REGRA DE TRÊS SIMPLES

02/08/2019

A regra de três simples é uma proporção matemática que nos permite resolver problemas que compreendem 4 valores, dos quais 1 é sempre desconhecido. Esses 4 valores representam duas grandezas, que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje é o dia de aprendermos mais um pouco de matemática básica, mais especificamente sobre um assunto muito cobrado no ENEM, nos vestibulares e, inclusive, em diversos concursos públicos. É a regra de 3 simples, que como o próprio nome diz, é uma operação simples, mas que possui detalhes aos quais devemos dar a devida atenção.

É, pessoal, não adianta estudar os conteúdos cobrados nas provas do ENEM e dos vestibulares de forma superficial. Todos eles possuem detalhes que devemos conhecer para garantir o maior número de acertos possível nessas provas! Pensando nisso, o Professor Ferretto disponibiliza em sua plataforma de ensino, todo o conteúdo de matemáticaquímica e física do ensino médio. São videoaulas didáticas, centenas de exercícios do ENEM e dos vestibulares resolvidos em vídeo e diversos outros recursos. Venham conhecer a plataforma do Ferretto! É fácil, basta acessar o site!

Beleza, pessoal? Dada a dica, sugiro que vocês peguem todos os seus materiais de estudo. Em instantes, nós vamos começar a desvendar os mistérios da regra de 3. Sigam comigo!

 

1. O QUE É REGRA DE TRÊS SIMPLES?

Caderno com lápis apontador e borracha onde está escrito regra de 3 simples

A regra de três simples é uma proporção que relaciona apenas duas grandezas. E uma grandeza consiste em algo que pode ser medido ou contado. Tendo isso em vista, podemos dizer que velocidade, tempo, quantidade de operários, máquinas, peças fabricadas, são alguns exemplos de grandezas.

Aluna pergunta Mas Ferretto se a regra de 3 simples relaciona duas grandezas por que você disse que iríamos trabalhar com problemas que envolvem 4 valores?

Então, pessoal, sempre que vocês se depararem com situações que podem ser resolvidas por regra de três simples, terão em mãos 4 valores. Dois valores pertencerão a uma das grandezas, e os demais pertencerão a outra. Só que aí tem um detalhe importante: 3 dos valores dados serão conhecidos, e o 4º valor será aquele que deve ser encontrado, a incógnita, ou ainda, o resultado da questão.

A partir desses 4 valores, vocês montarão proporções para relacionar as grandezas e encontrar o valor que se pede. A regra de 3 simples consiste em nada mais nada menos do que montar essas proporções adequadamente e realizar a multiplicação cruzada dos valores nelas contidos. Quem vier comigo até o próximo item, vai ficar por dentro de todos os passos utilizados no cálculo da regra de três. Vamos lá!

 

2. COMO CALCULAR A REGRA DE TRÊS SIMPLES?

mapa onde são ilustrados os passos para resolver uma regra de três simples

E aí, o que acharam do mapa rumo a solução da regra de 3 simples que é apresentado logo acima? Parece que o ponto de partida da nossa busca é um problema, certo? É, não tem muito sentido continuarmos falando de grandezas, valores, sem nenhum contexto prático. Por isso, vamos seguir cada um dos passos dados no mapa levando em consideração o seguinte exercício. Fiquem atentos!

Às 6 horas da manhã, o relógio da matriz demora 20 segundos para dar as seis badaladas. Ao meio dia, para dar as 12 badaladas, demorará quantos segundos?

 

1º PASSO: Separe as grandezas em duas colunas

Duas grandezas x e y separadas em duas colunas

No exercício proposto, fala-se em badaladas e em tempo, dado em segundos. Estas são duas coisas que podemos contar ou medir, não é mesmo? Pois então, temos aí as nossas grandezas! Agora, nossa tarefa é separar os dois valores referentes a cada uma delas em duas colunas.                  

Badaladas   –   Tempo (s)

6 ––– 20

12 –––– x  

Nesta etapa, é muito importante ficarmos atentos a dois detalhes. O primeiro deles é que não podemos, de forma alguma, misturar as duas grandezas. Por isso, no nosso exemplo, deixamos os dois valores que se referem as badaladas a esquerda, e os valores que se referem ao tempo a direita, sempre um embaixo do outro.

O segundo detalhe importante é permitir que os valores que se correspondem estejam lado a lado. No nosso exemplo, é dito que o relógio da matriz demora 20 segundos para dar as seis badaladas. Por isso, o número 6 está ao lado do número 20.

Entendido? Vejam que a pergunta dada no enunciado se refere ao tempo necessário para que o relógio da matriz dê 12 badaladas. Isso significa que a nossa incógnita pertence a grandeza tempo. Neste exemplo, resolvemos denomina-la x, mas vocês sempre poderão escolher a letra que acharem conveniente.

 

2º PASSO: Determine se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais

Duas setas para cima grandezas diretamente proporcionais duas setas com sentidos opostos grandezas inversamente proporcionais

Para entendermos como executar este passo, precisamos conhecer o conceito de grandeza diretamente e inversamente proporcional. A imagem abaixo tentará esclarecer esse detalhe.

grandeza é tudo que possa ser medido ou contado diretamente proporcional aumenta aumenta inversamente proporcional aumenta diminui

Visto isso, é necessário parar para refletir sobre a situação que envolve o problema, e verificar em qual dos conceitos ela se encaixa. Voltando ao nosso exemplo, sabemos que o relógio demora 20 segundos para dar 6 badaladas. É lógico que se ele passar a dar um número maior de badaladas, demorará mais tempo para realizá-las. Ou seja, estamos diante de uma grandeza tempo que aumenta quando a grandeza badalada aumenta. Por isso, pode-se dizer que elas são diretamente proporcionais.

duas setas vermelhas apontam para baixo indicando que as grandezas são diretamente proporcionais na regra de 3

Antes de seguirmos para o próximo passo, é muito importante representarmos nas duas colunas o comportamento diretamente proporcional das grandezas. Para isso, faremos o uso de setas que partem do menor para o maior valor de cada uma delas. Sabemos que 12 badaladas é um valor maior que 6. Ainda não sabemos quantos segundos o relógio demora para dar 12 badaladas, mas sabemos que ele levará mais do que 20 segundos para fazer isso. Por esse motivo, as duas setas do exemplo apontam para baixo.

 

3º PASSO: Organize a proporção e realize a multiplicação cruzada dos valores

multiplicação cruzada da proporção da regra de três

Organizar a proporção obtida é um passo essencial para o sucesso da operação. Querem saber o que isso significa? Bom, tudo depende do tipo de grandeza que se tem.

Se a grandeza for diretamente proporcional, como no nosso exemplo, é só montar a proporção baseando-se nas colunas já existentes. Feito isso, basta realizar a multiplicação cruzada dos valores de cada razão, e então, seguindo o cálculo, pode-se chegar facilmente ao resultado desejado!

montagem da proporção dada realização da multiplicação cruzada cujo resultado é 40

Agora, se a grandeza for inversamente proporcional, tem-se uma pequena mudança nesta etapa. Ao organizar a proporção para findar o cálculo, é preciso inverter os valores de uma das colunas antes de realizar a multiplicação cruzada. Mas não se preocupem, pessoal! Antes de encerrarmos o texto, vamos resolver alguns exercícios em que casos como este irão aparecer.

 

3. DICA NINJA DO FERRETTO PARA A REGRA DE TRÊS SIMPLES

ninja do Ferretto

Os passos que seguimos para a resolução da nossa primeira regra de 3 foram bem simples, não é? Mas e se eu contar para vocês que havia um jeito ainda mais simples de resolver o caso? Acompanhem o raciocínio comigo!

Exemplo de regra de 3 onde um valor é o dobro do outro

No contexto do exemplo, podemos dizer que ao meio dia, o relógio deu o dobro de badaladas que havia dado as 6 horas da manhã. Isso porque 12 é o dobro de 6 (6 x 2 = 12). Bom, como descobrimos que as duas grandezas são diretamente proporcionais, vocês podem ter certeza de que se o relógio demorou 20 segundos para dar as 6 badaladas, ele demorará o dobro do tempo para dar o dobro de badaladas.

20 × 2 = 40

Incrível, não é mesmo? Na medida em que nos depararmos com grandezas inversamente proporcionais, também mostrarei para vocês como resolver o caso a partir deste ponto de vista. Agora, vamos aos exercícios resolvidos!

 

4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE REGRA DE TRÊS SIMPLES

livro aberto escrito exercício resolvido

1. Embalando alimentos doados para o programa “Fome Zero”, 4 voluntários gastaram 75 horas. Se fosse possível contar com 12 voluntários, trabalhando no mesmo ritmo daqueles 4, em quanto tempo o trabalho teria sido feito?

Observem no enunciado que temos duas grandezas envolvidas: voluntários e tempo, dado em horas. Vamos seguir o primeiro passo apresentado neste texto e separar as grandezas em duas colunas.

Voluntários – Tempo (h)

4 –––– 75

12 –––– x

Agora chegou o momento de analisarmos o caso. Imaginem que vocês estão em um local repleto de alimentos doados para embalar. Vocês estão em apenas 4 pessoas, e resolvem convidar mais gente para ajudar. Se essas pessoas viessem, seria mais rápido ou mais demorado para embalar todos os alimentos?

Supondo que todos trabalhassem no mesmo ritmo que as 4 pessoas iniciais, é claro que um aumento dos voluntários tornaria o trabalho muito mais rápido. Aí é só pensar no seguinte comportamento: enquanto a grandeza voluntários está aumentando, a grandeza tempo (em horas) está diminuindo. Por isso, não há dúvidas de que elas são inversamente proporcionais.

uma seta vermelha aponta para baixo e outra para cima indicando que as grandezas são inversamente proporcionais na regra de 3

12 é um valor maior que 4, certo? Já em relação a x e 75, não conhecemos o valor de x, mas entendemos que ele deve ser menor que 75 para que o contexto da questão faça sentido. Por essa razão, as setas nas colunas acima ficaram apontando para sentidos opostos.

montagem da proporção dada realização da multiplicação cruzada cujo resultado é 25

Vejam no cálculo acima, que invertemos uma das colunas ao formar a proporção, porque as grandezas do caso são inversamente proporcionais. Sempre que situações como essa acontecerem, é só lembrar do seguinte: “copia uma das frações, e inverte a outra”.

 

Dica ninja para grandezas inversamente proporcionais

Exemplo de regra de 3 onde um valor é o triplo do outro

Contando com a possibilidade de existirem 12 voluntários embalando os alimentos ao invés de 4, é verdade é que o número de pessoas trabalhando seria triplicado, ou multiplicado por 3 (4 x 3 = 12). Só que vimos agora pouco que isso não implica em um aumento no número de horas trabalhadas, e sim em uma redução dessas horas, são grandezas inversamente proporcionais. Por isso, ao invés de multiplicar as 75 horas demandadas no trabalho por 3, como fizemos no primeiro caso, nós dividiremos essas horas por 3.

75 ÷ 3 = 25

Para não esquecer da dica, é só levar os termos diretamente e inversamente proporcionais ao pé da letra. Quando se fala em grandezas diretamente proporcionais, a mesma operação acontece em ambas as colunas. Mas quando o assunto envolve grandezas inversamente proporcionais, a operação utilizada em uma das colunas é inversa a operação utilizada na outra.

Certo, pessoal? Então, vamos finalizar o texto com a resolução de mais um exercício muito interessante, que liga várias áreas da matemática. Venham comigo!

 

Relacionando geometria espacial, funções e a regra de três simples

2. A cisterna de uma indústria tem a forma de um paralelepípedo retângulo com dimensões internas de 8 m de comprimento, 6 m de largura e 5 m de altura. Ela está vazia e será abastecida por uma torneira que tem uma vazão de 4 m³ por hora. Qual é a função h(t) que expressa, em metros, o nível de água no tanque, t horas após a abertura da torneira?

 

Antes de mais nada, vamos desenhar o paralelepípedo citado no enunciado e calcular o volume do mesmo. Mas quem ainda não sabe como fazer isso, não precisa se preocupar! O volume de um paralelepípedo é muito simples de se calcular, basta realizar o produto de suas dimensões, ou seja, multiplicar comprimento, largura e altura.

paralelepípedo com as dimensões 8 6 e 5 ilustradas

V = a · b · c

V = 8 · 6 · 5

V = 240 m³

Conhecendo o volume total da cisterna, e a vazão da torneira que irá enchê-la, é possível determinar quanto tempo será necessário para que a cisterna fique completamente cheia. Não parece, mas esse dado será muito importante para encontramos a função pedida no enunciado.

Para realizar tal tarefa, vamos relacionar as grandezas volume (em m3) e tempo (em horas). Se devido a vazão da torneira, pode-se colocar na cisterna 4m3 a cada hora, em quantas horas pode-se colocar 240m3, ou enchê-la completamente? É hora de organizarmos as grandezas em colunas.

Volume (m³) – Tempo (h)

4 –––– 1 

240 –––– x

 

Será que essas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?

Pensem só, se a torneira leva uma hora para encher 4 m³, então, para encher 240 m³ ela levará muito mais tempo, não é?  Se o tempo aumenta quando o volume aumenta, é possível dizer que ambos são diretamente proporcionais. Assim, não haverá mistério na hora de montarmos a proporção e definirmos o resultado.

montagem da proporção dada realização da multiplicação cruzada cujo resultado é 60

Feito isso, precisamos voltar a pergunta do enunciado para não nos perdermos com as informações. Desejamos saber qual a função h(t) que expressa, em metros, o nível de água no tanque, t horas após a abertura da torneira. Isso significa que a função não leva em conta o volume da cisterna, mas sim altura que a água atinge a cada hora. Por esse motivo, teremos que fazer uma nova regra de três, que irá abordar as grandezas tempo (em horas) e a altura (em metros).

Tempo (h) – Altura (m)

60 –––– 5

t –––– h

Para estabelecer as colunas acima, foi utilizado o seguinte raciocínio: se em 60 horas, a cisterna fica completamente cheia, ou seja, com 240m3, é fato que nesse momento a água atingirá a altura máxima, que são os 5m de altura do paralelepípedo. Como qualquer altura h que a água possa atingir sempre será menor do que 5, e o respectivo tempo também será sempre menor do que 60 horas, podemos colocar as setinhas apontando para cima, do menor para o maior valor, o que irá deixar claro que as grandezas são novamente diretamente proporcionais.

montagem da proporção dada realização da multiplicação cruzada cujo resultado é t/12

Assim, a função h(t) que expressa, em metros, o nível de água no tanque t horas após a abertura da torneira, é h(t) = t/12.

 

E se o problema tratar de mais de duas grandezas?

post it onde está escrito regra de três composta

Quando mais de duas grandezas estão envolvidas em uma questão ou em um problema, até conseguimos resolver o caso utilizando a regra de 3 simples, mas essa não é nem de longe a melhor estratégia. É para isso que existe a regra de três composta! Se vocês não conhecem essa operação, ou se assustam cada vez que ouvem falar nela, sugiro que cliquem aqui. A regra de três composta também é abordada com muitos detalhes aqui no blog!

Beleza, pessoal? Chegamos ao final de mais um texto de matemática básica e eu espero que ele tenha sido muito proveitoso para vocês!  Deixo em anexo um vídeo sobre o assunto. Assistam o vídeo até o final, pois resolvo uma série de exercícios por lá!

Bons estudos a todos! Até o próximo texto!