LOSANGO

23/08/2019

O losango é um quadrilátero cujos 4 lados possuem a mesma medida. Por isso, pode-se dizer que todo o quadrado é um losango, e não fosse a diferença no valor dos ângulos internos de ambas as figuras, também poderia se afirmar o contrário.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Por um acaso vocês já repararam nas figuras geométricas da bandeira do Brasil? Pois então, aquela de cor amarela é o quadrilátero notável que vamos estudar hoje, o losango! Neste texto, falaremos sobre todas as propriedades do losango e sobre como é possível calcular a sua área. Esses conceitos são extremamente simples, mas de uma importância enorme para quem é estudante do ensino médio e está buscando uma vaga no ensino superior.

E você, se identificou com esse objetivo mas não está conseguindo se organizar para obter um bom desempenho nas provas de matemática do ENEM e dos vestibulares? A plataforma do Professor Ferretto pode te ajudar! Lá você encontra videoaulas, exercícios, simulados sobre toda a matemática do ensino médio e um plano de estudos que organiza tudo isso pra você! Além disso, todos os alunos do curso têm a sua disposição aulas de física e de química, sabia? Seja um aluno do Professor Ferretto! Acesse o site e confira todos os benefícios do curso!

Entendido, pessoal? Então, para quem não conhece, esse é o losango!

quadrilátero losango

Vamos iniciar nossos estudos conhecendo todas as propriedades desse quadrilátero. Venham comigo!

 

1. PROPRIEDADES DO LOSANGO

caderno onde está escrito propriedades e um losango está desenhado

Nem todo paralelogramo é um losango, mas todo losango é considerado um paralelogramo. Por isso, algumas propriedades do losango também são comuns aos paralelogramos em geral, enquanto outras pertencem exclusivamente a ele. É chegada a hora de estudarmos cada uma dessas propriedades com detalhes. Vamos lá!

 

1.1 Em todo losango os dois lados opostos são sempre paralelos e congruentes

losango e paralelogramo com os lados a e b paralelos e congruentes destacados

Essa propriedade nos mostra que os dois lados opostos de um losango são sempre paralelos e de mesma medida. Aliás, aí vai uma dica: todo quadrilátero que possui os dois lados opostos paralelos é um paralelogramo! É daí que vem o nome!

 

1.2 Todo losango possui os seus quatro lados congruentes

todos os lados do losango possuem o mesmo comprimento l

Os quatro lados de um losango possuem o mesmo comprimento l. E aí vocês poderiam se perguntar: mas isso não acontece com o quadrado também? Claro que sim! Por isso é possível dizer que todo quadrado é um losango, e que todas as propriedades do losango também são válidas para o quadrado!

 

1.3 Em todo losango as diagonais interceptam-se nos seus pontos médios

diagonais do losango e do paralelogramo se cruzam no ponto M

As diagonais dos losangos, e de qualquer outro paralelogramo, cortam-se exatamente em seus respectivos pontos médios. Isso significa que de cada vértice do losango, até o ponto M, tem-se a metade da medida da diagonal total correspondente.

Incrível, não é mesmo? Mas as diagonais do losango, exclusivamente, possuem outras características interessantes. Todo losango possui duas diagonais, mas sempre haverá uma diagonal de comprimento maior do que a outra. É por isso que nomeamos elas como D e d. A diagonal maior é representada pela letra D maiúscula, enquanto que a diagonal de comprimento menor é representada pela letra d minúscula.

diagonais maior e menor do losango em destaque

Aluna pergunta: Mas me explica uma coisa, Ferretto: como é que eu sei qual é a diagonal maior e qual é a diagonal menor?

Pessoal, isso é uma questão de visualização mesmo! Tudo vai depender de como o losango está posicionado, mas não vale a pena se preocupar com isso. A forma como vocês nomearem as diagonais não vai interferir em nenhuma das fórmulas que serão apresentadas aqui!

 

1.4 As diagonais do losango são perpendiculares entre si

diagonais do losango formam um ângulo de 90 graus entre si

Através desta propriedade, pode-se compreender que diagonais do losango formam um ângulo de 90º entre si, dividindo esta figura em quatro triângulos retângulos iguais. Bom, é fato que todo triângulo retângulo está estritamente relacionado com o Teorema de Pitágoras. Por isso, esse teorema poderá ser utilizado para associarmos a medida l do lado do losango, com a metade da medida de cada uma de suas diagonais.

“O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos”

um dos quatro triângulos retângulos formado no losango com suas respectivas medidas e a fórmula do teorema de Pitágoras correspondente ao lado

 

1.5 Em todo losango os dois ângulos opostos são sempre congruentes

dois ângulos opostos do losango e do paralelogramo são sempre congruentes

Como pode ser visto na imagem, os dois ângulos opostos de qualquer losango são sempre iguais, ou têm a mesma medida. Bom, essa propriedade vale para qualquer paralelogramo. Mas além disso, reparem que os ângulos que nomeamos como α são menores que 90º, ou seja, são agudos, enquanto que os ângulos que chamamos de β são maiores que 90º, isto é, são obtusos. Se o valor de β fosse reduzido, e o de α fosse aumentado, a ponto de ambos serem iguais a 90º, teríamos a nossa frente um quadrado!

Legal, não é? Na próxima propriedade, vamos conhecer mais uma característica interessante que envolve os ângulos e as diagonais do losango.  É só vir comigo!

 

1.6 As diagonais do losango são bissetrizes dos seus vértices

diagonais do losango dividem seus ângulos internos pela metade

Uma bissetriz é uma reta que divide um ângulo em duas partes iguais. Assim, sendo as diagonais bissetrizes dos vértices do losango, na medida em que cada uma delas parte de um dos vértices deste quadrilátero rumo ao seu vértice oposto, acaba por dividir os dois ângulos α e β pela metade. Desta forma, surgem quatro ângulos iguais, de medida α/2 e β/2.

 

1.7 Em todo losango dois ângulos consecutivos são sempre suplementares

dois ângulos consecutivos do losango são sempre suplementares

Dois ângulos são suplementares, se a soma de seus valores resultar em 180º. Assim, podemos dizer que no losango e em qualquer paralelogramo:

α + β = 180˚

 

2. FÓRMULA DA ÁREA DE UM LOSANGO

losango dentro de um retângulo

A forma como a área do losango é definida tem tudo a ver com outro quadrilátero muito conhecido, aquele que está contornando o losango na figura acima. Pode ser que vocês ainda não tenham reparado na relação que o retângulo e o losango têm, por isso, vamos ver se a figura abaixo consegue deixar isso mais claro.

diagonal D tem a mesma medida que a base do retângulo e a diagonal d tem a mesma medida que a altura do triângulo

Ao desenharmos as diagonais do losango, duas coisas ficam evidentes: a primeira delas é que a medida da diagonal maior do losango, D, é exatamente igual a medida da base b do retângulo. Como não podia ser diferente, a medida da diagonal menor do losango, d, é exatamente igual a medida da altura h do retângulo.

Além disso, é fato que as diagonais do losango o dividem em 4 triângulos retângulos iguais, como já vimos anteriormente neste texto. Mas o mais impressionante aqui, é que se prestarmos atenção na área do retângulo que não pertence ao losango, veremos que ela é composta por outros 4 triângulos retângulos iguaizinhos àqueles que compõem o losango, olhem só:

Destaque para os 4 triângulos retângulos formados externamente ao losango e internamente ao retângulo

Portanto, podemos concluir que com um único retângulo é possível formar dois losangos! Por consequência, é claro que o losango possui exatamente a metade da área do retângulo. E como a área do retângulo é dada pelo produto da medida de sua base pela medida de sua altura, podemos chegar à fórmula da área do losango da seguinte forma:

Ferretto mostra a fórmula da área do losango no quadro negro

Pode-se dizer, então, que a área do losango é dada pela metade do produto de suas diagonais.

Certo, pessoal?! Chegou o momento de aplicarmos todos os conhecimentos adquiridos hoje. Vamos resolver um exercício juntos. Vem comigo aqui!

 

3. EXERCÍCIO RESOLVIDO SOBRE O LOSANGO

Livro aberto onde está escrito Exercício Resolvido

Num losango, a soma dos ângulos obtusos é o dobro da soma dos agudos. Se a diagonal menor do losango mede 12 cm, determine o seu perímetro e a sua área.

 

Pessoal, a primeira coisa a se fazer quando estamos resolvendo qualquer exercício de geometria é desenhar as informações que o enunciado traz. Começaremos focando nos ângulos do losango.

losango onde estão em destaque os ângulos alfa e beta

O enunciado nos diz que a soma dos ângulos obtusos é o dobro da soma dos agudos. Bom, segundo a 5ª propriedade que estudamos neste texto, os dois ângulos opostos de um losango são sempre congruentes. Além disso, é fato que o ângulo α possui uma abertura um pouco menor que 90º, enquanto β possui uma abertura um pouco maior que 90º. Portanto, α é um ângulo agudo, e β é um ângulo obtuso. Sendo assim, podemos transformar a informação dada na seguinte equação:

β+β=2·(α+α) resulta em β=2α

Até aí, tudo certo? Apesar de termos montado uma equação muito interessante, reparem, ainda estamos em função dos dois ângulos α e β. Desta forma, para resolvermos o problema, precisamos procurar mais alguma informação sobre os ângulos do losango. E não é que a 7ª propriedade que estudamos relata que dois ângulos consecutivos do losango são sempre suplementares? Pois bem, então é fato que:

α + β = 180 °

Substituindo na fórmula dos ângulos suplementares o valor de β obtido na primeira equação que montamos, temos que:

α + 2∙α = 180°

3∙α = 180°

α = 60°

Assim:

β = 2∙α

   β = 120°

ângulos internos do losango valem 60 e 120 graus

Aí fica a pergunta: como é que vamos descobrir a área e o perímetro do losango apenas com o valor de seus ângulos? Felizmente, sabendo que a medida da diagonal menor do losango é 12 cm, podemos resolver o problema de duas formas diferentes. Acompanhem cada uma delas comigo!

 

1ª Forma de resolver o problema

diagonal de 12 cm é desenhada no losango dividindo-o em dois triângulos equiláteros

Já que conhecemos a medida da diagonal menor do losango, por que não a ilustrar em nosso desenho para ver o que acontece? Incrivelmente, ao fazermos isso, nos deparamos com o conhecimento abordado na 6ª propriedade que estudamos: a diagonal do losango divide o ângulo β pela metade!

Curiosa essa figura formada, não é mesmo? Como neste losango o ângulo β é equivalente ao dobro do ângulo α, quando traçamos a sua diagonal menor, acabamos dividindo o mesmo em dois triângulos cujos ângulos internos são todos iguais. Acontece que só existe um tipo de triângulo em que isso é possível: no triângulo equilátero!

todos os 4 lados do losango medem 12 cm

O triângulo equilátero, como o próprio nome sugere, é aquele cujos 3 lados e os 3 ângulos internos possuem a mesma medida. Isso nos permite concluir que o lado l do losango mede 12 cm também.

Sabendo que o perímetro de qualquer figura geométrica é dado pela soma do comprimento de todos os seus lados, já temos condições de calcular o perímetro deste losango:

P = l + l + l + l

P = 4∙l

P = 4∙12

P = 48 cm

Agora, só nos resta calcular a área do losango. Nesta primeira forma de resolver a questão, vamos utilizar o mesmo conceito que nos levou a descobrir a medida do lado l do losango: o triângulo equilátero. É fato que o losango desse exercício é composto por 2 triângulos equiláteros. Então, se nós descobrirmos a área desse triângulo e a multiplicarmos por 2, certamente teremos o valor da área do losango. Acompanhe comigo:

triângulo equilátero de lado l e sua fórmula da área

área do losango com base na área de dois triângulos equiláteros

 

2ª Forma de resolver o problema

triângulo retângulo com suas respectivas medidas dos catetos e da hipotenusa que são as diagonais e o lado do losango

Vamos supor agora a seguinte situação: vocês identificaram que a diagonal menor do losango o divide em dois triângulos equiláteros, e assim, descobriram que o lado do losango também mede 12 cm. Tendo isso por base, calcularam o perímetro do losango, mas quando chegou a hora de calcular a área não perceberam que ela podia ser obtida através da área do triângulo equilátero.

Sem problemas, pessoal! Também podemos resolver esse problema considerando um detalhe muito interessante que aprendemos na 4ª propriedade deste texto. Como as diagonais do losango são perpendiculares entre si, podemos formar 4 triângulos retângulos dentro do mesmo. Utilizando o Teorema de Pitágoras em qualquer um deles, é possível encontrar a medida da diagonal maior do losango, D. Lembram da fórmula que vimos lá em cima? Pois chegou a hora de utilizarmos ela!

diagonal maior do losango é encontrada através do teorema de pitágoras

Agora, é possível encontrar a área do losango utilizando a sua própria fórmula da área, olhem só:

área do losango com base na própria fórmula da área do losango

E aí, o que acharam do texto de hoje? Espero que ele tenha sido extremamente proveitoso para os seus estudos, e que ajude vocês a desvendar a geometria plana com mais facilidade! É claro que em anexo fica o vídeo que trata do assunto. Deem uma olhada nele, pois lá são resolvidos mais alguns exercícios que unem os conceitos de losango à trigonometria e à semelhança entre triângulos.

Um forte abraço, pessoal! Até breve!