TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

17/07/2019

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética nos permite encontrar qualquer termo de uma PA conhecendo apenas o valor de a1, e da razão da progressão. Além disso, a progressão aritmética possui algumas propriedades, que também podem ajudar na resolução de diversos exercícios! 

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

O texto de hoje é imprescindível para quem quer se dar bem nas provas do ENEM e dos vestibulares. Vamos falar sobre uma das fórmulas mais importantes relacionadas a progressão aritmética, aquela que nos possibilita encontrar qualquer termo dessa sequência conhecendo apenas outros dois valores. Além disso, estudaremos também algumas propriedades da PA. Quem acompanhar o texto até o final, vai entender qual é a relação dessa sequência numérica com a média aritmética!

Apesar de parecer que os conteúdos da matemática do ensino médio são isolados, a verdade é que eles estão sempre se relacionando. O mesmo acontece entre as 3 disciplinas da área das exatas. Muitos conceitos da matemática, por exemplo, também são utilizados na física e na química. Por isso, aqueles que almejam uma vaga no ensino superior, precisam conhecer a plataforma do Professor Ferretto! Lá tem videoaulas, mais de 1500 questões resolvidas em vídeo, simulados, entre outros recursos disponíveis nas disciplinas de matemática, física e química! Experimentem acessar o site, e sejam vocês também alunos do Professor Ferretto!

Beleza, pessoal?! Sei que estão ansiosos para iniciarmos os estudos, contudo, antes de seguirmos o texto, gostaria de dar uma dica. É mais fácil compreender a fórmula do termo geral da PA quando conhecemos os conceitos introdutórios da progressão aritmética. Portanto, quem nunca ouviu falar da PA, pode clicar aqui, e dar uma olhadinha no texto Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética.Depois, é só continuar comigo!

 

1. CAMINHANDO RUMO A FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA

Palitos que crescem de acordo com uma progressão aritmética

Uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do anterior com uma constante dada. Também podemos dizer que uma sequência numérica é uma progressão aritmética, quando cada termo, a partir do penúltimo, é igual a diferença entre o seu termo sucessor e a razão r.

Sequência numérica em que a razão r da PA é apresentada com evidência

A partir deste conceito, nós costumávamos encontrar cada termo de uma determinada PA com base no valor de sua razão e do seu termo sucessor ou antecessor, tal como mostram os exemplos abaixo.

Cada termo da PA é encontrado com base no seu antecessor ou sucessor e na razão r

Contudo, a verdade é que nem sempre temos a disposição o valor de todos os termos de uma progressão aritmética. Digamos, por exemplo, que vocês procurassem pelo 7º termo de uma certa PA, mas não conhecessem o seu 6º termo e muito menos o seu 8º termo. Estariam a disposição, apenas o valor do primeiro termo da sequência, o a1, e o valor da razão da progressão. Não parece, mas esse enigma tem solução. Tudo que precisamos fazer, é ficar de olho nos saltos que a razão dá na sequência, partindo do termo a1, e seguindo rumo ao termo desejado!

6 sequências em que são apresentados os saltos da razão r da PA

Incrível, não é mesmo? Podemos dizer que o 7º termo da PA que vocês procuravam, é igual ao valor do primeiro termo da sequência acrescido de 6 razões.

Aluno perguntando ao Ferretto como encontrar o termo a20 com base nos saltos que a razão dá na PA

Nem pensar, pessoal! Se repararmos melhor nas fórmulas que acabamos de montar, podemos chegar a uma conclusão muito interessante. Acompanhem comigo!

A diferença entre os índices n e 1 na fórmula do termo geral da PA é igual ao multiplicador da razão r

Entenderam a ideia? A expressão genérica que representa tudo aquilo que acabamos de observar é a fórmula do termo geral da PA. Vem comigo!

 

2. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Aluno mostrando no quadro a fórmula do termo geral da PA

A fórmula que aparece na imagem acima é a expressão que nos permite obter qualquer termo de uma progressão aritmética conhecendo apenas os valores da razão e do primeiro termo da progressão, o a1. Por isso, e avão estar sempre na fórmula.

an, é o termo geral da PA, aquele que ocupa a n-ésima posição na sequência. Isso significa, por exemplo, que se procurarmos pelo 8º termo da sequência, o a8, n valerá 8. Da mesma forma, se procurarmos pelo décimo segundo termo da sequência, o a12valerá 12. Ainda, caso a ideia seja obter o trigésimo terceiro termo da sequência, o a33, então será igual a 33. O valor de n menos uma unidade é o número que multiplicará a razão na fórmula. É isso que os seguintes exemplos mostram:

Cálculo dos termos a8 a12 e a33 com base no termo geral da progressão aritmética

Até aí tudo certo, pessoal? Essa fórmula já vai nos ajudar muito a resolver os exercícios que envolvem a progressão aritmética no ENEM e nos vestibulares. Contudo, não podemos deixar de cogitar a seguinte possibilidade: e se anão for conhecido? A verdade é que com base na fórmula do termo geral da PA, podemos obter uma segunda fórmula que vai solucionar essa questão. Sigam comigo!

 

2.1 Fórmula do termo geral da PA quando anão é conhecido

Aluna mostra no quadro uma extensão da fórmula do termo geral da PA

Os saltos que a razão dá na sequência, sejam para frente ou para trás, também irão nos ajudar a encontrar o n-ésimo termo de uma PA quando já se conhece pelo menos um de seus termos, que não necessariamente o a1, e a razão da progressão. Dado que as sequências apresentadas abaixo são progressões aritméticas, vamos entender melhor essa situação através de alguns exemplos.

2 sequências em que são apresentados os saltos da razão r da PA sem partir de a1

Quando estávamos chegando perto de definir a fórmula do termo geral da PA, nós contamos quantos saltos a razão caminhou para frente na sequência, sempre partindo do a1, o seu primeiro termo. Mas não há problema algum em fazer o mesmo partindo de qualquer outro termo da sequência. Inclusive, nada impede que façamos o cálculo do termo geral da PA voltando na sequência, como mostra a imagem seguinte.

2 sequências em que são apresentados os saltos da razão r da PA voltando sem partir de a1

Independente da ideia escolhida, reparem, o mesmo padrão que identificamos anteriormente se repete:

A diferença entre os índices n e k na fórmula do termo geral da PA é igual ao multiplicador da razão r

Por isso, a fórmula que a nosso amiga mostrou logo no início desse item, corresponde ao termo geral da PA quando não conhecemos o valor do a1. Já que anão corresponde mais a base do cálculo, mas sim qualquer outro termo da progressão, chamaremos esse termo qualquer de ak. Assim, sabendo que o fator que multiplicava a razão r na fórmula original era n­ – 1, teremos agora o produto entre e o fator k.

Extensão da fórmula do termo geral da PA com o índice k em destaque

E aí, o que acharam desta ideia, pessoal? A extensão da fórmula do termo geral da PA facilita bastante a resolução de questões, porque elimina a necessidade de conhecermos o termo a1. Para que tudo isso fique mais claro, partiremos agora para o famoso exercício resolvido. Venham comigo!

 

2.2 Exercício resolvido sobre o termo geral da progressão aritmética

Ferretto resolve um exercício sobre o termo geral da progressão aritmética

Qual é a razão de uma PA na qual o quarto termo é 30 e o décimo segundo termo é 62?

O primeiro passo rumo a resolução de qualquer questão matemática é entender que dados foram apresentados no enunciado. Fala-se de uma progressão aritmética cujo quarto termo vale 30 e cujo décimo segundo termo vale 62. Isso só pode significar que:

a4= 30

a12= 62

Já que o objetivo é encontrar a razão da progressão, e os termos ae a12 não são consecutivos, precisaremos da ajuda da fórmula do termo geral da PA. Mas como o valor de a1 não foi dado, na verdade, utilizaremos a extensão da fórmula do termo geral:

an = ak + (n – k)·r

Nesse momento, vocês poderiam optar por 2 caminhos: considerar que vale 12 e que vale 4, ou o contrário. Independente da ordem escolhida, seguindo a fórmula corretamente, o resultado é exatamente o mesmo. Eu garanto!

A extensão da fórmula do termo geral da PA pode ser utilizada de duas maneiras diferentes

Feito, pessoal? Antes de finalizarmos o texto, é importante conhecermos algumas propriedades da PA. Os conceitos que envolvem essas propriedades também podem nos ajudar a resolver diversos exercícios sobre o assunto. Vamos lá!

 

3. PROPRIEDADES DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Sequência numérica em que ficam evidentes as duas propriedades da PA

Analisando as sequências numéricas que formam progressões aritméticas, é possível encontrar algumas relações interessantes, que envolvem, inclusive, uma das medidas de tendência central mais conhecida e mais utilizada na matemática: a média aritmética. Vou explicar cada uma das propriedades com clareza nos próximos itens. Vem comigo!

 

1º Propriedade

Em uma PA a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

Dois termos equidistantes dos extremos são dois termos que possuem a mesma distância do primeiro e do último termo da sequência. Observem na imagem acima, que os extremos da PA apresentada são os números 3 e 18. Tanto o número 6 quanto o número 15, estão a apenas uma razão de distância destes extremos. Da mesma forma, tanto 9 quanto 12 se encontram a duas razões de distância dos extremos. Assim, não podemos negar que 6 e 15 e 9 e 12 são termos equidistantes dos extremos. Por isso, a soma entre 3 e 18, 6 e 15 e 9 e 12 resulta no mesmo valor: 21.

Sequência em que a soma dos extremos é igual a soma dos termos equidistantes dos extremos

A imagem acima mostra um segundo exemplo da aplicação da primeira propriedade da PA. Neste caso, 7 e 19 são os termos extremos da progressão, e sua soma resulta no valor 26. 9 e 17 estão a uma razão de distância dos extremos, enquanto que 11 e 15 estão a duas razões de distância de 7 e 19. Por isso, podemos dizer que 9 e 17 e 11 e 15 são termos equidistantes dos extremos, o que explica o fato de sua soma também resultar em 26.

 

2º Propriedade

Em uma PA tomando-se três termos consecutivos o termo central é a média dos seus vizinhos

Em uma PA, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média dos seus vizinhos.

Quem ficou de olho na imagem acima, reparou que escolhemos uma série de três termos consecutivos dentro da mesma progressão aritmética. Em todos os casos, o valor do termo central foi exatamente igual a média aritmética entre os valores dos seus vizinhos.

Aluno mostrando no quadro a fórmula da média aritmética entre dois termos

Interessante, não é mesmo? E se eu contar para vocês que dependendo do número de termos que uma PA possui, é possível encontrar uma segunda relação da sequência com a média aritmética?

 

IMPORTANTE

Ferretto irá falar sobre o que acontece quando uma PA finita possui um número de termos ímpar

Em uma PA finita cujo número de termos é ímpar, a média aritmética entre os extremos e entre os termos equidistantes dos extremos, sempre será igual ao valor do termo central da sequência.

Sequência numérica que forma uma PA em que o termo central está em destaque

Observem na imagem acima, que 35 não só é igual a média aritmética entre seus vizinhos, como também é igual a média aritmética entre os termos equidistantes dos extremos 25 e 45, e entre os próprios termos extremos, 20 e 50.

Certinho, pessoal?! Chegamos ao final de mais um texto! Espero que ele tenha sido muito importante para o aprendizado de vocês! Estou disponibilizando abaixo, algumas questões para vocês resolverem e se prepararem para os vestibulares e o ENEM que estão logo aí. A resolução em vídeo dessas questões também vai ficar disponível!

Depois de fazer os exercícios, vale revisar todo conteúdo vendo a videoaula que também está em anexo. Com essa preparação, não há PA que os detenha nas provas do ENEM e dos vestibulares!

Bons estudos à todos! Nos vemos logo mais!

 

4. PREPARAÇÃO PARA O ENEM E OS VESTIBULARES

1) (UERJ) 

história em quadrinhos apresentando o contexto do exercício de progressão aritmética

Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
a) −50
b) −40
c) −30
d) −20

 

 

2) (ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a) 38 000
b) 40 500
c) 41 000  
d) 42 000
e) 48 000

 

 

3) (UPE-SSA) As medidas dos lados AB, BC e CA de um triângulo ABC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.

Triângulo cuja medida dos lados é conhecida

Qual é a medida do perímetro desse triângulo?
a) 5
b) 6
c) 7             
d) 8             
e) 9