PARALELOGRAMO

24/07/2019

O paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Estudar as propriedades do paralelogramo significa entender algumas definições sobre as medidas de seus lados, suas diagonais e sobre os seus ângulos internos.

 

Olá, pessoal! Tudo bem?

Os quadriláteros, dentro da geometria plana, são os polígonos que possuem quatro lados. Mas é só a gente parar um pouco para pensar, que logo nos vem a mente uma série de figuras geométricas que possuem 4 lados, não é? Nosso texto de hoje abordará apenas uma delas, o paralelogramo, e também suas propriedades! Além disso, descobriremos juntos como calcular a área de um paralelogramo, um conceito que pode nos ajudar a resolver inúmeras questões do ENEM e dos vestibulares!

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Preparados!? Então, sem mais delongas, vamos iniciar o estudo dos paralelogramos. Venham comigo!

 

1. PROPRIEDADES DO PARALELOGRAMO

forma geométrica do paralelogramo

Para quem não conhece, a figura geométrica apresentada na imagem acima é um paralelogramo! O formato dessa figura é resultante de uma série de propriedades que envolvem as medidas de seus lados, de as suas diagonais e também dos seus ângulos internos. Vamos estudar cada uma dessas propriedades agora mesmo. É só seguir comigo!

 

1.1 Em todo paralelogramo, os dois ângulos opostos são sempre congruentes

alfa e beta são ângulos opostos no paralelogramo

A primeira propriedade nos mostra que em qualquer paralelogramo, os dois ângulos opostos possuem o mesmo valor. Mas vocês sabem o que são ângulos opostos? A imagem abaixo tentará esclarecer esse detalhe.

o que são ângulos opostos?

 

1.2 Em todo paralelogramo, os dois lados opostos são sempre paralelos e congruentes

lados opostos do paralelogramo possuem as mesmas medidas a e b

A propriedade anterior nos informou que os dois ângulos opostos do paralelogramo são sempre congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Felizmente, podemos dizer que os lados opostos do paralelogramo também possuem o mesmo comprimento.

Mas para entendermos a segunda propriedade por completo, precisamos conhecer a definição de “paralelo” para a geometria. Dois segmentos distintos são paralelos, quando mantém a mesma distância entre si ao longo de toda a sua extensão, de forma a jamais se cruzar, ou ter algum ponto em comum.

duas retas paralelas sempre mantém a mesma distância ao longo de sua trajetória

Reparem nos segmentos da figura acima. Eles representam os dois lados opostos de um paralelogramo, só que a título de exemplo, eles foram  levemente aproximados. Se nós os observarmos com atenção, veremos que esses segmentos realmente nunca poderão se encontrar se manterem a mesma distância entre si ao longo de toda a sua extensão. Isso nos mostra que os dois lados opostos do paralelogramo são mesmo paralelos.

 

1.3 Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos seus pontos médios

as diagonais do paralelogramo interceptam-se no ponto M

Todo o quadrilátero convexo possui duas diagonais, como as que vemos na imagem acima. Acontece que no paralelogramo, o ponto em que as duas diagonais se encontram, e que chamamos de M, acaba sendo o ponto médio de ambas as diagonais.

a diagonal AD mede 4 cm e a diagonal BC mede 2 cm

O ponto médio de um segmento sempre irá o dividi-lo pela metade. Por isso, vocês podem ter certeza que a diagonal AD, do paralelogramo acima, mede 4 cm, enquanto que a diagonal BC mede 2 cm.

 

1.4 Em todo paralelogramo, dois ângulos consecutivos são sempre suplementares

os ângulos alfa e beta do paralelogramo somam 180 graus

Para entendermos a última propriedade dos paralelogramos, vamos relembrar, primeiramente, o que são ângulos suplementares. Dois ângulos α e β são suplementares, se a soma de seus valores resultar em 180º.

α + β = 180º

Agora, vamos ao conceito de ângulos consecutivos. Um ângulo é consecutivo a outro, quando vem depois do outro, ou quando se encontra na sequência do outro. Na imagem abaixo, vejam, se tomarmos por base o ângulo α que se encontra mais a esquerda no paralelogramo, temos que o ângulo que aparece na sequência é o β. Por isso, α e β são consecutivos. Para simplificar, entendam ângulos consecutivos como ângulos “vizinhos”, como também mostra a imagem seguinte.

alfa e beta representam ângulos vizinhos no paralelogramo

 

2. APLICANDO AS PROPRIEDADES DO PARALELOGRAMO

paralelogramo em que o valor de apenas um de seus ângulos internos é informado

Dado o paralelogramo da imagem acima, encontre todos os seus demais ângulos internos.

Pensando na primeira propriedade dos paralelogramos, podemos definir, logo de cara, o ângulo oposto ao ângulo de 30º apresentado na imagem.

dois ângulos opostos do paralelogramo valem 30 graus

Agora, já podemos utilizar a 4ª propriedade dos paralelogramos! Isso porque o ângulo que ainda não conhecemos é o ângulo consecutivo, ou vizinho de 30º. Se consideramos este ângulo como sendo α, encontraremos o valor de β num instante através da relação dos ângulos suplementares, vejam só!

α + β = 180º

30º + β = 180º

β = 180º – 30º

β = 150º

paralelogramo com as medidas de 30 e 150 graus

Tranquilo, não é mesmo? Assim, podemos partir para o próximo item do texto. Veremos na sequência, como encontrar a área de um paralelogramo. Sigam comigo!

 

3. ÁREA DE UM PARALELOGRAMO

paralelogramo divivido em diversos quadrados

Para calcular a quantidade de m², cm², km² de uma figura geométrica, ou seja, para calcular a sua área, precisamos conhecer o valor de suas dimensões. No caso do paralelogramo, devemos conhecer o valor de sua base, representada por b, e de sua altura, representada por h.

paralelogramo é apresentado com detaque para as medidas da base e da altura

Vejam na imagem acima, que a altura do paralelogramo é a medida daquele segmento que sai da base b, formando um ângulo de 90º com ela, e vai em direção ao lado oposto do paralelogramo. Nesse sentido, é muito importante não confundir o seguinte detalhe: a medida da altura de um paralelogramo não é igual a medida de um de seus lados!

altura do paralelogramo não é igual a medida de um de seus lados

Conhecendo o comprimento da base e da altura do paralelogramo, é possível definir a sua área através da fórmula:

aluno apresenta em um quadro a fórmula da área do paralelogramo

É verdade que observando o segmento que representa a altura do paralelogramo, poderíamos pensar que a fórmula não condiz com a sua real área. Mas se analisarmos o caso por outro lado, não teremos dúvidas de que a fórmula está correta.

paralelogramo é dividido em 2 triângulos para comprovar sua fórmula da área

O fato é que todos os quadriláteros podem ser considerados como a união de dois ou mais triângulos. Vejam na imagem acima, que o paralelogramo é formado por dois triângulos. A fórmula da área do triângulo é equivalente a metade do produto entre a sua base e a sua altura. Aí eu pergunto: o que acontece quando unimos duas metades de um todo? Temos um valor inteiro, não é? Por isso, a área de um paralelogramo pode sim ser dada pelo produto entre a medida de sua base e a medida de sua altura.

Bom, chega de fórmulas por hoje! Vamos aplicar tudo que aprendemos nesse texto resolvendo um exercício bastante intrigante. Olhem só!

 

4. EXERCÍCIO RESOLVIDO

livro mostrando um exercício resolvido

Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área igual a 24 cm². M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente. Determine a área do polígono AMND.

polígono AMND está inserido dentro do paralelogramo

Vejam, pessoal, que o exercício está nos pedindo para calcular a área da polígono verde, que está dentro do paralelogramo. Mas assim, só de olhar, vocês saberiam dizer o nome dessa figura geométrica? Retângulo, paralelogramo, triângulo, losango, … Pois é, parece que não sabemos nada sobre ela. Agora, reparem nas partes que não pertencem a área verde dentro do paralelogramo. Não são triângulos? Opa, dessas figuras nós sabemos como encontrar a área!

É essa sacada que precisamos ter para resolver exercícios do ENEM e dos vestibulares. Às vezes a solução dos problemas não é óbvia, mas é muito simples! Nosso foco agora, será encontrar a área desses dois triângulos externos ao polígono AMND. Depois, é só descontar os resultados do valor da área do paralelogramo como um todo, os 24 cm² dados no enunciado.

Fazer uso do desenho é algo muito importante, principalmente na geometria plana. Nesse sentido, a fim de não nos perdermos na resolução do caso, chamaremos um dos triângulos da figura de número 1 e o outro de número 2.

triângulo maior é nomeado como 1 e o menor como 2

Observem que na imagem acima, também já estão identificadas as medidas da base e da altura do paralelogramo, como b e h, respectivamente. Assim, podemos afirmar com toda a certeza que:

24 = b × h

Certo, mas e a área dos nossos triângulos? Agora chegou o momento em que devemos interpretar direitinho como aqueles pontos M e N podem nos ajudar a resolver a questão.

 

Utilizando o conceito de ponto médio …

O próprio enunciado nos diz: “M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente”. Ora, se eles são pontos médios do segmento em que se encontram, então quer dizer que eles dividem esses segmentos pela metade, como vimos neste texto!

os pontos médios dos lados do paralelogramo determinam as medidas da base e da altura dos triângulos

Conhecendo esse detalhe, nós conseguimos definir que a medida da base do triângulo 1 é igual a medida da base do paralelogramo, b. Já a sua altura, certamente será a metade da altura do paralelogramo, ou h/2, como mostra a imagem acima. Com relação ao triângulo 2, podemos perceber que a medida da sua base será a metade da medida da base do paralelogramo, ou seja, b/2, enquanto que sua altura, será igual a do triângulo 1, h/2. Substituindo esses valores na fórmula da área do triângulo, podemos chegar a algumas conclusões:

substituindo as medidas da base e da altura dos triângulos nas fórmulas da área do triângulo

 

E agora …

Encontramos os valores das áreas de ambos os triângulos, contudo, o que fazer com as incógnitas b e h, que representam as medidas da base e da altura do paralelogramo? Pessoal, nós montamos uma equação para a área do paralelogramo no início desta resolução. Assim, sabemos que a multiplicação de por resulta em 24. Por isso, podemos substituir esse valor nas equações que acabamos de obter:

área do triângulo 1 vale 6 cm quadrados e a do triângulo 2 vale 3 cm quadrados

Neste momento, já temos condições de calcular a área da figura AMND que a questão nos pede. Vamos descontar da área do paralelogramo, as áreas dos dois triângulos que não compõem a figura.

AAMND = Aparalelogramo – At1 – At2

AAMND = 24 – 6 – 3

AAMND = 15 cm2

Gostaram do exercício? É com ele que concluímos mais um texto! Espero que vocês tenham apreciado os conceitos do paralelogramo, e que possam aplicar com facilidade tudo o que aprendemos quando precisarem. Em anexo, é claro, fica o vídeo que complementa o assunto. Deem uma olhada nele, garanto que vocês encontrarão mais alguns exercícios resolvidos e assim, estarão prontos para responder qualquer questão sobre o assunto!

Um abraço a todos! E ótimos estudos!