MÉDIA, MODA E MEDIANA

11/05/2019

Na matemática, média, moda e mediana são conhecidas como medidas de tendência central, porque visam representar uma certa quantidade de valores através de um único número. Cada uma dessas medidas envolve fórmulas e aplicações diferentes, tornando a estatística ainda mais fascinante!

 

Olá, pessoal, tudo bem com vocês?

Hoje vamos aprender um pouco mais sobre os conceitos da Estatística Descritiva abordando as Medidas de Tendência Central, também conhecidas como Medidas de Localização ou Medidas de Posição. As medidas de tendência central mais utilizadas são a média aritmética, a moda e a mediana.

Vocês vão ver nesse texto, que é muito simples diferenciar o que é média, moda e mediana. Por isso, já vou logo avisando, quem não estiver bem firme quanto a essas definições, com certeza vai ter dor de cabeça lá nas provas do ENEM e dos vestibulares. Mas evitar isso é simples, pessoal, basta garantir a melhor preparação na plataforma do Professor Ferretto! Só lá tem o conteúdo completo de estatística e de todos os assuntos da matemática do ensino médio, com videoaulas, exercícios resolvidos em vídeo, material didático e muito mais! Chega de perder tempo. Acessem o site e conheçam o melhor curso de matemática do país!

Entendido, pessoal? Não parece, mas existem diversas situações da vida cotidiana em que um certo conjunto de valores precisa ser representado por um único número. Essas situações nos ajudarão a entender os conceitos de média, moda e mediana. Então, vem comigo!

 

1. MÉDIA ARITMÉTICA (MA)

O que é a média aritmética (MA)?

A média aritmética é a medida de tendência central mais conhecida e mais utilizada para representar um conjunto de valores. Ela pode ser dividida em dois tipos: a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. Vamos ver como calcular cada uma delas na sequência.

 

1.1 Média aritmética simples

Na média aritmética simples todos os valores possuem o mesmo peso

A média aritmética simples de um conjunto de valores (x1x2x3, …, xn), nada mais é do que a soma de todos os valores desse conjunto dividida pela quantidade de valores que se está somando. A expressão matemática abaixo “traduz” esse conceito:

Fórmula da média aritmética simples

De fato, a expressão que acabamos de conhecer não parece ser muito complexa. Mas não é por esse motivo que a média aritmética que estamos abordando é considerada simples, e sim, porque nesse caso, todos os valores do conjunto têm pesos iguais.

Vou exemplificar melhor para vocês entenderem. Vamos analisar agora as idades dos alunos de uma sala de aula. Supondo que os 8 meninos dessa sala possuam as seguintes idades: 13, 16, 15, 17, 13, 16, 15 e 15 anos. Então, a idade que melhor representa as idades dos meninos da turma pode ser obtida quando calculamos a média aritmética desta sequência. Para isso, basta somarmos todas as idades e dividirmos pelo número total de meninos:

Exemplo do cálculo de média aritmética simples

Vejam que a média encontrada foi de 15 anos. Isso significa que 15 anos é a idade que melhor representa a idade do conjunto de meninos da sala de aula do nosso exemplo, em termos de média.

Agora, vamos pensar em outro caso. Um aluno que realiza 5 provas durante um bimestre, e obtêm as notas 9,0; 7,0; 3,0; 8,0; e 7,0. Imaginem que, para ser aprovado, esse aluno precisa atingir uma nota final maior ou igual a 7,0. Essa nota final pode ser obtida através da média aritmética simples. Vamos calculá-la e ver se o aluno foi aprovado ou não:

Segundo exemplo do cálculo de média aritmética simples

Humm, parece que foi por pouco, mas não deu! O jeito é estudar mais, meu caro!

 

1.2 Média aritmética ponderada

Na média aritmética ponderada os valores possuem pesos diferentes

É pessoal, o aluno do nosso exemplo não se deu bem no último bimestre. Mas e se por um acaso o professor tivesse dado mais importância a algumas avaliações dentre as outras, ou seja, se ele resolvesse atribuir pesos diferentes para cada prova do bimestre, será que o nosso aluno teria seria aprovado? Em casos como esse a análise fica um pouquinho mais complexa, olhem só!

Fórmula da média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada é utilizada quando cada valor do conjunto de valores que visa ser representado por um único número, possui um peso diferente. O cálculo consiste em multiplicar cada valor do conjunto (x1x2, x3, …, xn) pelo seu peso (p1, p2, p3, …, pn), somar todos os resultados dessa multiplicação e por fim, dividir o valor obtido pela soma de todos os pesos.

O que a grandeza peso têm a ver com a média ponderada?

Fiquem tranquilos, pessoal! Vou explicar direitinho o que isso quer dizer através do caso das notas do nosso aluno exemplo.

Tabela com exemplos de dados para cálculo da média ponderada

Através da tabela, é possível percebermos que as duas primeiras avaliações do aluno, neste exemplo, tiveram peso 2, enquanto a terceira teve peso 3, e as demais tiveram peso 1. Isso significa que a 3ª avaliação será a que mais contribuirá para a média do aluno.

Exemplo do cálculo de média aritmética ponderada

Humm, parece que neste caso, as coisas também não terminaram bem para o aluno. Isso era provável, já que ele tirou a menor nota na avaliação que mais valia! Podemos entender melhor essa situação, quando entendemos o significado real da média aritmética ponderada.

 

O que significa média ponderada?

O que significa média ponderada?

Quanto maior for o número de avaliações realizadas em um bimestre/trimestre/semestre, maior é a chance do aluno se sair bem, e assim, conseguir sua aprovação. Por isso, calculando a nota final do aluno através da média aritmética ponderada, o professor tem a chance de e ampliar o número de avaliações, sem ter feito isso fisicamente.

Conhecendo esse conceito, o nosso aluno poderia, por exemplo, ter se dedicado mais para a 3ª avaliação, já que ela valia por 3 avaliações na verdade, e assim, mesmo que não se saísse tão bem na última, que valia apenas por 1 avaliação, ele poderia garantir sua aprovação.

Tabela com outros exemplos de dados para cálculo da média ponderada

Segundo exemplo do cálculo de média aritmética ponderada

E não é que agora deu certo? Sendo assim, podemos partir para a próxima medida de tendência central apresentada neste texto. Vamos lá!

 

2. MODA (Mo)

O que é Moda (Mo)?

A moda de um conjunto de dados pode ser definida como o valor que ocorre com mais frequência dentro deste conjunto. Por isso, é possível descobrir a moda de uma sequência de valores facilmente, apenas observando o número que mais aparece nela.

Para entender direitinho como proceder, vamos lembrar do conjunto de dados formado pela idade dos meninos de uma turma de alunos:

13, 16, 15, 17, 13, 16, 15, 15

Analisando brevemente esta sequência, podemos perceber que o número que aparece com maior frequência é o 15. Então, nesta sala de aula, a idade mais frequente é 15 anos.

Voltando também ao exemplo das notas do aluno, podemos encontrar facilmente a nota mais frequente dentro da sequência de números.

9, 7, 3, 8, 7

Com toda a certeza, a nota mais frequente obtida pelo aluno é 7. Agora, reparem nas sequências seguintes. Qual é a moda de cada uma delas?

12, 20, 56, 34, 15, 5, 7, 12, 5

1, 9, 2, 1, 4, 6, 5, 3, 2, 9

6, 2, 3, 81, 47, 4, 52, 66, 39, 20

 

Quando uma sequência possui mais de uma moda

Quando procuramos o valor mais frequente dentro da sequência 12, 20, 56, 34, 15, 5, 7, 12, 5, percebemos que tanto o número 12 quanto o número 5 se repetem duas vezes. Sem problemas! Isso significa que a sequência é bimodal, ou seja, possui duas modas. Algo semelhante ocorre com a segunda sequência, 1, 9, 2, 1, 4, 6, 5, 3, 2, 9. Nela, os números 1, 2 e 9 são os valores mais frequentes. Assim, podemos dizer que a sequência é trimodal.

Portanto, pessoal, não se assustem se vocês encontrarem uma sequência com 10, 20, ou 30 modas! Existem mesmo sequências multimodais. É claro que o contrário também é válido. Sequências como a do nosso 3º exemplo, 6, 2, 3, 81, 47, 4, 52, 66, 39, 20, não possuem nenhum valor mais frequente, e por isso, são chamadas de amodais.

Tu certo até aí?! Então, vamos ver do que se trata a última medida de tendência central, a mediana. Siga comigo!

 

3. MEDIANA (Me)

O que é Mediana (Me)?

A mediana de um conjunto de valores é o valor que está no centro desse conjunto. Desta forma, a metade dos demais elementos do conjunto ficam abaixo da mediana, ou seja, são valores menores que ela, e a outra metade dos elementos fica acima da mediana, pois são valores maiores do que ela.

Ficou difícil de visualizar? Claro, sem uma sequência numérica é complicado mesmo. Por isso, aí vem novamente aquele conjunto de valores que representa a idade dos meninos de uma turma.

13, 16, 15, 17, 13, 16, 15, 15

Sempre que vocês desejarem encontrar a mediana de uma sequência, devem começar reorganizando a mesma em ordem crescente ou decrescente, tanto faz. Aí é só ficar atento aos seguintes detalhes:

  • se a sequência apresentar número de elementos ímpar, então, a mediana será o número que ocupar a posição central do conjunto de elementos;
  • já se a sequência apresentar número de elementos par, então, a mediana será a média aritmética simples dos dois números que estiverem no centro do conjunto de elementos.

Sendo assim, vamos logo colocar a sequência do exemplo em ordem crescente. Olhem só!

Exemplo de cálculo da mediana com sequência de elementos par

Incrível, não é mesmo? Mais incrível do que isso é a interpretação que podemos fazer do caso. Podemos dizer que metade dos meninos da turma possui idade menor ou igual a 15 anos, e a outra metade deles possui idade maior ou igual a 15. Fácil, né?!

Agora, vamos ver qual é a mediana das notas do aluno que analisamos anteriormente (9, 7, 3, 8, 7). Desta vez, reorganizaremos a sequência em ordem decrescente, acompanhem:

Exemplo de cálculo da mediana com sequência de elementos ímpar

 

Importante

Ferretto chamando atenção para a utilização das medidas de tendência central

Eu sei, pessoal, que vocês já estão cansados de ver as notas do nosso aluno exemplo. Mas, pela última vez, elas serão usadas para nos mostrar quando devemos utilizar cada medida de tendência central.

9, 8, 7, 7, 3

MA = 6,8

Mo = 7

Me = 7

Apesar dos valores de média aritmética simples, moda e mediana serem parecidos neste caso, o conceito de todas essas medidas de tendência central nos leva a crer que o método mais justo de obter a nota final do aluno é a média aritmética. Isso porque, para aprovação, deve ser considerado o desempenho do aluno em todas as avaliações, e assim, se o critério utilizado fosse a moda ou a mediana, poderíamos estar desprezando tanto desempenhos próximos do máximo, quanto os piores desempenhos.

Agora, se o contexto for outro, e por exemplo, alguns dados destoarem muito do conjunto, pode ser que a moda e a mediana demonstrem mais eficiência para caracterizar todo o conjunto de valores do que a média aritmética. Isso porque essas medidas não são afetadas por valores muito altos ou baixos do conjunto. Reparem na seguinte sequência:

2, 2, 3, 2, 50

Se calcularmos a média aritmética aqui, não teremos o valor que melhor descreve esse conjunto.  O valor 50 faz com que essa média seja alta, mais precisamente 11,8. No entanto, repare que 4 dos 5 valores estão entre 2 e 3. Por isso, a moda ou a mediana poderiam representar muito melhor o conjunto de valores, já que ambas a são iguais a dois.

Certo, pessoal?! Depois de todo o conhecimento visto no texto de hoje, está mais do que na hora de encerrá-lo, não é? Mas antes, vamos praticar um pouquinho. Vem comigo!

 

4. EXERCÍCIOS

Para começarmos o treino rumo as provas do ENEM e dos vestibulares, nada melhor do que resolvermos uma série de exercícios. Deixo abaixo, três questões muito interessantes que tratam das medidas de tendência central. Resolvam cada uma delas, e depois confiram comigo a resolução em vídeo!

Bons estudos, pessoal! Vejo vocês no próximo post!

 

1) (EEAR) Ao calcular a média aritmética das notas dos Testes Físicos (TF) de suas três turmas, um professor de Educação Física anotou os seguintes valores:

Exemplo 1 resolvido em vídeo pelo Ferretto

A média aritmética das notas do TF dos 90 alunos das turmas A, B e C é:
a) 8,0
b) 8,1
c) 8,2
d) 8,3

 

 

2) (ENEM) Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante a primeira subida do térreo, de onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar do edifício.

Exemplo 2 resolvido em vídeo pelo Ferretto

Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida do térreo ao quinto andar?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

 

 

3) (ENEM) Uma pessoa está disputando um processo de seleção para uma vaga de emprego em um escritório. Em uma das etapas desse processo, ela tem de digitar oito textos. A quantidade de erros dessa pessoa, em cada um dos textos digitados, é dada na tabela.

Exemplo 3 resolvido em vídeo pelo Ferretto

Nessa etapa do processo de seleção, os candidatos serão avaliados pelo valor da mediana do número de erros. A mediana dos números de erros cometidos por essa pessoa é igual a:
a) 2,0.
b) 2,5.
c) 3,0.
d) 3,5.
e) 4,0.