TEOREMA DE TALES

30/08/2019

O Teorema de Tales é uma proporção matemática que permite relacionar o comprimento dos segmentos correspondentes de duas retas transversais de um feixe de retas paralelas. É um teorema clássico da Geometria Plana, que foi desenvolvido pelo matemático, astrônomo e filósofo grego Tales de Mileto.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Neste texto, vamos abordar um teorema muito importante dentro do estudo da Geometria Plana. É o Teorema de Tales, que descreve matematicamente uma relação muito interessante entre duas retas transversais de um feixe de retas paralelas. Se vocês estão estudando para o ENEM e para os vestibulares, não deixem de acompanhar o texto comigo! Vamos resolver juntos vários exercícios que envolvem o Teorema de Tales, para que não reste nenhuma dúvida sobre o assunto!

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Dada a dica, é hora de partirmos para nosso propósito. Fiquem agora com a definição do Teorema de Tales!

 

1. DEFINIÇÃO DO TEOREMA DE TALES

caderno onde a definição do teorema de tales é apresentada matematicamente

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Acabamos de conhecer a definição do Teorema de Tales, pessoal! Mas quem ainda não entendeu direito esse conceito, não precisa se preocupar. Tudo na geometria plana fica muito mais fácil quando desenhamos a situação descrita em texto. Vamos lá!

as retas r s t e u formam um feixe de retas paralelas

Temos aí um exemplo de feixe de retas paralelas, que foram nomeadas como r, s, t e u. Reparem que elas não precisam estar igualmente espaçadas umas das outras. Uma reta transversal a este feixe de retas, é uma reta que cruza, ou que corta todas elas em algum ponto específico. Na imagem seguinte, duas retas transversais deste feixe são apresentadas.

duas retas são transversais ao feixe de 4 retas paralelas

A partir deste momento, podemos dizer que alguns segmentos são determinados em cada uma das retas transversais. Vamos nomear os segmentos formados na transversal da esquerda de x, e z, e os segmentos formados na transversal da direita de a, e c, do jeito que aparece na imagem abaixo.

segmentos x y e z da reta transversal da esquerda e segmentos a b e c da reta transversal da direita

Analisando esta imagem, podemos perceber que tanto o segmento quanto o segmento estão localizados entre as mesmas retas paralelas r e s. O mesmo acontece com os demais segmentos formados: e estão localizados entre as mesmas retas paralelas s e t, enquanto e se localizam entre as mesmas retas paralelas t e u. Sabem o que isso significa? Que e a, e e e são segmentos correspondentes!

 

1ª Possibilidade

Agora estamos muito perto de desvendar o Teorema de Tales! Segundo a definição, dentro do contexto apresentado, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma das retas transversais é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

x/y=a/b ou seja segmentos da reta da esquerda são iguais aos segmentos correspondentes da reta da direita

Observem que a definição deixa bem claro que as razões que acabamos de estabelecer podem ser formadas entre dois segmentos quaisquer. Por isso, também podemos afirmar, por exemplo, que:

y/z=b/c ou x/z=a/c

 

2ª Possibilidade

O Teorema de Tales é mesmo tão interessante que possui diversas maneiras de ser aplicado. Para montar as proporções do item acima, nós formamos uma igualdade entre duas razões cujo numerador e denominador são as medidas dos segmentos da mesma reta transversal (x e y; a e b).

Agora, nós vamos descrever o Teorema de Tales de um jeito diferente. Ele será formado pela igualdade entre duas razões cujo numerador e denominador são as medidas dos segmentos correspondentes entre as duas retas (x e a; y e b).

segmentos x y e z da reta transversal da esquerda e segmentos a b e c da reta transversal da direita

x/a=y/b

Reparem que neste caso, por exemplo, os segmentos da reta da esquerda (x e y) não estão todos do mesmo lado da igualdade, mas estão lado a lado quando observamos a proporção como um todo. Não parece, mas essa configuração é muito importante para que proporção seja equivalente à do item anterior.

tanto x/y=a/b quanto x/a=y/b resultam em xb=ya

 

3ª Possibilidade

segmentos x e y e y e z e a e b e b e c são somados para montar a proporção do teorema de tales

Também podemos montar a proporção do Teorema de Tales somando as medidas dos segmentos das retas transversais ao feixe de retas paralelas. Neste caso, a razão entre a soma de dois segmentos quaisquer de uma das retas transversais é igual à razão entre a soma dos respectivos segmentos correspondentes da outra.

x+y/y+z=a+b/b+c

É, pessoal, poderíamos ficar aqui por horas obtendo outras proporções que descrevem corretamente o Teorema de Tales. Mas o mais importante nesse caso, é entender o conceito para aplicá-lo direitinho no contexto das questões do ENEM e dos vestibulares que vocês precisarão fazer. Então, peguem seus cadernos, lápis, caneta e vamos aos exercícios resolvidos!

 

2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE O TEOREMA DE TALES

livro aberto onde está escrito exercício resolvido

Exercício 1

retas transversais ao feixe de retas paralelas exercicio 1

Determine o valor de x sendo r, s e t retas paralelas.

 

Na imagem acima, temos um caso muito semelhante àquele que estudamos na teoria, não é mesmo? Assim, não tem mistério, pessoal! Levando em conta que x e 4 são as medidas dos segmentos correspondentes que se localizam entre as retas paralelas r e s, e que 6 e 8 são as medidas dos segmentos correspondentes que se localizam entre as retas paralelas s e t, podemos montar a seguinte proporção:

x/6=4/8

Sempre que uma igualdade entre frações aparece, nós podemos realizar a multiplicação cruzada:

a solução da proporção x/6=4/8 é 3

Bem tranquilo, não é, pessoal? Então, antes de seguirmos para o próximo exercício, vamos verificar se o nosso cálculo está correto. Existe uma análise muito interessante que podemos fazer para descobrir as medidas dos segmentos das retas transversais num piscar de olhos.

Reflitam sobre o seguinte: na transversal da direita, nós temos dois segmentos cuja medida é conhecida, e vale 4 e 8. 8 é o dobro de 4, certo? Então, pessoal, podem ter certeza que essa proporção também será respeitada na outra reta transversal. Assim, se o correspondente do 8 é o 6, o correspondente do 4 que é a metade de 8, também será a metade de 6, ou seja, 3.

 

Exercício 2

retas transversais ao feixe de retas paralelas exercicio 2

Determine o valor de x e de y sendo r, s e t retas paralelas.

 

Agora complicou, não é, pessoal? Não parece, mas também podemos utilizar o Teorema de Tales para encontrar os valores dos segmentos x e y apresentados na imagem. Para que possamos montar a proporção do Teorema de Tales corretamente, faremos dois ajustes na representação do caso e tudo ficará mais claro. Acompanhem!

inserindo mais uma reta paralela ao feixe no ponto onde as retas transversais se cruzam

Podemos traçar, sem problema algum, mais uma reta paralela as demais retas do feixe, e esta passará estrategicamente pelo ponto de cruzamento das duas retas transversais. Assim, os segmentos de medidas 2, y, 6 e x ficam delimitados. Feito isso, o próximo passo é afastar as duas retas transversais, chegando na seguinte situação:

retas transversais são afastadas mantendo as mesmas medidas 5 x 6 e 3 2 y

E aí, o que acharam dessa nova representação? Neste momento, podemos aplicar o Teorema de Tales com tranquilidade. Montaremos uma proporção para obter o valor de x e outra para obter o valor de y. Vejam só:

resolução das proporções 5/x=3/2 e 5/6=3/y que resultam em 10/3 e 18/5

Nós vimos neste texto, que podemos aplicar o Teorema de Tales de diversas maneiras. Por isso, fica como tarefa resolver este mesmo exercício de outras formas para verificar se o resultado está correto. Quem topar o desafio pode deixar sua resolução nos comentários!

 

Exercício 3

triângulo ABC com algumas medidas e um segmento paralelo a BC chamado MN

Na figura, MN ‖ BC. Calcule o valor de AB.

 

O enunciado nos informa que o segmento MN é paralelo ao segmento BC, e dada essa condição, pede o comprimento do segmento AB. Não parece, mas podemos utilizar o Teorema de Tales para resolver esse caso também. Para que fique mais claro, vamos desenhar algumas retas sobre os segmentos MN e BC. Assim, teremos as famosas retas transversais de um feixe de retas paralelas.

retas paralelas sobre os segmentos BC MN e sobre o ponto A

Reparem que conhecemos a medida dos dois segmentos da reta mais a direita, e estes valem 3 e 6. Contudo, para encontrarmos a medida de AB, precisamos descobrir a medida dos segmentos da reta da esquerda, e todos estão em função de x. Vamos aplicar o Teorema de Tales para descobrir o valor dessa incógnita.

resolução da proporção x/x+6=3/6 que resulta em 6

Pensando na proporcionalidade que é mantida entre as retas transversais, também poderíamos ter resolvido este exercício de uma maneira diferente. Na transversal da direita, temos um segmento que mede 3 e outro que mede 6, o dobro de 3. Assim, é possível ter certeza que a medida “x+6” vale o dobro da medida “x”.

x + 6 = 2x

2x – x = 6

x = 6

Deu certinho, não é?! Mas calma que essa ainda não é a resposta, pessoal. A questão pede o comprimento AB, de tal forma que:

AB = x + 6 + x

AB = 6 + 6 + 6

AB = 18 cm

 

Exercício 4

Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60 cm.

Um tanto confuso, não é? Não depois de desenharmos o que é descrito no enunciado. Fiquem de olho!

feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm 6 cm e 9 cm os comprimentos dos segmentos correspondentes x y z medem juntos 60 cm

Reparem que nomeamos os três segmentos cujo comprimento não conhecemos de x, y e z. Como foi informado que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60 cm, sabemos que a soma de x, y e z é igual a 60.

Assim, como temos o comprimento total dos segmentos da reta transversal da direita, também podemos somar os valores dos segmentos da reta transversal da esquerda. O resultado dessa soma é a chave para a resolução do problema.

soma dos segmentos 5 6 e 9 resulta em 20

Poderíamos montar agora uma série de proporções, mas tentaremos simplificar o caso. As medidas dos 3 segmentos da reta transversal da esquerda somam juntas 20cm. Já as medidas dos 3 segmentos da reta transversal da direita somam juntas 60cm. Pois então, 60 não é justamente o triplo de 20? Desta forma, vocês podem ter certeza que os segmentos x, y, z possuem o triplo da medida dos seus segmentos correspondentes, 5, 6 e 9.

x = 5·3 = 15 cm

y = 6·3 = 18 cm

z = 9·3 = 27 cm

Assim finalizamos mais um texto! Mas para dominar o Teorema de Tales e detonar nas provas do ENEM e dos vestibulares, não deixem de revisar todo o conteúdo assistindo o vídeo que está em anexo!

Além disso, não esqueçam de refazer os exercícios que resolvemos. Estarei de olho nos comentários!

Bons estudos, sucesso e até mais!