QUADRILÁTERO INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA

03/05/2019

Podemos dizer que um quadrilátero está inscrito em uma circunferência, quando todos os 4 vértices desse polígono de 4 lados tocam o seu segmento. Pode não parecer, mas esse fenômeno matemático dá origem a uma propriedade muito interessante, que torna este texto imperdível!

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Estamos aqui novamente para estudar mais um belíssimo conceito que a geometria plana nos traz. É verdade que diversas figuras geométricas podem se inscrever na circunferência, mas quando isso ocorre com o quadrilátero, os seus ângulos internos se comportam de uma maneira muito interessante. Querem descobrir que maneira é essa? Então, sigam comigo!

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E agora, vamos começar? Mal posso esperar para mostrar para vocês como entender e aplicar o conceito de quadrilátero inscrito na circunferência.

 

1. PROPRIEDADE DO QUADRILÁTERO INSCRITO

Quadrilátero inscrito na circunferência

Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência, então os seus ângulos opostos são suplementares.

Dois ângulos são suplementares, quando juntos somam 180º. Assim, podemos concluir que no caso apresentado na imagem acima, os ângulos dos vértices A e C, e B e D são suplementares.

Ângulos opostos do quadrilátero inscrito na circunferência são suplementares

 

E não é que as duas somas dos ângulos opostos do quadrilátero inscrito na circunferência resultam em 180˚? Então é válido afirmarmos que uma soma é igual a outra, não é mesmo? Isso nos leva a seguinte fórmula:

soma de dois ângulos opostos é igual a soma dos demais ângulos opostos

Também podemos visualizar este contexto de um segundo ponto de vista. Para que um quadrilátero possa ser inscrito a uma circunferência, os seus ângulos opostos devem, necessariamente, ser suplementares. De outra forma, ou seja, sem atender a essa condição, não haveria como inscrever um polígono de 4 lados em uma circunferência.

Feito, pessoal? Depois de analisarmos essa propriedade, nada é melhor do que partirmos logo para um exercício. Através deste exemplo, nós vamos consolidar o conhecimento quanto ao quadrilátero inscrito, e de quebra, revisaremos outros conceitos relacionados aos ângulos na circunferência. Vem comigo!

 

2. EXERCÍCIO

Determine o valor de na figura abaixo, sabendo-se que o arco AB mede 100º.

Imagem do exercício quadrilátero inscrito na circunferência

Humm, parece que nesse caso temos a presença duas figuras geométricas conhecidas dentro da circunferência. Uma delas é o nosso quadrilátero, claro, e a outra um triângulo! Bom, o jeito é começar pela informação que nos foi dada no enunciado: o arco AB mede 100º.

Segundo o que vimos no texto Conceitos Iniciais sobre a circunferência e o círculo, um arco é a porção compreendida entre quaisquer dois pontos de uma circunferência. Isso significa que o arco AB, é a porção da circunferência compreendida entre os pontos A e B.

Arco AB da circunferência mede 100 graus

Agora, convido vocês a repararem com atenção neste triângulo presente na figura. Um de seus lados é coincidente com um dos lados do quadrilátero inscrito, enquanto os outros dois se unem exatamente no centro da circunferência, cujo ponto nós denominaremos O. Ora, se esses dois lados são segmentos que saem do centro da circunferência, e vão até a sua borda, significa que ambos possuem comprimento equivalente ao raio da circunferência. E se um triângulo tem dois lados iguais, ele só pode ser um triângulo isósceles!

Triângulo Isósceles de dois lados iguais dentro da circunferência

Um triângulo isósceles não possui somente dois lados iguais, como também possui dois ângulos iguais! Isso nos leva a encontrar mais um ângulo do sistema, como mostra a imagem seguinte.

Triângulo Isósceles de dois ângulos iguais dentro da circunferência

Levando em conta a famosa propriedade que diz que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º, podemos encontrar o valor do ângulo Ô:

Soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus

 

Ferretto não entendi como o quadrilátero inscrito entra nesse exercício

 

Como o ângulo central a circunferência pode ajudar

 

Calma, pessoal! Antes de entendermos como o quadrilátero inscrito na circunferência vai contribuir para o desenrolar dessa questão, precisamos relembrar dois conceitos muito importantes já vistos aqui no blog. Um deles é o de ângulo central a circunferência. Segundo o texto que aborda o assunto, um ângulo central é aquele cujo vértice se localiza exatamente no centro da circunferência.

Ângulo O é central a circunferência e mede 100 graus

E não é que o ângulo Ô pode ser visto como um ângulo central? Pois bem, o arco correspondente a esse ângulo, é justamente aquele que inicia no ponto B, e vai até o ponto C, que nomeamos na imagem acima. Mas o melhor de tudo ainda está por vir: segundo o texto Ângulo central e ângulo inscrito na circunferência, a medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.

Arco correspondente ao ângulo central O mede 100 graus

E aí, tudo certo até aqui, pessoal? Fiquem tranquilos, estamos quase lá! Lembram que eu falei de dois conceitos importantes que precisávamos lembrar? Pois então, um deles era o ângulo central, e o outro é o ângulo inscrito na circunferência

 

Quando o ângulo inscrito entra na jogada

4 vértices do quadrilátero são 4 vértices de ângulos inscritos

O ângulo inscrito é aquele cujo vértice se localiza na circunferência e cujos lados são secantes a ela. Tendo esse conceito em vista, podemos perceber que cada vértice do quadrilátero inscrito na circunferência é na verdade o vértice de um ângulo inscrito. E agora, alguém aí arrisca o que isso tem a ver com tudo que havíamos analisado anteriormente?

Ângulo inscrito de vértice D possui arco correspondente de 200 graus

Pois bem, o ângulo inscrito cujo vértice é o ponto que chamamos de D, possui um arco correspondente cujo valor conhecemos, 200º. Esse arco é equivalente a soma dos arcos AB e BC! E não é que o texto Ângulo central e ângulo inscrito a circunferência vai nos ajudar novamente? Claro, segundo este texto, o ângulo inscrito é equivalente a metade da medida do seu arco correspondente, em termos de ângulo.

Ângulos dos vértices D e B são suplementares

Assim, podemos concluir que o ângulo do vértice D é igual a 100º, a metade de 200º. Essa informação é de extrema importância para nós, já que dessa forma, temos o conhecimento de dois ângulos do quadrilátero inscrito: o do vértice D, 100º, e o do vértice B, 40º + x. E se eu disser para vocês que esses dois ângulos são opostos, e portanto, suplementares? Sim, finalmente chegou o momento de aplicarmos a propriedade do quadrilátero inscrito na circunferência!

Cálculo em que os ângulos D e B são suplementares somam 180 graus

Ufa, essa não foi fácil! É que a geometria plana gosta mesmo de envolver vários conceitos dentro de um único exercício. Mas não tem problema, nós vamos aprender tudo o que envolve os ângulos na circunferência aqui no blog! Não deixem de acompanhar os posts toda a semana, e de revisar o conteúdo através do vídeo que deixo aqui embaixo. Vamos juntos acabar com as dúvidas em matemática!

Espero que vocês tenham gostado deste texto, pessoal! Sucesso nos estudos aí e até o próximo post!