem uma certa propriedade P. Deem uma olhada nesse exemplo para que fique bem claro:

D possui elementos x tais que esses elementos x são divisores inteiros de 5

Reparem que o que está sendo dito acima, é que o conjunto D é formado por elementos x, tais que esses elementos x são divisores inteiros de 5. Mas quais são os divisores inteiros do número 5? 5 é um número primo, então:

Divisores positivos: 1 e 5

Divisores negativos: -1 e -5

Assim, podemos reescrever o conjunto D da seguinte maneira:

D possui os elementos -5, -1, 1 e 5

Agora, antes de finalizarmos nosso texto, vamos estudar 3 conjuntos muito conhecidos e que serão muito importantes para os seus estudos. Vem comigo aqui!

 

3. CONJUNTO UNITÁRIO

Conjunto unitário representado por uma caixa com uma única laranja dentro

Um conjunto unitário é aquele que possui um único elemento.

É importante ressaltar aqui, que quando um conjunto possui um único elemento, significa que há um único algarismo, uma única letra, um único estado, uma única fruta, enfim, que há apenas um único e solitário elemento no conjunto. Isso não quer dizer que necessariamente o elemento do conjunto deva ser o número 1, por exemplo.

Observem o conjunto abaixo para que a ideia fique mais clara:

C possui elementos x que pertencem aos números naturais e se situam entre 3 e 5

Olhando rapidamente, não fica evidente que C é um conjunto unitário. Mas vejam que esse conjunto é formado por elementos que pertencem ao conjunto dos números naturais, e que ao mesmo tempo são valores entre 3 e 5. É claro que o único elemento que pode satisfazer essas duas condições é o número 4, não é? Assim poderíamos reescrever o conjunto C claramente como um conjunto unitário, olhem só!

C possui apenas o elemento 4

 

4. CONJUNTO VAZIO

Conjunto vazio é representado por uma caixa vazia

Um conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum.

Existem duas formas de representar um conjunto vazio. Em uma delas, basta inserir as duas chaves normalmente, mas não colocar elemento algum entre elas. Na outra, não há necessidade de inserir as chaves, mas apenas uma bolinha cortada ao meio, como é possível ver na imagem abaixo:

Representação correta de um conjunto vazio

Pessoal, aí vai um aviso muito importante! É perigoso unir as duas representações do conjunto vazio que acabamos de aprender. Ou usamos uma, ou usamos a outra, porque se unirmos as duas, teremos na verdade a representação de um conjunto unitário!

Não é correto unir as duas formas de representação do conjunto vazio

Certo, já sabemos o que é um conjunto vazio, como representá-lo e como não representá-lo, mas em que situações teremos a presença de um conjunto como esse? O conjunto vazio surgirá, quando não houver elemento algum que consiga satisfazer a condição estabelecida por uma propriedade, ou pelo contexto de determinada questão, como nesse exemplo:

B possui elementos x tais que esses elementos x são ímpares e divisíveis por 2

O conjunto B deve ser formado elementos que sejam números ímpares e ao mesmo tempo divisíveis por 2. Mas gente, vocês já viram algum número ser ímpar e ao mesmo tempo ser divisível por 2? Não tem como, não é? Por isso, nesse caso, B é um conjunto vazio.

B é um conjunto vazio

 

5. CONJUNTO UNIVERSO

Conjunto Universo

Quando desenvolvemos um assunto em matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados nesse assunto. Esse conjunto U é chamado de conjunto universo.

A utilização do conjunto universo vai depender muito de que assunto da matemática estamos tratando. Por exemplo, se nós estamos resolvendo uma equação e sabemos que o resultado dela só pode ser um número positivo, então o conjunto universo dessa solução será o conjunto dos números naturais (ℕ). Em muitas equações, são admitidas soluções dadas por números positivos e negativos, decimais finitos, ou mesmo dízimas periódicas. Nesses casos, podemos dizer que o conjunto universo das soluções dessas equações é o conjunto dos números reais (ℝ), e assim por diante!   

E hoje, ficamos por aqui! Espero que tudo o que foi visto nesse texto tenha contribuído para o conhecimento de vocês, e que também os ajude a resolver uma série de questões! Não deixem de ver o vídeo que estou deixando em anexo, afinal de contas, com mais exemplos, fica ainda mais fácil de entender tudo o que foi abordado.

Um forte abraço! Ótimos estudos!