TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

19/07/2019

A fórmula do termo geral de uma PG nos permite encontrar qualquer termo de uma progressão geométrica, conhecendo apenas o valor de a1 e da razão q da progressão. Assim como a PA, a PG também possui algumas propriedades. Estas, podem ser muito úteis na resolução de questões do ENEM e dos vestibulares!

 

Olá, pessoal! Tudo bem?

No texto de hoje, vamos estudar uma fórmula que nos possibilita resolver boa parte dos problemas que envolvem a progressão geométrica. Quem já imaginou que seria possível descobrir o valor de qualquer termo de uma PG com base em apenas outros dois valores conhecidos? É por isso que é tão fascinante conhecer a fundo as sequências numéricas que formam progressões geométricas e aritméticas. Todas elas possuem um padrão, e uma vez que este é identificado, pode-se prever o comportamento de toda uma sequência, independente da sua quantidade de termos.

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Certo, pessoal?! Existe algo mais interessante do que conhecer a fórmula do termo geral da progressão geométrica. Conhecer a fórmula e também a sua origem! É isso que faremos logo mais, venham comigo!

 

1. CAMINHANDO RUMO A FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG

Aluno caminhando para encontrar a fórmula do termo geral da progressão geométrica

Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante q dada. Também é possível dizer que uma sequência numérica é uma PG, quando cada termo, a partir do penúltimo, é igual ao quociente entre o seu termo sucessor e a razão q.

Sequência numérica em que a razão q da PG é apresentada com evidência

Essa é a definição da progressão geométrica. A partir dela, dada a PG (a1, a2, a3, …, an) cuja razão vale q, pode-se dizer que:

 a2 = a1 · q            (eq. 1)

Vejam que através da equação acima, nós poderíamos descobrir o valor do segundo termo da progressão (a2), multiplicando seu termo antecessor (a1) pela razão q. A mesma ideia é válida se quisermos descobrir quanto vale o termo a3 em relação ao seu termo antecessor, que é a2.

a3 = a2 · q            (eq. 2)

Até aí, tudo de acordo com a definição da PG, não é mesmo? Mas e se eu pedisse a vocês que encontrassem o terceiro termo da nossa progressão exemplo, o a3, conhecendo apenas o valor de a1? Bom, se substituirmos o valor de a2 dado na equação 1, na equação 2, teremos uma resposta interessante.

a3 = a2 · q          

a3 = (a1 · q) · q          

a3 = a1 · q2 

 

Desafio…

Agora, e se eu lhes perguntasse quanto vale o termo a6 desta mesma progressão, ainda com base no termo a1 e na razão q? Infelizmente, só conhecendo a definição de PG, ficaríamos montando uma série de equações por aqui. Mas quem já deu uma olhada no texto Termo Geral de uma PA, sabe que existe uma dica infalível para facilitar o caso. Basta ficar de olho nos saltos que a razão q dá na sequência, partindo do termo a1 e seguindo até o termo desejado!

 

1.1 Identificando o padrão da progressão geométrica

5 sequências numéricas em que os saltos da razão q da PG são destacados

Reparem que de a1 até a2, a razão q deu um único salto na sequência. Por isso, o expoente do q na equação que busca o valor de a2, é 1. Já quando se trata do caminho de a1 até a3, a razão q dá dois saltos na sequência. Desta forma, o expoente do q, na equação que busca o valor de a3, é 2. Seguindo este mesmo padrão, poderíamos encontrar facilmente o valor do termo a6. Bastaria multiplicar o termo a1 pela razão da progressão elevada a quinta potência. Isso porque de a1 até a6, a razão q dá cinco saltos na sequência!

Fórmulas do termo geral da progressão geométrica em que os índices e os expoentes estão em evidência

Agora, pessoal, vejam que se continuarmos buscando os demais termos da sequência, tais como a7, a8, a9, …, an, todos a partir do valor de a1, o a1 sempre aparecerá na fórmula. Mas e a relação entre os índices dos termos e o expoente da razão q, como fica? É isso que veremos na imagem abaixo:

Várias fórmulas do termo geral da PG mostram que a diferença entre os índices dos termos é igual ao expoente da razão q

Perceberam que os expoentes da razão q são sempre iguais a diferença entre o índice do termo que está localizado antes da igualdade e o índice do termo a1? Por esse motivo, se desejarmos calcular o valor de um termo an qualquer de uma PG, o expoente da razão q será igual ao valor do índice do termo, n, menos uma unidade, ou seja, n – 1. É assim que nós chegamos à fórmula do termo geral da progressão geométrica!

 

2. FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG

Aluno apresenta no quadro a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica

A fórmula que aparece na imagem acima é a expressão que nos permite obter qualquer termo de uma progressão geométrica conhecendo apenas os valores da razão q e do primeiro termo da progressão, o a1. Observem que o termo geral ou o enésimo termo de uma PG, representado por an, é igual ao produto entre 1º termo da sequência, o a1, e a razão q da PG, quando esta é elevada ao expoente n – 1.

A fórmula do termo geral da progressão geométrica costuma ser bastante utilizada na resolução de exercícios do ENEM e dos vestibulares. Contudo, é verdade que ela ainda é muito limitada a casos em que o primeiro termo da sequência é conhecido. Por isso, vamos estudar agora uma extensão da fórmula do termo geral da PG, em que o termo a1 é substituído por um termo genérico. Continuem comigo!

 

2.1 Extensão da fórmula do termo geral da progressão geométrica

Aluno apresenta no quadro a extensão da fórmula do termo geral de uma progressão geométrica

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, …). Pode-se dizer, por exemplo, que:

a7 = a4 · q3

a9 = a3 · q6

Alguém aí arrisca como foi possível chegar a essas conclusões? Incrivelmente, a resposta também se encontra nos saltos que a razão q dá na sequência entre um termo e outro. Observem a imagem abaixo.

Progressão geométrica na qual a razão q caminha do a4 até o a7

Para sair do termo a4, e ir até o termo a7, a razão q deu 3 saltos na sequência. Por isso, o expoente de q, no primeiro caso, é 3. Da mesma forma, para sair do termo a3, e seguir até o termo a9, a razão q precisa dar 6 saltos na sequência. Isso explica por que o expoente de q, nesse caso, é 6.

Progressão geométrica na qual a razão q caminha do a3 até o a9

Bom, pessoal, observem que o termo a1 não é mais o ponto de partida para os saltos da razão q na sequência. Mesmo assim, a lógica entre o valor do expoente de q e os índices dos termos ainda é a diferença!

Extensões das fórmulas do termo geral da progressão geométrica evidenciando a diferença entre os índices

Portanto, quando desejarem encontrar um termo an qualquer de uma progressão geométrica, mas não tiverem a disposição o valor do termo a1, vocês podem utilizar a fórmula da imagem seguinte. Nela, o termo a1 foi substituído por um termo genérico de índice k, por isso, ao invés do expoente da razão q ser igual a n – 1, neste caso, ele será igual a n k.

Extensão da fórmula do termo geral da progressão geométrica evidenciando o índice k

 

2.2 Exemplo resolvido sobre o termo geral da PG

Ferretto aponta para o quadro onde resolverá um exemplo sobre o termo geral da PG

Pessoal, se tem uma fórmula que precisa estar no formulário de vocês é a extensão da fórmula do termo geral da PG. Isso porque é muito mais comum utilizarmos essa extensão do que a fórmula do termo geral da progressão geométrica em si. À vista disso, vamos resolver um exercício para vocês verem como é fácil utilizar os conceitos que estamos estudando.

 

Determine o 8º termo de uma PG na qual a4 = 12 e q = 2.

Bom, o 8º termo de uma PG é o a8, certo? Então, podemos dizer, baseando-se nas fórmulas que acabamos de aprender, que:

a8 = a4 · q?

Mas qual será o expoente da razão q? Ora, a diferença entre os índices 8 e 4 é 4 (8 – 4 = 4). Assim, podemos completar a fórmula e substituir os valores que nos foram entregues no enunciado:

a8 = a4 · q4

a8 = 12 · 24

a8 = 12 · 16

a8 = 192

Bem tranquilo, não é? Sendo assim, antes de finalizarmos o texto, é importante conhecermos as propriedades da PG. Venham comigo!

 

3. PROPRIEDADES DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Sequência numérica em que ficam evidentes as duas propriedades da PG

Analisando as sequências numéricas que formam progressões geométricas, é possível encontrar algumas relações interessantes, que envolvem, inclusive, a média geométrica. Vou explicar tudo direitinho para vocês nos próximos itens.

 

1ª Propriedade

Em uma PG finita o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos

Numa PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

Uma PG finita é uma progressão geométrica que possui um número de termos definidos. Na imagem acima, temos um exemplo de PG finita, já que a sequência possui apenas 6 termos. O primeiro e o último termo da sequência, 2 e 64 neste exemplo, são os chamados extremos da progressão. Assim, se calcularmos o produto entre eles (2 ∙ 64), o resultado será 128. Mas quais seriam os termos equidistantes dos extremos?

O fato é que “equi” remete a igual. Isso significa que estamos falando de dois termos que possuem a mesma distância dos termos extremos. Voltando nossos olhos a imagem acima, observamos que tanto o termo 4 quanto o termo 32 estão a apenas uma razão dos termos extremos. O mesmo acontece com os termos 8 e 16, pois ambos estão a duas razões dos termos extremos. Assim, tanto 4 e 32, quanto 8 e 16 são equidistantes dos extremos. Por esse motivo, o produto entre eles também resulta em 128.

 

2ª Propriedade

A fórmula da média geométrica entre 2 termos está descrita em um caderno

Em uma PG, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média geométrica dos seus vizinhos.

A média geométrica de um conjunto de elementos pode ser calculada extraindo-se a raiz enésima do produto dos n elementos desse conjunto. Bom, esse é o conceito geral da média geométrica. Mas quando se fala em PG, podemos facilitar bastante as coisas. Isso porque calcularemos a média geométrica entre os dois termos vizinhos de um certo termo central de uma PG. A média geométrica entre dois números x1 e x2, pode ser calculada extraindo-se a raiz quadrada do produto entre x1 e x2. É isso que mostra a imagem acima!

PG (1, 3, 9, 27, 81, 243)

Temos aí uma progressão geométrica de 6 termos. Se selecionarmos quaisquer 3 termos consecutivos desta sequência, e calcularmos a média geométrica entre os vizinhos do termo central escolhido, teremos como resultado, um valor igualzinho ao do termo central. Para provar que não estou mentindo, vou selecionar 3 termos da sequência exemplo. Em seguida, farei o cálculo da devida média geométrica entre eles.

A média geométrica entre 3 e 27 resulta em 9 que é justamente o termo central entre 3 e 27

Incrível, não é? Por isso, não dá para deixar dúvidas de que o conceito é válido. É hora de comprovar essa propriedade partindo de um ponto de vista diferente. Sigam comigo!

 

Sob um segundo ponto de vista …

Segundo a definição de progressão geométrica que recordamos no início do texto, é possível dizer que qualquer termo de uma PG que não o primeiro, dividido por seu antecessor é sempre igual a razão da PG. E como a razão q é a mesma para uma sequência inteira, podemos chegar as seguintes conclusões.

Encontrando a fórmula da média geométrica entre os termos da PG através da definição de PG

Vejam que mesmo utilizando dois conceitos diferentes nós chegamos ao mesmo raciocínio! A matemática sempre nos prega algumas peças …

Ufa, chegamos ao final de mais um texto, repleto de conceitos importantes! Espero ter tornado o assunto mais simples, e que a leitura tenha sido proveitosa. Em anexo, encontra-se mais um vídeo! Deem uma olhada nele para revisar tudo o que abordamos hoje.

Um abração, bons estudos e até mais!