RETÂNGULO

26/07/2019

O retângulo é um quadrilátero cujos ângulos internos são todos iguais e medem 90º. Também é possível dizer que todo retângulo é um paralelogramo, apesar do contrário não ser válido.

 

Olá, pessoal! Tudo certo?

É só olhar a nossa volta para percebermos quantos retângulos estão espalhados pelo mundo: quadros, tapetes, terrenos, portas, monitores, e tantas outras coisas possuem o formato desse quadrilátero. Por isso, nós vamos estudá-lo hoje! Vamos conhecer as propriedades do retângulo, e também como calcular a área e a diagonal dessa figura tão importante dentro do estudo da geometria plana! Fiquem atentos ao texto, afinal, o retângulo é uma das figuras geométricas mais cobradas nos vestibulares e nas provas do ENEM!

E vocês, estão dominando a geometria plana? E a geometria espacial? A plataforma do Professor Ferretto dispõe do conteúdo completo desses dois assuntos, assim como de toda a matemática, química e física do ensino médio! Quem quer se dar bem no ENEM e nos vestibulares precisa dominar a interpretação das questões, não é? Pois então, na plataforma do Ferretto tem videoaulas didáticas, além de centenas de resoluções de exercícios em vídeo, que focam justamente na interpretação. Conheçam a plataforma no site, é simples, basta clicar aqui!

Agora que vocês já conhecem a plataforma, posso lhes apresentar a ilustre figura que abrilhantará nosso estudo de hoje: o retângulo!

forma geométrica do retângulo

Todo retângulo é considerado um paralelogramo, embora não possamos dizer que todo paralelogramo é um retângulo. Por isso, o retângulo compartilha das propriedades dos paralelogramos em geral, o que nos motivará a compará-lo com a forma de um paralelogramo o tempo todo. Mas é claro que não estaríamos aqui, se não existissem algumas características pertencentes exclusivamente ao retângulo. É hora de estudar cada uma delas. Venham comigo!

 

1. PROPRIEDADES DO RETÂNGULO

aluna lendo sobre os lados ângulos e diagonais do retângulo

As propriedades das figuras geométricas têm por objetivo descrever suas características quanto a medida de seus lados, diagonais, e de seus ângulos internos. É claro que não teria por que ser diferente com o retângulo. Mas como todo retângulo é um paralelogramo, e vamos comparar muito estes dois conceitos, sugiro que vocês deem uma olhada no texto que aborda o Paralelogramo caso ainda não o tenham visto. Depois, basta seguir comigo!

 

1.1 Em todo retângulo, os dois lados opostos são sempre paralelos e congruentes

lados opostos do retângulo são sempre paralelos e iguais

Essa propriedade nos mostra que os dois lados opostos de um retângulo são sempre paralelos e de mesma medida, como nos paralelogramos em geral.

 

1.2 Em todo retângulo, as diagonais interceptam-se nos seus pontos médios

diagonais do retângulo se encontram em seus pontos médios

As diagonais dos retângulos, e de qualquer paralelogramo, se encontram exatamente em seus respectivos pontos médios. Mas as diagonais do retângulo, exclusivamente, possuem uma segunda característica bem importante:

As diagonais do retângulo são congruentes.

duas diagonais do retângulo possuem o mesmo comprimento

Isso significa que as duas diagonais do retângulo possuem o mesmo comprimento.

  

1.3 Em todo retângulo, os dois ângulos opostos são sempre congruentes

dois ângulos opostos do retângulo possuem a mesma medida

Os dois ângulos opostos de qualquer paralelogramo são sempre iguais, ou de mesmo valor. Mas quando se fala exclusivamente do retângulo, isso fica ainda mais evidente, devido ao seguinte fato:

Todos os quatro ângulos do retângulo são retos.

Ou seja, os quatro ângulos internos do retângulo são iguais, e medem 90º.

todos os ângulos internos do retângulo medem 90 graus

 

1.4 Em todo retângulo, dois ângulos consecutivos são sempre suplementares

soma de um ângulo de 90 graus com outro também de 90 graus resulta em 180 graus

Como vimos no texto que aborda o Paralelogramo, dois ângulos são suplementares se a soma de seus valores resultar em 180º. Assim, simplesmente não haveria como o retângulo não satisfazer essa propriedade! Todos os ângulos internos de um retângulo são iguais e valem 90º, de forma que se escolhermos quaisquer dois ângulos consecutivos e efetuarmos a soma de seus valores, claramente chegaremos a 180º.

90º + 90º = 180º

Tranquilo não é, pessoal? Nos itens seguintes, estudaremos juntos como obter a área e a medida da diagonal de um retângulo. Vamos lá!

 

2. ÁREA DO RETÂNGULO

retângulo quadriculado internamente para representar o cálculo da área

Para calcular a medida da superfície de um retângulo, basta utilizarmos a conhecida fórmula:

aluno apresentando a fórmula da área do retângulo em um quadro

A área de qualquer paralelogramo pode ser calculada através do produto entre a medida de sua base, b, e a medida de sua altura, h. Contudo, quando se fala exclusivamente do retângulo, obtemos uma vantagem em relação aos paralelogramos em geral. No retângulo, pode-se dizer que a medida de um de seus lados é o valor da base, e que a medida do lado consecutivo a base é o valor da altura. Lembrem, isso não acontece em todos os paralelogramos!

um dos lados do retângulo pode ser considerado a medida de sua altura

Assim, também podemos definir a fórmula da área do retângulo como sendo o produto entre as medidas de seus dois lados consecutivos.

Incrível, não é? Visto isso, podemos seguir ao próximo item do texto, em que falaremos sobre a diagonal de um retângulo. Venham comigo!

 

3. DIAGONAL DO RETÂNGULO

diagonal do retângulo apresentada com destaque no retângulo

Nós vimos no texto que trata dos Paralelogramos, que podíamos dividi-los em dois triângulos, tranquilamente. Mas lá, não havia qualquer definição sobre os tipos de triângulos formados e muito menos sobre seus tamanhos.

paralelogramo cuja diagonal d é apresentada

Contudo, ao traçarmos a diagonal de um retângulo, podemos ter certeza de que estamos formando dois triângulos retângulos iguais. E quando falamos em triângulo retângulo, logo nos vem à mente o famoso Teorema de Pitágoras! Vamos encontrar a fórmula da diagonal do retângulo através deste teorema.

triângulo retângulo formado pela diagonal e pela base e altura do retângulo

Reparem que a medida da hipotenusa do triângulo retângulo é exatamente igual a medida da diagonal do retângulo. Da mesma forma, as medidas dos catetos do triângulo são equivalentes as medidas da base e da altura do retângulo. Assim, chegamos a seguinte a fórmula:

fórmula da diagonal do retângulo escrita em um caderno

Entendido? Então já podemos aplicar todo esse conhecimento! Caso vocês não conheçam o Teorema de Pitágoras, ou quiserem saber mais sobre ele, podem clicar aqui e conferir!  Depois, é só voltar aqui para resolvermos juntos um exercício. Vamos lá!

 

4. EXERCÍCIO RESOLVIDO SOBRE O RETÂNGULO

livro mostrando um exercício resolvido pelo Ferretto

O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é ⅗ do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também ⅗ do seu comprimento. Qual é a razão entre a área do jardim e a área do terreno?

retângulo representando um terreno retangular onde está inserido um jardim retangular

Começaremos esclarecendo direitinho cada informação que o enunciado nos dá. Vejam que se fala primeiramente em comprimento e largura do retângulo ABCD. Para utilizar os conceitos que estamos aprendendo hoje, vamos adotar que o comprimento desse retângulo será a medida de sua base, e que a largura será a medida de sua altura.

Comprimento → b

Largura → h

medidas da base e altura do terreno são representadas próximas ao retângulo

A largura do terreno que esse retângulo representa, mede ⅗ do comprimento desse mesmo retângulo. Essa informação nos permite montar uma primeira equação, já entendo comprimento e largura como base e altura, respectivamente.

a altura do retângulo é igual a três quintos da medida de sua base

Na prática, isso significa que a medida da altura do retângulo é um pouquinho menor que a medida de sua base. Mais precisamente, podemos dizer que medida da altura corresponde a 60% da medida da base, já que 3/5 = 0,6. Bom, agora vamos ao jardim do terreno, ou a parte hachurada. Se vocês observarem a imagem abaixo com atenção, perceberão que o comprimento, ou a base bdo retângulo hachurado tem exatamente a mesma medida que a altura h do retângulo ABCD.

medidas da base e altura dos retângulos são representadas próximas a eles

Já em relação a altura hdo retângulo hachurado, tem-se, através do enunciado, que ela é equivalente a ⅗ do comprimento deste mesmo retângulo, b1. Novamente, podemos montar uma equação que expressa essa relação:

altura do retângulo do jardim é igual a três quintos da medida de sua base

  

Compreendendo a ideia de razão

Temos até então, duas equações importantes que relacionam as medidas das alturas de ambos os retângulos com as medidas das suas respectivas bases. Mas na verdade, o exercício nos pede a razão entre a área do jardim, ou a área hachurada, e a área do terreno, ou a área do retângulo ABCD. Vamos nomear cada um desses termos para seguirmos nosso raciocínio sem confusão.

Área do jardim → Área hachurada → Aj

Área do terreno → Área de ABCD → At

Uma razão nada mais é do que uma divisão entre dois valores. Então, o que estamos buscando aqui, é o resultado da divisão entre o valor de Aj e de At.

Aj sobre At é a razão entre as áreas dos retângulos

Nós não temos esses valores ainda, mas sabemos que tanto o jardim quanto o terreno possuem o formato de um retângulo. Assim, é fato que as áreas do jardim e do terreno podem ser calculadas através do produto entre medida de seus lados:

A= b × h         A= b× h1

Se nós voltarmos os olhos para as equações 1 e 2 que montamos mais acima, nós encontraremos as medidas da altura do terreno e da altura do jardim em função das respectivas medidas da base desses dois retângulos. É hora de substituir esses valores nas fórmulas das áreas que acabamos de montar:

substituindo o valor da altura dos retângulos na fórmula da área dos retângulos

Certo, agora temos o valor de cada uma das áreas das figuras em questão. Contudo, esses valores ainda se encontram em função da medida das bases dos retângulos. Não tem problema, afinal, ainda não exploramos um detalhe muito interessante que chegamos a comentar mais acima. A base bdo retângulo hachurado tem exatamente a mesma medida que a altura h do retângulo total, o ABCD.

medidas da base e altura dos retângulos são representadas próximas a eles

Assim, podemos afirmar com certeza que:

base do retângulo do jardim é igual a três quintos da base do terreno total

 

Encontrando a solução final para o problema …

Pronto, resolvemos o nosso problema com as incógnitas! Se nós substituirmos agora, o valor de bna fórmula da área do jardim, teremos o valor das duas áreas apenas em função de b, a base do retângulo ABCD.

substituindo o valor da base do retângulo do jardim pelo valor correspondente em função de b

Estamos prontos para calcular a razão que o exercício nos pede. Acompanhem o desenvolvimento:

conclusão do cálculo da razão entre a área do jardim e a área do terreno cujo resultado é 9 25 avos

Entenderam tudo direitinho? Como vocês puderam observar, é muito importante que a gente desenhe a situação proposta no problema em exercícios de geometria. Desta maneira, fica muito mais fácil de compreender os detalhes que o enunciado nos informa, e de aplicar algumas fórmulas para chegar à solução desejada!

E assim, é chegada a hora de finalizamos mais um texto! Espero que vocês tenham gostado do assunto e que este estudo  possa lhes ajudar a desenvolver ainda mais o raciocínio matemático! Em anexo, deixo um vídeo que contém outros exercícios resolvidos. Não deixem de dar uma olhada nele, afinal, tudo que é apresentado lá complementa as informações deste texto!

Um abração e ótimos estudos!